Parte XXV: Propagazione delle onde elettromagnetiche nella materia

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1 Parte XXV: Propagazione delle onde elettromagnetiche nella materia
Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XXV: Propagazione delle onde elettromagnetiche nella materia Lo Spettro delle onde elettromagnetiche La misurazione della velocità della luce Onde elettromagnetiche in dielettrici omogenei Leggi della riflessione e rifrazione (Snell) I miraggi e il prisma Dispersione ed Assorbimento Diffusione della luce Onde elettromagnetiche nei conduttori Interferenza Diffrazione Il reticolo di diffrazione Il LASER Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster Riflessione totale ed onde evanescenti

2 Lo Spettro delle onde elettromagnetiche
Lunghezza d’onda l=10n m 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 n= Radio diffusione (onde medie) Onde radio (lunghe) Luce visibile Raggi X Onde radio (corte) Raggi g TV infrarosso ultravioletto radar Frequenza n=10k Hz 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 k =

3 La misurazione della velocità della luce
La misurazione della velocità di fase di un’onda è un problema concettuale oltre che tecnico Data l’enorme velocità non è affatto facile seguire nel suo moto un fronte d’onda. Si deve a Fizeau il primo metodo inventato per questo esperimento. Omettendo tutte le lenti necessarie per realizzare l’esperimento, l’idea base fu la seguente: Specchio semi riflettente Osservatore Sorgente d Se d è grande e la ruota dentata ruota velocemente l’osservatore vede diminuire l’intensità. Quando il tempo di scambio di due dentelli della ruota è pari al tempo che l’onda percorra il tratto d l’osservatore non vedrà più l’immagine

4 Onde elettromagnetiche nei dielettrici omogenei
Un dielettrico omogeneo è caratterizzato da una costante dielettrica e e da una permeabilità magnetica m (m0). Pertanto è richiesta una semplice modifica della equazione delle onde dove la velocità delle onde nel mezzo è Dove si è introdotto l’indice di rifrazione assoluto n come L’indice di rifrazione dipende dal mezzo ma può dipendere dalla frequenza dell’onda. Se (non) dipende dalla frequenza del campo si dice che il mezzo (non) è dispersivo Vedremo che i mezzi dispersivi assorbono energia elettromagnetica dall’onda e danno luogo al fenomeno della dispersione delle onde elettromagnetiche

5 Le Leggi delle Riflessione e della Rifrazione
Se un’onda el.m. incontra nella sua propagazione la superficie di separazione fra due mezzi la sua velocità di fase dovrà cambiare, perché cambia l’indice di rifrazione Supponiamo che un’onda incida sulla superficie piana di separazione di due mezzi, altrimenti omogenei, secondo una direzione k, facendo un angolo i con la perpendicolare alla superficie e1 e2 z i r1 r2 L’esperienza mostra che si origineranno un’onda riflessa ed un’onda trasmessa (rifratta)

6 I campi delle tre onde saranno descritti da le seguenti tre funzioni
Onda incidente Onda riflessa Onda trasmessa Dove k1 e k2 sono i versori delle direzioni delle onde riflessa e trasmessa e v1 e v2 le velocità nei due mezzi Ma le componenti tangenziali dei campi alla superficie di separazione (z=0) devono essere continue, e ciò deve valere per tutti i punti del piano e per tutti i tempi. Ciò è possibile solo se gli argomenti delle tre funzioni sono uguali, Deve quindi essere Queste relazioni consentono di predire, conoscendo l’angolo di incidenza i gli angoli delle onde riflessa e trasmessa o, come si dice, rifratta. Per l’onda riflessa (z=0) Data l’arbitrarietà di x e y, le parentesi si devono annullare simultaneamente. Questo vuol dire che le rette k e k1 devono essere coplanari, e siccome le componenti di k e k1 sono i coseni direttori deve essere Cioè gli angoli di incidenza e riflessione sono uguali

7 Procedendo analogamente per l’onda rifratta
Ancora una volta le parentesi si devono annullare separatamente. La proporzionalità fra i coefficienti indica ancora una volta la coplanarità delle direzioni di propagazione delle due onde. Per trovare una relazione fra gli angoli possiamo quadrare e sommare: Si trova così la legge della rifrazione (Snell): il rapporto fra i seni dell’angolo di incidenza e l’angolo di rifrazione è pari al rapporto fra gli indici di rifrazione assoluti dei due mezzi ovvero all’indice di rifrazione relativo dei mezzi

