Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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1 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
SISTEMI NUMERICI a confronto Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Collana Quaderni dell’intercultura E.M.I. Bologna Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

3 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011

4 Aritmetica arte dei numeri
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5 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Breve storia della matematica: la nascita dei sistemi numerici Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

6 Osso di Ishango, antichissima testimonianza di conteggio
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7 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
pezzi di argilla con cui venivano sigillati i recipienti Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Verso il a.C., proprio per contenere la documentazione contabile tridimensionale, vengono utilizzati dei contenitori in argilla di forma tondeggiante le “ bullae” ; esse vengono sigillate e sulla superficie recano informazioni circa il mittente e la tipologia della merce, anche in termini quantitativi. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Base 2 o sistema binario Usato in Cina dal a.C. è usato ancora da varie tribù dell’Australia. Gli stessi processori dei Personal Computer l’utilizzano. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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…. ….. Legenda : numeri in blu Numerazione Binaria numeri in rosso Numerazione Decimale Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Base 4 Usata dai Nabatei e dai Kharosthi (India Nord Occidentale) dal V° sec. a.C. al III° sec. d.C. Probabilmente tale tipo di numerazione è stata favorita dall’usanza di toccare le quattro dita della mano con il pollice. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Base 12 Utilizzata dalla tribù Apho (Nigeria), è un’evoluzione della base 4 in quanto considera le tre falangi delle quattro dita. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Base 5 Fu usata dal a.C. (ex Cecoslovacchia) molte numerazioni non posizionali recano tracce evidenti della base cinque Base 5 - Base 10 - Base 20 Furono di gran lunga le più usate. La stessa numerazione romana in base 10 reca tracce della base 5 come pure le numerazioni dei Maya (in base 20) e degli Aztechi (in base 10). Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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I Cumana (Etiopia) usano l’espressione “un uomo intero” per indicare venti, “due uomini interi” per indicare quaranta. Per lo stesso motivo gli abitanti dell’isola Indonesiana di Enggano (Sumatra) dicono “cinque uomini” per indicare cento. I Baschi utilizzano ancora la base 20 per cui dicono “venti e dieci” per indicare trenta Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Base 10 Secondo Aristotele, tale base si impone proprio perché l’uomo utilizza le dita delle mani come abaco naturale sempre a sua disposizione. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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in Cina l’abaco è chiamato “ Suan phan “ in Giappone “ Soroban “ Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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21 CIVILTA’ DEL MESOAMERICA
e le loro matematiche Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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La numerazione Maya Gli antichi abitanti della penisola dello Yucatan, nell’attuale Messico, usavano un sistema di numerazione in base 20. La notazione era posizionale: utilizzavano un puntino  per l’unità, una barretta orizzontale per le cinquine, e… il simbolo Come simbolo distanziatore Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Maya (dal 500 a.C. al 300 d.C.) La scrittura e l’organizzazione della misura del tempo sono indicatori del livello culturale veramente significativo raggiunto dai Maya. Essi si servivano della matematica per determinare i giorni fausti e infausti. I loro sacerdoti erano al contempo astronomi, astrologi, matematici. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Pur non conoscendo né frazioni, né numeri decimali, avevano una matematica di notevole interesse per quanto riguarda l’originalità del loro sistema numerico, vigesimale, con alcune “compromissioni “ in base Era infatti una struttura posizionale, l’originalità sta proprio nella scrittura verticale dei numeri. L’uso di soli 3 simboli per la composizione dei numeri, richiede a supporto una qualche sopravvivenza di regole additive : Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Sorprendenti sono le analogie tra i sistemi numerici babilonesi e maya. Babilonesi Maya additivo fino a additivo fino a 19 posizionale da posizionale da 20 potenze di potenze di 20 notazione posizionale Orizzontale notazione posizionale verticale Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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27 SISTEMA POSIZIONALE VERTICALE VIGESIMALE
205 204 203 202 ( X 18) 200 Simbolo distanziatore per l’unità, per le cinquine Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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29 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
Alcuni numeri ammettevano anche delle notazioni alternative, come lo zero ed anche il 20: Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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I numeri da 1 a 13, inoltre, erano divinizzati, e talvolta i Maya li raffiguravano sotto forma di volti. Ecco diverse rappresentazioni della cifra 1 nel 10, nel 19 e come unità. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

31 La terza cifra dal basso indicava allora
Un sistema leggermente diverso veniva usato per scrivere le date. L’anno dei Maya, come quello dei Babilonesi, durava 360 giorni a cui si aggiungevano 5 giorni “infausti”. La terza cifra dal basso indicava allora 360 = 18  20 anziché 400 = 20  20. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

32 Seconda colonna a sinistra,dall’alto in basso
Un frammento del codice di Dresda Seconda colonna a sinistra,dall’alto in basso 9X20X 20X18X20 9X 20X18X20 16X18X20 0X20 = = Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

