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Il piano fattoriale a due fattori

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Presentazione sul tema: "Il piano fattoriale a due fattori"— Transcript della presentazione:

1 Il piano fattoriale a due fattori
Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie Tipo di Materiale Temperatura (°F) 15 70 125 1 130 155 34 40 20 74 180 80 75 82 58 2 150 188 136 122 25 159 126 106 115 45 3 138 110 174 120 96 104 168 160 139 60 Durata Batterie Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie? C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata, indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al D temperatura)

2 Il piano fattoriale a due fattori
Piano completamente causalizzato Fattore B 1 2 b 1 2 Fattore A a Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk

3 Il piano fattoriale a due fattori
Piano completamente causalizzato Fattore B 1 2 b 1 2 Fattore A a Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti definiti come scarti dalla media generale:

4 Il piano fattoriale a due fattori
L’interesse è rivolto a valutare ipotesi sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e di interazione H0 = Nessun Effetto H1 = Presenza Effetto

5 Il piano fattoriale a due fattori

6 Il piano fattoriale a due fattori
La somma dei quadrati totale corretta può essere scritta come: Riarrangiando Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione tra i fattori A e B e all’errore:

7 Il piano fattoriale a due fattori
Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna somma dei quadrati è: I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.

8 Il piano fattoriale a due fattori
Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS) dato da (D.C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp ): Termini pari a 0 solo in caso di validità dell’ipotesi nulla H0, cioè in caso di assenza di effetti di riga, colonna e incrociati Dimostrazione esemplificativa

9 Il piano fattoriale a due fattori

10 Il piano fattoriale a due fattori
Per verificare la significatività di entrambi i fattori e della loro interazione è sufficiente dividere il corrispondente quadrato medio per il quadrato medio dell’errore. Valori elevati di tale rapporto stanno ad indicare che i dati non confermano l’ipotesi nulla H0 e che quindi vige l’ipotesi H1

11 Il piano fattoriale a due fattori
Se i termini di errore eijk sono distribuiti normalmente ed indipendentemente con varianza costante s2: Origine della variabilità Somma dei quadrati Gradi di libertà Media dei Quadrati F0 A trattamenti SSA a-1 MSA= SSA/(a-1) MSA/MSE B trattamenti SSB b-1 MSB= SSB/(b-1) MSB/MSE Interazione SSAB (a-1)(b-1) MSAB= SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE Errore SSE ab(n-1) MSE= SSE/(ab(n-1)) Totale SST abn-1

12 Il piano fattoriale a due fattori
Le somme dei quadrati possono essere anche calcolate manualmente, comunque si suggerisce l’uso di un calcolatore SSSubtotali

13 Progettazione batteria

14 Progettazione batteria

15 Progettazione batteria

16 Progettazione batteria

17 Progettazione batteria

18 Progettazione batteria

19 Progettazione batteria

20 Progettazione batteria

21 Progettazione batteria

22 Progettazione batteria

23 Progettazione batteria

24 Progettazione batteria

25 Progettazione batteria

26 Progettazione batteria

27 Progettazione batteria

28 Progettazione batteria

29 Progettazione batteria

30 Progettazione batteria

31 Progettazione batteria

32 Progettazione batteria

33 Progettazione batteria

34 Progettazione batteria

35 Progettazione batteria

36 Progettazione batteria

37 Progettazione batteria

38 Progettazione batteria


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