Daniele Santamaria – Marco Ventura

Presentazione sul tema: "Daniele Santamaria – Marco Ventura"— Transcript della presentazione:

1 Daniele Santamaria – Marco Ventura
Seminario di Metodi Matematici per l’ottimizzazione A.A.2011/2012 Interpolazione Trigonometrica Daniele Santamaria – Marco Ventura

2 Sommario Introduzione. Interpolazione.
Interpolazione nel piano complesso. Radici n-esime. Interpolazione trigonometrica. Esempi. Implementazione in Matlab.

3 Introduzione Approssimare le funzioni è utile quando:
Manca l’espressione che descrive un fenomeno e abbiamo solo alcuni valori. L’espressione è nota, ma difficile da gestire.

4 Introduzione Nel primo sostituiamo la funzione f con una più semplice g, che sia quanto più possibile “vicina” a quella approssimata, rispettando una certa tolleranza: Nel secondo caso cerchiamo una funzione approssimante che passi per i punti noti (interpolazione).

5 Interpolazione Nel caso dell’interpolazione vogliamo che la funzione interpolante passi esattamente per alcuni punti. Date n coppie di numeri reali una funzione g è detta interpolante se: Se come funzione interpolante usiamo i polinomi, l’interpolazione si dirà: Interpolazione Polinomiale.

6 Interpolazione Nel corso di Formazione Numerica abbiamo
studiato vari metodi di interpolazione: Metodo dei coefficienti Indeterminati. Lagrange. Metodo delle differenze divise di Newton. Hermite.

7 Interpolazione Cosa accade però se la funzione da interpolare è periodica? Ricordiamo che f è periodica di periodo T se: Se f è periodica di periodo T, lo è anche di periodo kT, con k intero.

8 Interpolazione Per approssimare funzioni periodiche non possiamo
usare i classici polinomi, in quanto non periodici. Allora dobbiamo considerare i polinomi composti da funzioni che siano: Periodiche. Facili da calcolare. Ovviamente ci riferiamo alle funzioni seno e coseno.

9 Interpolazione Le funzioni seno e coseno godono delle seguenti proprietà: Sono periodiche. Facili da calcolare. Sono ortogonali tra loro in un intervallo di , allora sono anche linearmente indipendenti e quindi formano una base. Le loro derivate e primitive sono funzioni della stessa classe.

10 Interpolazione Vogliamo calcolare un nuovo polinomio, ovvero un Polinomio Trigonometrico, la cui base è data dalle funzioni: In particolare una funzione del tipo: È detta Polinomio Trigonometrico di grado m.

11 Interpolazione Quindi, data funzione periodica, il problema dell’interpolazione trigonometrica è quello di trovare Dove, dati n punti:

12 Interpolazione nel piano complesso
Per trovare F(x) nel piano reale possiamo partire dal caso generale nel piano complesso. Infatti, dato che una funzione a valori reali può essere considerata come una particolare funzione a valori complessi il problema in R può essere considerato un caso particolare del problema in C. Pertanto, il problema dell’interpolazione trigonometrica è riconducibile al problema di interpolazione polinomiale sul cerchio unitario nel piano complesso. R=x z=x+i0

13 Interpolazione nel piano complesso
Nel piano complesso gli n nodi corrispondono alle radici n-esime dell’unita, cioè dei punti del cerchio unitario. Geometricamente sono i vertici di un poligono regolare di n lati i cui vertici sono disposti lungo la circonferenza unitaria, radialmente equispaziati e con un vertice in (1,0). Z=1 , w^4=z^(1/4), i punti k=0,k=1,k=2,k=3

14 Radice n-esima Nel piano complesso gli n nodi sono le radici n-esime dell’unità, cioè i punti del cerchio unitario:

15 Interpolazione nel piano complesso
L’interpolazione polinomiale nel piano complesso consiste nel trovare i numeri complessi coefficienti del polinomio di grado al più n-1: Tale che: 1 2

16 Interpolazione nel piano complesso
Partendo dalle precedenti formule (1 e 2) si ha che i coefficienti z si ricavano risolvendo il sistema: Con: 3

17 Interpolazione nel piano complesso
V è la matrice di Vandermonde con elementi

18 Interpolazione nel piano complesso
Se n=3

19 Interpolazione nel piano complesso
Dobbiamo risolvere il sistema 3. Definita la trasposta i cui elementi sono i coniugati degli elementi di V si ha che: Quindi:

20 Interpolazione nel piano complesso
Il vettore z è la Trasformata Discreta di Fourier: Il vettore y è la Trasformata Discreta Inversa di Fourier: 4

21 Interpolazione nel piano complesso
Osserviamo che ponendo i valori Corrispondono alle radici n-esime dell’unità E, per la 3, ai valori

22 Interpolazione nel piano complesso
Adesso abbiamo quello che serve per calcolare il polinomio 1: Distingueremo due casi, uno per n pari e l’altro per n dispari.

23 Interpolazione nel piano complesso
Se n è dispari, ponendo n=2m-1, avremo:

24 Interpolazione nel piano complesso
Alla fine, per n dispari si ottiene: Analogamente per n pari poniamo n=2m, allora

25 Interpolazione nel piano complesso
Iniziamo calcolando Visto che (formula di Eulero):

26 Interpolazione nel piano complesso
Si ottiene Ma e , allora:

27 Interpolazione nel piano complesso
Pongo Ottenendo

28 Interpolazione nel piano complesso
Calcoliamo il coefficiente, , e per la 4:

29 Interpolazione nel piano complesso
Richiamando Eulero: Otteniamo:

30 Interpolazione nel piano complesso
Calcoliamo il coefficiente, , per la 4:

31 Interpolazione nel piano complesso
Richiamando Eulero: Otteniamo:

32 Interpolazione nel piano complesso
Torniamo al polinomio: con

33 Interpolazione nel piano complesso
Considerando che: Abbiamo:

34 Interpolazione nel piano complesso
Ponendo:

35 Interpolazione Trigonometrica
Si ha che il polinomio trigonometrico di interpolazione della funzione negli n punti vale: Ponendo n=2m-1 se n è dispari e n=2m se è pari.

36 Interpolazione Trigonometrica
I coefficienti sono dati da:

37 Esempi Calcoliamo il polinomio trigonometrico per una semplice funzione periodica. Consideriamo ed f sia periodica. Supponiamo di voler interpolare su 4 punti.

38 Esempi Avremo: Dividiamo il dominio in punti equidistanti:

39 Esempi n è pari, allora calcoleremo ovvero

40 Esempi Calcoliamo i coefficienti: , , ,

41 Esempi Continuando, si ha:

42 Esempi L’ultimo coefficiente vale:

43 Esempi Pertanto il polinomio cercato nei 4 punti vale:

44 Esempi Risultato grafico su tre periodi di f

45 Esempi Interpolazione su 10 punti:

46 Esempi Interpolazione su 25 punti:

47 Esempi Proviamo con: e n=5

48 Esempi Proviamo con: e n=20

49 Esempi Proviamo con: e n=50

50 Implementazione in MatLab
InterpolazioneTri.m