Parte VIII: Cenni di Meccanica dei fluidi*

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1 Parte VIII: Cenni di Meccanica dei fluidi*
Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte VIII: Cenni di Meccanica dei fluidi* Gli stati della materia: solidi liquidi e gas Volume e Densità La Pressione Fluidi nel campo della gravità: legge di Stevino Principio dei vasi comunicanti, Principio di Pascal e Principio di Archimede Punto di vista Lagrangiano ed Euleriano Moti laminari e turbolenti Numero di Reynolds e viscosità Equazione di Bernoulli Equazione di Poiseuille * Data la compattezza del corso non è possibile un approfondimento dei concetti. Gli studenti sono indirizzati al corso di Idraulica (II anno)

2 Gli stati di aggregazione della materia
Noi oggi sappiamo che la materia è costituita da atomi, e che a loro volta gli atomi sono costituiti da nuclei, carichi positivamente e nei quali è concentrata praticamente tutta la massa dell’atomo, mentre gli elettroni, carichi negativamente e molto più leggeri, sono distribuiti intorno ai nuclei. Gli atomi, grazie alle proprietà degli elettroni, posso legarsi fra loro, dando vita a molecole ed a forme di aggregazione piuttosto complicate, come, ad esempio, i solidi Le dimensioni lineari degli atomi sono moto piccole, dell’ordine di m Questo comporta che il volume occupato da un atomo è dell’ordine di m3 Allora in un pezzetto di materia lungo 10-8 m, il cui volume è m3 conterrà un numero di atomi pari a

3 In realtà questa è la situazione dei solidi e dei liquidi, per i quali la densità volumica
del numero di atomi è abbastanza elevata Il seguente grafico della energia di interazione di un atomo messo nell’origine con un altro posto alla distanza r ci fa capire come due atomi si attirino (debolmente) quando sono lontani e si respingano (fortemente) quando sono troppo vicini Distanza di equilibrio

4 La materia quindi si trova in uno stato condensato quando gli atomi, ovvero i loro nuclei,
stanno a determinate distanze (dette di equilibrio) Normalmente accade però che gli atomi o le molecole si muovano. Se tali moti sono essenzialmente vibrazioni attorno alle posizioni di equilibrio normalmente lo stato di aggregazione è lo stato solido. La caratteristica principale dello stato solido è il possedere una forma propria. Quest’ultima affermazione significa che il sistema fisico è in grado di resistere ai cosiddetti sforzi di taglio Un solido può deformarsi un po’ sotto uno sforzo di taglio, magari la deformazione può essere plastica (invece che elastica) e permanente, magari può pure spezzarsi, ma se prendiamo un sbarra di acciaio e la facciamo sporgere dal tavolo non si piega e non cade

5 Può accadere, però, che le molecole possano traslare e muoversi indipendentemente.
In tal caso accade che una molecola si allontani dalla sua posizione di equilibrio, ma in brevissimi istanti (10-6 secondi), essa può essere sostituita da un’altra quasi nella stessa posizione. Ciò fa sì che mediamente ci sia sempre una molecola ad una distanza di equilibrio, benché quasi mai la stessa molecola. Questo è possibile solo se l’attrazione fra gli atomi è ben più debole che nei solidi, e, quindi, è molto più facile tagliare questi sistemi: i fluidi Vedremo presto che i fluidi vanno distinti in gas e liquidi, i primi sono fluidi comprimibili mentre i secondi sono incomprimibili Per qualunque di questi mezzi, tuttavia, un pezzetto di materia piccolo sulla scala macroscopica (10-8m) è comunque costituito da un enorme numero di molecole o atomi e lo studio della sua evoluzione spazio-temporale non può effettuarsi mediante la II legge di Newton: posto di conoscere le forze risultanti su ciascuna molecola in ogni istante si dovrebbero risolvere sistemi di milioni di equazioni differenziali in milioni di funzioni incognite

6 Il Volume e la Densità Una prima approssimazione che si fa in Fisica Classica per studiare le proprietà fisiche di sistemi così complicati è di pensare la materia (solida, liquida e gassosa) come continua Ciò è giustificato dal fatto che le distanze interatomiche sono, come abbiamo visto, molto più piccole delle scale di distanze cui siamo normalmente interessati se ci interessano le proprietà macroscopiche di un sistema fisico. Assumere che la materia sia continua comporta il pensare che la massa sia distribuita in maniera continua. Questo vuol dire che possiamo sempre pensare di dividere un dato volume macroscopico di materia in tanti volumetti infinitesimi e scoprire che in esso vi è contenuta una quantità di massa infinitesima Massa totale

