INDICE Storia del piano Cartesiano Elementi del piano Cartesiano

Presentazione sul tema: "INDICE Storia del piano Cartesiano Elementi del piano Cartesiano"— Transcript della presentazione:

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2 INDICE Storia del piano Cartesiano Elementi del piano Cartesiano
Le funzioni La retta nel piano Cartesiano La parabola

3 1. Storia del piano Cartesiano
Euclide Opere Teoremi ed Assiomi Dal piano Euclideo al piano Cartesiano Cartesio

4 2. Elementi del piano Cartesiano
Origine degli assi Quadranti Coordinate di un punto Segmenti Rette

5 3. Le funzioni Definizione di funzione Rappresentazione di una funzione Funzione sul piano Cartesiano Classificazione delle funzioni Riepilogo

6 4. La retta nel piano Cartesiano
Definizione retta Equazione retta (forma implicita e forma esplicita) Rette incidenti Rette parallele Situazioni problematiche

7 5. Parabola Introduzione Definizione Forma tipica Rappresentazione grafica Parabole particolari Studio del segno Parabola e disequazioni di 2° grado

8 IL PIANO CARTESIANO ...e la sua storia Cardellini Mattia
Masetti Giovanni De Luca Lorenzo Morelli Davide IL PIANO CARTESIANO ...e la sua storia

9 Le origini del piano Cartesiano
Il piano Euclideo

10 SOMMARIO EUCLIDE Opere Teoremi ed Assiomi
Dal piano Euclideo al piano Cartesiano CARTESIO

11 Euclide Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e muore intorno al 275a.C. Fu un matematico in Grecia. Una minoranza di storici dubita della sua esistenza. Dall’aneddoto “in Geometria non esistono vie regie” si intuisce il carattere riservato e rigoroso. Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi Euclidei.

12 Opere di Euclide Elementi di geometria (13 libri).
Legati alla matematica: Dati, Porismi, Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e Catottrica. I fenomeni, trattato astronomico. Sezione del canone e Introduzione armonica, trattati di musica.

13 Assiomi e teoremi di Euclide
E' sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque. E' sempre possibile prolungare una linea retta. E' sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque. A B H K C D E

14 Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti.
α µ=α=β=90° β Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti. Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto. p r A

15 C AH:AC=AC:AB A B H In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti dell’ipotenusa. F DK:FK=FK:KE D K E

16 IL PIANO EUCLIDEO e i suoi elementi
Il punto La retta Semiretta e segmento L’angolo r P a B V A R

17 A cosa mi servono gli elementi del piano euclideo?
Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali l’estremo superiore dell’ultimo corrisponde all’estremo inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi in base al numero dei loro lati: Triangoli (tre lati) Quadrilateri (quattro lati) Pentagoni (cinque lati) E così via…

18 Ma... Con il piano Euclideo si giunse ad una situazione di stallo: come faccio a stabilire le misure di determinati segmenti su un piano dove non ci sono punti di riferimento? Per questo Cartesio costruì un piano con determinati punti di riferimento: il Piano Cartesiano

19 CARTESIO Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e muore nel 1650, colpito da una grave malattia polmonare. Fu un matematico e filosofo francese Il suo vero nome è René Descartes, latinizzato in Cartesius. Insegnò filosofia e matematica a molti sovrani e principi.

20 Opere di Cartesio Discorso sul metodo
Meditationes de prima Philosophia Principia Philosophiae Compendium musicae Trattato delle passioni “Cogito, ergo sum”

21 Elementi del piano cartesiano
Creato da: Bartolucci Filippo Costantini Giacomo Mattioli Giacomo Sanchini Pierpaolo

22 Il Piano Cartesiano Si può introdurre il piano cartesiano come sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea costituito da due rette perpendicolari, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali.

23 Il Piano Cartesiano Tra le due rette si distingue l’asse delle ascisse o asse delle x (retta orizzontale) e l’asse delle ordinate o asse delle y (retta verticale).

24 Elementi del piano cartesiano
Origine degli assi Quadranti Coordinate di un punto Segmenti Rette

25 Origine degli assi Una retta si dice orientata o asse  quando su di essa è fissato un verso positivo. Si definisce un sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta detto origine O ed una unità di misura u.

26 Quadranti Quadranti Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: 1° quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; 2° quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; 3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante rispetto all'origine; 4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante rispetto all'origine.

27 Coordinate di un punto A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P. Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.

