“Piano” Lab 1 – Fattorizzazione LU + pivoting

Presentazione sul tema: "“Piano” Lab 1 – Fattorizzazione LU + pivoting"— Transcript della presentazione:

1 “Piano” Lab 1 – Fattorizzazione LU + pivoting
Esercizi (+Sistemi sovradeterminati - Cholesky?) Lab 2 – Metodi iterativi: Gauss Seidel e Jacobi. Esercizi. Definizione di pseudoinversa Lab 3 – Soluzione classica e ai minimi quadrati. Esercizi. Calcolo degli autovalori.

2 Fattorizzazione LU A=LU L= U= Ax=b equivale a risolvere:
Il vantaggio: si risolvono facilmente per sostituzione in avanti/indietro 1

3 Sostituzione in avanti
NON NULLI!!!

4 Sostituzione indietro
NON NULLI!!!

5 ESERCIZIO 1 Risolviamo Ax=b con: utilizzando la fattorizzazione LU
(La soluzione esatta è x=[ ]’)

6 “Qualità” della soluzione
Se conosciamo la soluzione esatta xe possiamo valutare la norma dell’errore: Anche il residuo è un’indice della bontà della soluzione:

7 Condizionamento Consideriamo un sistema perturbato: Condizionamento:
Stima errore relativo:

8 ESEMPIO 2 Usiamo la matrice di Hilbert: H=hilb(n); b=H*ones(n,1)
Calcoliamo (sapendo che la sol esatta è [ ]’):

9 Errore e condizionamento

10 Quando LU non funziona

11 Condizioni per la fattorizzazione LU
Tutte le sottomatrici principali di A devono essere non singolari:

12 Pivoting (per righe) Scambio le righe di A per non avere pivot (ukk) nullo; lo scelgo in modo che sia il più grande possibile. K=1) Scambio le righe 1 e 3; aggiorno U

13 Pivoting (per righe) K=2) La riga due rimane al suo posto; K=3)
La 4 va al posto della 3

14 Pivoting (per righe)

15 ESERCIZIO 2 Siano dati A e b:
Effettuare la fattorizzazione LU con pivoting: quali righe vengono scambiate? Risolvere il sistema. Valutare errore e residuo relativo (sol. esatta [ ]’)

16 ESERCIZIO 3 Risolvere il sistema dell’esercizio 1 eseguendo la fattorizzazione LU con pivoting. Calcolare errore e residuo relativo con e senza pivoting. Quale soluzione è più accurata? Perché?

17 Sistemi sovradeterminati
Ho più equazioni che incognite Sistema di equazioni normali:

18 Fattorizzazione di Cholesky
D’D è simmetrica definita positiva Posso fare la fattorizzazione di Cholesky cioè scomporre in: H’H (comando Matlab: chol) con H triangolare superiore. Si risolve come una normale LU