7 Ciò consente di introdurre la densità di massa, ovvero la quantità di massa per unità
di volume, come il seguente campo scalare La densità di massa è una grandezza fisica intensiva (non dipende dalla estensione) ed è un campo poiché indica una corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio (x,y,z) ed il tempo t, ed i valori assunti dalla densità in quel punto in quell’istante. Spesso accade che la distribuzione di massa sia uniforme, quindi la densità assume sempre lo stesso valore (la densità media) in tutti i punti del corpo. Se ciò accade si dice che il corpo è omogeneo. Considerare la densità una funzione del punto consente di studiare i sistemi disomogenei. Spesso accade pure che la densità sia costante al variare del tempo (per un mezzo disomogeneo ciò significa che la densità è diversa punto per punto, ma i diversi valori assunti in ogni punto siano costanti nel tempo). Un tale mezzo è incomprimibile ed è caratterizzato matematicamente dal fatto che la densità non dipende esplicitamente dal tempo

8 Si pensi ad un palloncino
Si pensi ad un palloncino. Possiamo pensare di comprimerlo, ovvero di ridurne il volume: siccome la quantità di massa in esso contenuta non fuoriesce, la densità deve aumentare. I gas sono dunque fluidi comprimibili: la densità può cambiare nel tempo. Ma se il palloncino fosse pieno d’acqua non sarebbe affatto facile comprimerlo: se ne potrebbe cambiare facilmente la forma, ma non il volume totale I liquidi sono quindi caratterizzati dalla incompressibilità, ovvero la loro densità non dipende esplicitamente dal tempo (in realtà la compressibilità di un liquido è piccola ma non è nulla). Il volume e la densità sono due proprietà macroscopiche di un sistema fisico, e la loro conoscenza è necessaria se vogliamo descrivere (macroscopicamente) il comportamento della materia Esistono molte altre variabili macroscopiche, la cui conoscenza può aiutarci nello studio dei sistemi materiali

9 La Pressione Se nuotando sott’acqua scendessimo troppo in profondità sentitremmo del dolore ai timpani Tuttavia se prendessimo un delicatissimo calice di cristallo di Boemia e lo tenessimo sott’acqua esso non si romperebbe La prima osservazione dice che l’acqua (e così tutti i liquidi) trasmette delle forze. La seconda evidentemente prova che tali forze devono in qualche modo bilanciarsi (altrimenti il bicchiere si romperebbe). Nel caso dell’acqua, visto che i liquidi sono dotati di massa, le forze che vengono esercitate sono evidentemente dovute alla gravità, ma non è chiaro dove esse si applichino Nel caso del palloncino gonfio, non è immediatamente evidente quali sono le forze che consentono alla plastica di dilatarsi ed al palloncino di assumere la propria forma. Anche in questo caso non è molto significativo in quali punti della parete tali forze sono applicate

10 È invece importante comprendere che le forze che esercita un fluido si applicano su
superfici La pressione è proprio definita come la forza per unità di superficie: Vedremo che nel caso del palloncino la pressione è il risultato dei tantissimi urti che le molecole del gas esercitano sulle pareti. Anche la pressione, dunque, è una variabile macroscopica La pressione si può misurare in diverse unità di misura: 1 Pascal=1Newton/m2 (MKS) 1 bar= 105 Pascal 1 Atmosfera= pressione dell’aria a livello del mare= bar=1013 millibar 1 Atmosfera= 760 Torr= 760 mm di mercurio

11 Anche la pressione in un fluido è in generale un campo P=P(x,y,z,t)

12 All’interno di un liquido la pressione non dipende dalla direzione secondo cui agiscono
le forze, se il fluido è a riposo Ciò si comprende col fatto che una sottilissima lastra di vetro non si rompe: la pressione su entrambe le facce deve bilanciarsi qualunque sia l’orientazione della lastra Questa circostanza è una proprietà dei fluidi che si chiama isotropia (equivalenza di tutte le diverse direzioni), e la pressione, in tal caso, si dice idrostatica Bisogna tuttavia realizzare che l’equilibrio (diciamo per ora che il liquido è macroscopicamente immobile) è una condizione importante perché la pressione idrostatica sia la stessa in tutti i punti: se così non fosse, per esempio, differenti strati di liquido sarebbero in moto relativo