28 Lunghezza di un segmento
Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente formula: AB = √(xa-xb)2 + (ya-yb)2 A B

29 Punto medio di un segmento
Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la seguente formula: A (Xa,, ya) xm = xa+xb 2 ym = ya+yb B (xb, yb)

30 Rette Asse x e parallele Asse y e parallele
All’interno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di una stessa proprietà): Asse x e parallele Asse y e parallele Bisettrice del I° e III° quadrante Bisettrice del II° e IV° quadrante

31 Asse x L’asse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse y uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).

32 Parallele all’asse x Le rette parallele all’asse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse x, quindi avranno tutti la stessa ordinata. I loro grafici sono :

33 Asse y L’asse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse x uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).

34 Parallele all’asse y Le rette parallele all’asse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro grafici sono :

35 Bisettrice del 1° e 3° quadrante:
L’ equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata uguali.

36 Bisettrice del 2° e 4° quadrante
L’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.

37 Ascissa del punto: “distanza assoluta” del punto
dall’asse delle ordinate. Ordinata del punto: “distanza assoluta” del punto dall’asse delle ascisse.

38 LE FUNZIONI Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Nicolini

39 Argomenti trattati Definizione di funzione
Rappresentazione di una funzione Funzione sul piano cartesiano Classificazione delle funzioni Riepilogo

40 Definizione di funzione
Una funzione è una relazione matematica tra due grandezze variabili X e Y, tali che ad ogni valore di X corrisponde uno ed un solo valore di Y. X Variabile indipendente Y Variabile dipendente

41 Rappresentazione di una funzione
FORMA IMPLICITA F(x,y) = 0 FORMA ESPLICITA y = F(x) Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, questa deve essere in forma esplicita

42 Funzione sul piano cartesiano
Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore numerico alla X ottenendo il corrispondente valore della Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da posizionare sul piano cartesiano. Infine si uniscono i punti da sinistra verso destra. y = F (x) y x y x1 x2 x3 y1 y2 y3  A(x1, y1) Riportiamo i valori sul grafico x  B(x2, y2)  C(x3, y3)

43 Classificazione delle funzioni
Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Una funzione trascendente è una funzione non algebrica. Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime y in funzione di x si può ridurre ad un’equazione algebrica di grado qualsiasi nelle due incognite x e y.

44 Le funzioni algebriche
Si classificano in: Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali

45 Funzioni razionali intere
Funzioni di primo grado Una funzione di primo grado, o lineare, viene rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA Funzioni di grado superiore al primo Funzione di secondo grado È rappresentato da una PARABOLA Funzione di grado superiore al secondo È rappresentata da una CURVA

46 Funzioni razionali fratte
La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x. Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga gli zeri del denominatore.

47 Funzioni irrazionali Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della y. Una funzione irrazionale è del tipo dove g(x) è una funzione razionale definita nell’insieme dei numeri reali. Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice.

48 Il dominio della funzione irrazionale può essere:
se n è dispari allora il dominio della funzione appartiene all’insieme dei numeri irrazionali. se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi che soddisfano la funzione Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

49 Le funzioni trascendenti
Si classificano in: Funzioni goniometriche Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali

50 Riepilogo

51 La retta nel piano cartesiano
Forlani Veronica Mezzanotti Edoardo Ortolani Giulia Pedini Matteo

52 Indice: Definizione retta Rappresentazione di una retta
Equazione retta (forma implicita e forma esplicita) Rette incidenti Rette parallele Situazioni problematiche

53 Definizione di retta La retta è una funzione algebrica razionale, intera di primo grado. indice

54 Rappresentazione di una retta
r) y=mx+q x y a m*a+q=b P(a, b) c m*c+q=d Z (c, d) Si riportano i P e Z sul piano cartesiano e si uniscono trovando la retta dell’equazione data. P b a c d Z r indice

55 Equazione della retta y=mx+q Forma implicita: ax+by+c=0
Forma esplicita: coefficiente angolare m=-a/b Intercetta q=-c/b indice

56 Coefficiente angolare
Il coefficiente angolare indica il tipo di angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse. Se m<0 Se m>0 l’ angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso. l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto. Se m=0 l’angolo non esiste e la retta è parallela all’asse x. indice

57 m<0 y= - 1/3 x+q m= -1/3 -1/3 <0
l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso indice

58 m>0 y=4x+q m=4 y=4x+q 4>0 l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto indice