33 Notazioni numeriche azteche
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36 L’aritmetica degli INCAS
ovvero un sistema numerico (posizionale, decimale, …verticale) ….senza scrivere un numero Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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5 7 6 = = 3576 Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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GLI INCAS Registrazioni di numeri attraverso i nodi, sono in realtà abachi o libri contabili strutturati in maniera così originale da sorprendere dal popolo incaico. Quipu in lingua quechua significa “ nodo“. Nato per registrare dati di natura amministrativa-politica, aveva dimensioni varianti tra i trenta centimetri e i tre metri e mezzo. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Alla corda principale venivano legate funicelle più sottili a distanze prestabilite, a gruppi di numero variabile secondo regole codificate. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Di materiale diverso (lana o cotone) potevano essere colorate : colore, tipo di nodo, intreccio dei fili per costruire la corda stessa, costituivano messaggi utili per contestualizzare informazioni deducibili, comunque, solo da adepti. Infatti i quipu una volta annodati, venivano “ fissati “ bagnando i nodi, tingendo le funicelle, fissando definitivamente con resine il tutto in modo da impedire ogni tentativo di alterare i messaggi. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Dall’osservazione delle funicelle e dei nodi su di esse fissati, si desume che anche la numerazione incaica era organizzata in base 10 ed era posizionale, verticale. I nodi su una sola funicella rappresentano le unità, mentre quelli su due funicelle riunite, le decine, su tre funicelle riunite le centinaia, su quattro funicelle riunite le migliaia. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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Le addizioni erano possibili utilizzando le sole funicelle. I capi di bestiame o i raccolti agricoli venivano registrati in termini quantitativi in modo sistematico e convenzionale : per gli ovini ad esempio prima venivano contati i montoni, poi gli agnelli e per ultimo le pecore. A questo punto nel quipu veniva aggiunta un’altra funicella sulla quale attraverso i nodi veniva data la somma dei capi di bestiame. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

44 RETI MOLTIPLICATIVE ED INDIANI D’AMERICA
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Alcune tribù indiane erano solite tracciare sulla sabbia delle regioni desertiche che attraversavano dei grafi a forma di ramo. Osservate da noi ora le potremmo interpretare come reti moltiplicative. Sono piaciute molto e, con l’aggiunta dei colori dei regoli, divengono ancora più attraenti ed efficaci nella comunicazione. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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regoli in colore Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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= 7 = 7 = 17 Con i regoli si possono preparare “cornicette, tappetini, bordi…” saranno i bambini stessi a trovare i nomi più vicini ai loro vissuti, ma questi disegni sono trasformabili in strutture di calcolo come quella proposta qui sotto. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

51 (un quadrato da tre per tre)
Raggruppare in basi diverse dalla base dieci la regola del tre (ogni tre si cambia) come vediamo nell’immagine tre unità permettono di realizzare il cambio con una terzina. Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine (un quadrato da tre per tre) Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

52 (un quadrato da tre per tre)
Tre terzine permetteranno il cambio con un piatto formato da tre terzine (un quadrato da tre per tre) Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

53 Sistemi numerici nella storia
Ricostruzione : dell’albero genealogico dei nostri numeri delle regole del nostro sistema numerico posizionale e in base dieci dei sistemi dei popoli con cui veniamo in contatto Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

54 Sistemi numerici non posizionali
S.N. del popolo Sumero S.N. del popolo Egizio S.N. del popolo Cinese S.N. del popolo Azteco S.N. del popolo Babilonese (entro il 59) S.N. del popolo Maya (entro il 19) Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

55 Costruzione di un sistema numerico
Simboli numerici Regole Non posizionali decimali  non decimali posizionali decimali Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

56 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base due
Le cifre che avete a disposizione sono : 1 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

57 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base tre
Le cifre che avete a disposizione sono : 1 2 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

58 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base dieci
Le cifre che avete a disposizione sono : ……………………………… Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare operare (quattro operazioni, a piacere ) secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

59 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base quattro
Le cifre che avete a disposizione sono : 1 2 3 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

60 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base cinque
Le cifre che avete a disposizione sono : 1 2 3 4 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

61 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sei
Le cifre che avete a disposizione sono : ° 3 ° 4 ° 5 Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

62 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base sette
Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

63 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base otto
Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

64 Costruzione di un sistema numerico posizionale in base nove
Le cifre che avete a disposizione sono : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Le potrete usare secondo le regole posizionali. Prima proposta: Tracciare la linea dei numeri fino alla composizione di numeri a quattro cifre. Provare con l’abaco situazioni di cambio. Provare addizioni in colonna e con l’abaco secondo le regole della base in cui si sta operando. Scrivere le regole tipiche di questa base. Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

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66 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
logica Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011

67 Sulla via delle competenze PAESTUM 29 -30 sett. 1 ott.2011
strutture Sulla via delle competenze PAESTUM sett. 1 ott.2011