13 Fluidi nel campo della gravità
Per comprendere il dolore ai timpani del sub, consideriamo un cilindro di base A ed altezza h all’interno di un liquido A h Falto Fbasso Supponiamo che il fluido sia a riposo (il cilindro è fermo) e valutiamo le forze che agiscono sulle sue basi dall’alto e dal basso (h, la profondità, cresce muovendosi verso il basso)

14 In sostanza, nel limite di cilindretti infinitesimi, siccome l’area delle basi si elide,
otteniamo la seguente equazione differenziale, detta Legge di Stevino, che descrive la variazione della pressione con la profondità Se il fluido è omogeneo r=cost., l’equazione differenziale può essere integrata a patto di conoscere il valore ad una quota di riferimento (e.g. h=0) Si noti che se P0 fosse la pressione atmosferica al livello del mare, questa formula ci predice come la pressione diminuisce (h è orientato verso il basso) all’aumentare della altitudine. La stessa equazione predice pure come aumenta la pressione nello scendere in profondità sott’acqua. Si noti altresì che proprio perché la pressione idrostatica è isotropa, la derivazione precedente è indipendente dalla posizione verticale, orizzontale od obliqua del cilindretto all’interno del fluido, ovvero dell’area di base, dalle dimensioni e dalla forma

15 Il principio dei vasi comunicanti
Non è affatto un principio, ma una conseguenza della Legge di Stevino Consultare Fig Fishbane-Gasiorowicz-Thornton La pressione atmosferica alla superficie del liquido è la stessa in tutti i suoi punti, ovvero non dipende dalla forma né dall’area della superficie

16 Il Principio di Pascal Anch’esso è una conseguenza della Legge di Stevino Considerando due punti in un liquido a profondità differenti si ha Ne segue che la differenza di pressione fra i due punti, se il fluido è omogeneo ed incomprimibile non può cambiare se per qualche causa esterna cambia la pressione in uno dei due punti Principio di Pascal: Una variazione di pressione applicata ad un qualunque punto di un liquido in quiete viene trasmessa a tutte le parti del liquido

17 Prendiamo una provetta di vetro di sezione costante piena di mercurio, cioè di un liquido
molto più denso dell’aria e capovolgiamolo in una bacinella contenente mercurio, la cui superficie libera è soggetta alla pressione dell’aria. Il livello del mercurio scenderà. h0 h1 P1 P0 Il mercurio continuerà a scendere fino a quando la pressione che esercita non eguaglierà la pressione dell’aria sulla superficie libera (lasciando il vuoto, P0=0)

18 Il Principio di Archimede
Perché i sassi affondano mentre il legno galleggia? Perché un transatlantico che è fatto d’acciaio galleggia? Perché una mongolfiera può sollevarsi in aria? Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del liquido spostato È anch’esso una conseguenza della legge di Stevino A h h0 h1 Falto Fbasso

19 Si noti che stavolta le due forze non si equilibrano, perché la densità dell’oggetto immerso
non è la stessa di quella dell’acqua L’ultima equazione afferma che oltre alla forza peso (ovviamente diretta verso il basso) sul corpo, a causa della pressione idrostatica si esercita una forza diretta verso l’alto il cui modulo è proprio il peso del volume di liquido spostato Questa analisi consente di studiare i problemi di galleggiamento, dove, tuttavia, bisogna considerare quanto il corpo penetra nel liquido (per calcolare il volume di liquido spostato) Una nave, che è fatta d’acciaio e di aria, evidentemente galleggia perché la spinta di Archimede è maggiore del suo peso. Una mongolfiera si può sollevare in aria perché l’aria calda contenuta al suo interno è ad una densità minore di quella esterna

20 Punti di vista lagrangiano ed euleriano
Si è visto che lo studio della meccanica dei fluidi non si può affrontare, se non ad un prezzo enorme dal punto di vista dei calcoli (p.es. con un supercomputer), seguendo il moto individuale delle moltissime molecole (1023 per grammomolecola di fluido). Questo ha comportato per lo studio dei fluidi a riposo (idrostatica) l’introduzione di campi, quali la densità di massa, e l’uso di proprietà macroscopiche invece che le proprietà microscopiche, quali, ad esempio la velocità delle singole molecole Per studiare i fluidi in moto si deve passare dal cosiddetto punto di vista lagrangiano (dal nome del fisico matematico francese Lagrange) al punto di vista euleriano (dal nome del fisico matematico svizzero Euler) Consideriamo un fluido in moto (p. es. l’acqua in una condotta): il punto di vista lagrangiano consiste nel seguire il moto di tutte le molecole individualmente e considerare le velocità come proprietà individuali delle singole molecole Il punto di vista euleriano consiste nel separare il concetto di velocità come proprietà di una data particella e nel farlo diventare un campo: la velocità che una qualsiasi particella possiede in un dato punto in un dato istante