8 Se l’indice di rifrazione del primo mezzo è più grande di quello del secondo si ha
Al crescere dell’angolo di incidenza si raggiungerà un angolo limite iL per il quale l’angolo di rifrazione sarà superiore di 90 gradi. In tal caso si verifica il fenomeno della riflessione totale: l’onda elettromagnetica non potrà penetrare nel secondo mezzo, e vi sarà solo l’onda riflessa

9 I miraggi Se un mezzo non è omogeneo (si pensi all’aria con zone di umidità o temperatura variabili) le onde el.m. non potranno quindi propagarsi in linea retta. Questa è la ragione del verificarsi di fenomeni spettacolari o strani quali i miraggi (Fata Morgana) Oggetto Osservatore Immagine

10 Il prisma Un dispositivo che sfrutta il fenomeno della rifrazione è il prisma Il vetro ha un indice di rifrazione relativo all’aria pari a nrel= Questo fa sì che l’angolo limite per la riflessione totale sia Quindi un prisma a 450 si consente di deviare la luce secondo la figura Tuttavia se il fascio di luce non è monocromatico, ma è bianco, cioè è costituito dalla sovrapposizione di onde di tutte le frequenze comprese nella banda della luce visibile, à la Fourier, e l’incidenza non è 900 si avrà il fenomeno della Dispersione ottica

11 Con un prisma è possibile misurare l’indice di rifrazione di un materiale per un’onda
monocromatica.  i i’ r r’ d A B C D Dovrà essere: Studiando il triangolo BCD Studiando il triangolo ABC Cerchiamo ora di vedere come varia d al variare dell’angolo di incidenza i (non può essere lineare). A questo scopo differenziando d e le leggi di rifrazione

12 Dall’ultima relazione è ovvio che l’angolo di deviazione d è minimo se i=i’ e r=r’ cioè quando
il percorso dell’onda è simmetrico rispetto alla bisettrice Indicando questa deviazione minima con dm avremo Quest’ultima relazione può essere usata per misurare n Bisogna tuttavia porsi le domande: Perché l’indice di rifrazione varia al variare della frequenza dell’onda elettromagnetica? Con quale legge?

13 Dispersione ed Assorbimento
Supponiamo che un’onda elettromagnetica piana passi dal vuoto ad un gas di densità N. -e +e p(t) z Se immaginiamo che un elettrone investito dalla radiazione sia legato al nucleo da una forza elastica di costante k, questo acquisirà un momento elettrico di dipolo p=ex(t), che oscillerà nel tempo. Se ipotizziamo, inoltre, che queste oscillazioni avvengono, a causa di attriti interni con uno smorzamento g, avremo: Questa è l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato e forzato che possiamo risolvere ponendo

14 Derivando e sostituendo
Dove, a parte le condizioni iniziali, c’è l’ulteriore richiesta che x sia reale La cosa interessante è, però, che possiamo scrivere il momento di dipolo come cioè in termini di una polarizzabilità complessa e dipendente dalla frequenza del campo Notiamo subito che il modulo della polarizzabilità, la funzione di risposta dell’atomo al campo esterno, decresce al crescere della frequenza e che nel limite statico (w=0) torna il valore elettrostatico della polarizzabilità

15 Un tipico andamento del modulo della polarizzabilità è
La polarizzabilità quindi assume relativamente grandi valori alla frequenza di risonanza e tende a zero per frequenze elevate. È piccola per bassa frequenza. Da tutto ciò si comprende che l’atomo si polarizza e, quindi, il campo compie lavoro per frequenze vicine alla frequenza di risonanza. Cosa ne è di questa energia trasferita?