59 m=0 y=0x+q y=q l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse non esiste poiché la retta è parallela all’asse x Q r indice

60 Intercetta L’intercetta è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. Se q=0 la retta interseca l’asse y in q Se q≠0 la retta passa per l’origine degli assi indice

61 Rette incidenti Due rette sono incidenti se si incontrano in un punto.
Rette perpendicolari. s indice

62 Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se incidendosi formano 4 angoli retti. s) y=m1x-1 r) y=m2x+1 r s Se r) ┴ s) m1*m2 =-1 v m1=-1/m2 indice

63 Rette parallele Due rette sono parallele quando hanno uguali coefficienti angolari. r) // s) m1=m2 r r) y=m1x+1 s) y=m2+3 s indice

64 Situazioni problematiche
Come trovare il punto di intersezione fra due rette. Come trovare l’equazione di una retta passante per due punti. indice

65 Punto di intersezione tra due rette
Per trovare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il sistema fra le equazioni delle due rette r) y=m1x+q x=xp s) y=m2+q y=yp r s P indice

66 L’equazione di una retta passante per due punti
Per trovare l’equazione di una retta passante per due punti bisogna trovare il coefficiente numerico e l’intercetta dell’equazione della retta risolvendo il seguente sistema: ya = mxa + q m yb = mxb + q q xa è l’ascissa del punto A ya è l’ordinata del punto A xb è l’ascissa del punto B yb è l’ordinata del punto B A B indice

67 La Parabola Mariana De Biagi Laura Di Lena Martina Tombari
Federica Ugolini La Parabola

68 Rappresentazione grafica Parabola e disequazioni di 2° grado
Introduzione Definizione Forma tipica Rappresentazione grafica Parabole particolari Studio del segno Parabola e disequazioni di 2° grado

69 Espressione algebrica in x
Introduzione F(x) Espressione algebrica in x irrazionale: l’incognita si trova sotto il segno di radice fratta: l’incognita si trova solo o anche al denominatore intera: l’incognita si trova solo al numeratore Lineare o di primo grado: RETTA Y=mx+q m,q Di secondo grado: PARABOLA

70 Definizione La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE Non ci soffermeremo sulla definizione di fuoco e direttrice per analizzare in modo più approfondito altri aspetti della parabola

71 Forma Tipica STUDIO dei COEFFICIENTI:
>0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle ordinate. a <0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo delle ordinate ci consente di conoscere l’asse di simmetria della parabola ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y b c Asse di Simmetria (nella parabola): retta che divide la parabola in due rami simmetrici

72 Rappresentazione Grafica
Data una funzione del tipo: >0 a <0 P(0,c) Punti di intersezione con l’asse x: 1) c 2) 3) Equazione risolvente sostituzione Equazione dell’asse x

73 Esempio y=2x2+3x-2 1)a=2>0 2)c=-2 P(0,-2) y=2x2+3x-2 2x2+3x-2=0 y=0
= =½ y x -2 -2

74 Parabole Particolari Possiamo individuare tre tipi di parabole particolari: y=ax la parabola avrà il vertice coincidente con l’origine degli assi

75 y= ax2+bx La parabola avrà un punto di
intersezione con l’asse x coincidente con l’origine degli assi

76 3. y= ax2+bx+c dove il trinomio ax2+bx+c è un
quadrato perfetto. La parabola avrà allora un solo punto in comune con l’asse x

77 Studio del segno Data una funzione del tipo:
Il trinomio ax2+bx+c assume valori diversi al variare della x: > prenderemo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x y>0 = prenderemo in considerazione i valori sull’asse x, ovvero x1 e x y=0 < prenderemo in considerazione i rami di parabola sotto l’asse x y<0 Di conseguenza possiamo dire che: ax2+bx+c>0 ax2+bx+c=0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c disequazioni

78 Parabola e disequazioni di 2° grado
Data una disequazione di secondo grado del tipo: ax2 + bx + c >0 Prendiamo la parabola associata: y= ax2 + bx + c Disegniamo la relativa parabola In base al segno richiesto dal testo della disequazione prendiamo in considerazione i rami di parabola Troviamo gli intervalli richiesti

79 Esempio ½ 2x2+3x-2>0 1) y=2x2+3x-2 2) a=2>0 U c=-2 P(0,-2)
3) Il segno è > quindi prendiamo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x 4) I valori di x che determinano tali rami appartengono agli intervalli: x<-2 V x> ½ x -2 -2