21 Si pensi all’acqua che fluisce in tubo di plastica (p. es
Si pensi all’acqua che fluisce in tubo di plastica (p.es. state innaffiando le piante in un giardino). L’acqua fluisce in maniera stazionaria (flusso stazionario), ma se ostruite parzialmente con un dito l’apertura del tubo l’acqua fluisce più velocemente. La velocità di scorrimento del fluido, che è data dalla velocità delle singole molecole, tuttavia non cambia molto al variare della molecola ma è diversa nei differenti punti del tubo (e.g. dipende dalla sezione) in modulo e direzione

22 Si definisce portata di una condotta la massa di fluido che attraversa una sezione
di area unitaria al secondo Questa si può definire in termini del flusso del vettore densità di corrente Che la portata e la densità di corrente siano collegate lo si può vedere così. Per un fluido omogeneo ed incomprimibile la densità è una costante. Se adesso si considera un parallelepipedo di base unitaria (1m2) ed altezza vDt, orientato come il vettore densità di corrente vDt 1m2 In Dt secondi il volume del parallelepipedo si riempie di fluido. La quantità di questo è certamente quella che è passata attraverso un’area unitaria in secondi Dt

23 È allora evidente che se la densità di corrente è costante su tutta l’area unitaria ed
è sempre perpendicolare ad essa si ha Abbiamo indicato con DM la massa di fluido che in Dt secondi ha attraversato la sezione unitaria della condotta. Se la densità di corrente non è costante allora bisognerà calcolare l’integrale L’integrale di superficie del tipo indicato sopra è detto flusso del campo vettoriale Per rappresentare graficamente un campo vettoriale si possono disegnare le linee di flusso, ovvero il luogo dei punti in cui il campo assegnato è tangente Tubo di flusso

24 Moti stazionari e moti turbolenti
In dipendenza da certi parametri esterni il moto di un fluido può essere turbolento o stazionario (laminare) Consultare figura 16-18 Fishbane Gasiorowicz-Thornton Consultare figura 16-19 Fishbane Gasiorowicz-Thornton Nel caso stazionario il fluido sembra scorrere come un tutto (a strati paralleli), mentre nel caso turbolento si creano vortici e le linee di flusso si chiudono

25 È facile intuire che il flusso stazionario è quello che si realizza con l’acqua all’interno
di una condotta. In tal caso la portata è costante. Il moto turbolento è quello che si crea normalmente nell’atmosfera (cicloni ed anticicloni). Spesso in tali casi non si può parlare neanche di linee di flusso separate. Tuttavia anche nell’acqua dei fiumi o dei mari (si pensi allo Stretto di Messina) possono verificarsi moti estremamente turbolenti con mulinelli e gorghi in cui l’acqua si muove velocissimamente Per fissare le condizioni secondo le quali un fluido è in moto turbolento o laminare si introduce il cosiddetto numero di Reynolds, che è adimensionale r è la densità di massa, v è la velocità, L è una lunghezza caratteristica del moto (p.es. le dimensioni della condotta), mentre h è un parametro che si chiama coefficiente di viscosità Se R<2000 il moto è normalmente laminare

26 Riflettiamo che è molto più semplice mettere in moto un fluido poco viscoso come
l’aria che non, p. es., il miele, questo è il motivo per cui la viscosità, un parametro che in qualche modo tiene conto degli attriti interni di un fluido, sta a denominatore Un fluido la cui viscosità è nulla è detto fluido ideale e, ovviamente, non esiste. Il fluido ideale per eccellenza è il Gas Perfetto. In questo modello le molecole sono dei punti materiali che non interagiscono fra loro e con le pareti del contenitore se non tramite degli urti completamente elastici (nessuna attrazione e repulsione) Spesso, però, per alcuni liquidi (p.es. l’acqua in un tubo sottile) possono considerarsi quasi ideali Per un fluido ideale vale ovviamente il principio di conservazione dell’energia meccanica. Da questo principio discende direttamente l’equazione di Bernoulli

27 L’equazione di Bernoulli
Consideriamo un tubo, in cui scorre un liquido ideale (h=0) incomprimibile, alle cui estremità applichiamo due differenti pressioni, P1 e P2 Consideriamo un volumetto di liquido DV che fluisce, insieme a tutto il liquido, dal punto 1 al punto 2 P1 P2 v1 v2 h h1 h2 Le forze di pressione compiono un lavoro, e durante il suo moto varia l’energia potenziale e l’energia cinetica

28 Calcoliamo separatamente queste variazioni di energia
Calcoliamo separatamente queste variazioni di energia. Energia potenziale: Energia cinetica Lavoro delle forze di pressione Ma siccome il fluido è in moto stazionario ed incomprimibile la portata ai punti 1 e 2 deve essere la stessa Si ottiene per il lavoro

29 Ma il lavoro (esterno) delle forze di pressione deve uguagliare la variazione di energia
meccanica totale visto che non ci sono attriti. Cioè Si possono portare a primo membro tutte le quantità col pedice 1 ed a secondo membro tutte le quantità col pedice 2 La quantità si mantiene costante durante il flusso di qualunque volumetto Quest’equazione può dunque essere usata per risolvere problemi di idraulica, in sistemi in cui si può trascurare l’energia dissipata per attriti interni

30 L’equazione di Poiseuille
Sulla base del Principio di Pascal ci aspetteremmo che per un liquido in moto stazionario dentro una condotta la pressione sia la stessa in ogni sezione Il seguente esperimento mostra che così non è per un liquido reale (h>0) P P’ Se la pressione fosse la stessa dovunque l’altezza del liquido nei cannelli sarebbe uguale (vasi comunicanti) e non ci sarebbe la perdita di carico P-P’=DP

31 È evidente che in questo caso il lavoro delle forze di pressione è trasformato in calore
dall’attrito viscoso all’interno della condotta Se vogliamo mantenere il liquido in moto dobbiamo allora continuamente applicare una pressione pari alla perdita di carico per fornire al liquido la potenza che viene trasformata in calore. La situazione è la stessa di quella di un’automobile che viaggia alla velocità massima: raggiunta questa velocità a causa degli attriti si fermerebbe se il motore non fornisse l’energia necessaria Se il fluido è in moto laminare (ipotesi giustificata dalla viscosità che abbassa il numero di Reynolds), è lecito pensare il fluido diviso in differenti straterelli che scorrono l’uno sull’altro, con velocità diversa: il più veloce tende a trascinare il più lento e viceversa. Considerando un tubo a forma di cilindro circolare, gli straterelli avranno la forma di corone cilindriche concentriche. La velocità degli strati crescerà nel muoversi dalle pareti (dove si può pensare che il fluido sia fermo) verso l’asse centrale del tubo

32 Se il tubo è perfettamente orizzontale le forze che agiranno sulla singola corona cilindrica
Saranno: 1) La forza di pressione; 2) la forza acceleratrice della corona interna; 3) la forza deceleratrice della corona più esterna P P’ l l’ a dr r La forza di pressione agente sulla corona cilindrica compresa fra i raggi r e r+dr sarà La forza di attrito agente sulla superficie cilindrica interna sarà proporzionale all’area di contatto ed alla variazione di velocità nel passare da r a r+dr tramite proprio il coefficiente di viscosità

33 Notare che il segno negativo ci vuole perché questa forza tende ad accelerare la corona
ma la velocità decresce al crescere di r (la derivata di v rispetto ad r deve essere negativa) Sul mantello esterno agisce una forza rallentatrice che ha la stessa struttura della forza precedente, ma bisogna tenere in conto che cambiando r cambia la velocità ed anche la sua derivata rispetto ad r. Ciò si può fare tramite uno sviluppo in serie: Sommando questi due termini si ottiene a meno di infinitesimi del secondo ordine Nel moto stazionario questa forza deve equilibrare quella dovuta alla differenza di pressione

34 Abbiamo quindi ottenuto una equazione differenziale nella funzione incognita v(r)
Questa equazione si può facilmente integrare imponendo le condizioni al contorno per le quali sulla superficie esterna del tubo, r=a, la velocità deve essere minima (nulla) mentre a r=0 la velocità deve essere massima. Integrando una prima volta Integrando una seconda volta

35 Cerchiamo di comprendere il significato del risultato appena ottenuto
l’equazione di Poiseuille V(r) L’equazione di Poiseuille predice che il profilo delle velocità all’interno della condotta sia parabolico. Ciò corrisponde bene alla nostra intuizione (massimo al centro e nullo al contatto con le pareti interne del tubo. Questa equazione dice inoltre che la velocità di scorrimento è tanto più grande quanto è più grande la variazione di pressione per unità di lunghezza, tanto più grande quanto più larga è la condotta e tanto più piccola quanto più grande è la viscosità del liquido