16 Dalla polarizzabilità possiamo risalire alla suscettività e quindi all’indice di rifrazione:
dove si è fatto uso che per un gas la densità N è un numero piccolo Il fatto che la materia possa essere polarizzata dall’onda el.m. può quindi essere descritto da un indice di rifrazione complesso Per comprendere il significato fisico di quanto sopra, scriviamo l’espressione dell’onda el.m. all’interno della materia (z>0) dove si propaga con velocità v=c/n Da questa espressione si capisce che n’ gioca il ruolo dell’indice di rifrazione propriamente detto, e la sua dipendenza dalla frequenza ci dice che avviene il fenomeno della dispersione Il ruolo di n’’(<0) invece è quello di far diminuire l’ampiezza dell’onda esponezialmente mentre questa si propaga nella materia: il fenomeno dell’assorbimento

17 Per quanto riguarda l’intensità
L’ampiezza dell’onda, e quindi la sua intensità decresce all’interno della materia g =0.2 =0.8 z Vuoto Materia Per quanto riguarda l’intensità b è detto coefficiente di assorbimento

18 Considerazioni sull’assorbimento
Dunque un’onda el.m. che si propaga nella materia perde energia. Questa viene ceduta agli atomi che si polarizzano per il lavoro compiuto dal campo elettrico. Per frequenze elevate la polarizzabilità tende a zero: in tal caso l’elettrone deve oscillare così velocemente che le forze di attrito viscoso (dovute a tutte le altre cariche del sistema) diventano enormi e l’ampiezza delle oscillazioni dell’elettrone tende a zero. In tal caso l’atomo non si polarizza e quindi non assorbe energia. Ecco perché i raggi g passano abbastanza indisturbati (escludendo l’Effetto Compton) nell’atmosfera, e per schermarli, nelle centrali nucleari si usano grandissimi spessori di materia. Ecco perché i raggi X attraversano il corpo umano e consentono di fare le radiografie I corpi trasparenti assorbono poca energia mentre i corpi opachi assorbono tutta l’energia dell’onda incidente Noi abbiamo modellato la materia come un solo atomo e con un solo elettrone. Nella realtà la materia è fatta di molti atomi ed elettroni. Questo fa sì che la parte immaginaria di n abbia molti massimi corrispondenti a molte frequenze di risonanza (che corrispondono ai salti quantici che gli elettroni possono compiere fra differenti livelli energetici). Queste possono cadere in bande di frequenza molto lontane fra loro (dall’infrarosso al X) Questa, insieme alla diffusione della radiazione, è la ragione per cui una radiografia mostra zone chiare (le ossa) e scure (tessuti molli) che assorbono in maniera differente la radiazione

19 I livelli energetici (bande) elettronici normalmente distano energie che sono dell’ordine
dei fotoni della luce visibile o ultravioletta, per gli elettroni di valenza. Per eccitare i livelli elettronici più profondi ci vogliono i raggi X. Le vibrazioni dei nuclei attorno alle loro posizioni di equilibrio, invece, hanno energie comparabili con lo spettro infrarosso. Le eccitazioni interne dei nuclei cadono nello spettro dei raggi g Accanto al fenomeno dell’assorbimento c’è il fenomeno della riflettività (diffusione) della luce: alcune radiazioni non penetrano nella materia ma vengono riemesse. Il colore degli oggetti illuminati da luce bianca dipende dal fatto che alcune onde di opportune frequenze vengono assorbite mentre quelle riflesse si combinano determinando così il colore dell’oggetto A temperatura ambiente i nuclei dei corpi vibrano: questo significa che emettono radiazione infrarossa per mantenersi in equilibrio termico con l’ambiente La Terra, di notte, si raffredda emettendo radiazione infrarossa. Se l’atmosfera consente il passaggio di questa radiazione la Terra può raggiungere l’equilibrio termico. Se l’atmosfera invece riflette indietro la radiazione infrarossa allora la Terra non può raffreddarsi e la sua temperatura è destinata a salire. La presenza di anidride carbonica (o di altri gas Serra) nell’atmosfera aumenta moltissimo la riflettività infrarossa della atmosfera. Questa è l’origine dell’Effetto Serra. Anche il vetro, che è trasparente alla luce visibile, ha una grande riflettività infrarossa: Infatti le sue proprietà sono usate per costruire le serre florovivaistiche.

20 Alcune considerazioni sulla dispersione
La dipendenza della frequenza dell’indice di rifrazione (parte reale) è l’origine di fenomeni spettacolari come l’arcobaleno. Dopo una pioggia si può formare uno strato atmosferico saturo d’acqua che è molto dispersivo. Le differenti componenti della luce bianca vengono rifratte con angoli differenti e quindi si vedono i sette colori dell’iride. In realtà la frequenza varia con continuità dal rosso al violetto. Al crescere della frequenza l’indice di rifrazione diminuisce abbastanza velocemente passando attravesro la frequenza di risonanza Questa è la causa del fatto che quando il sole è basso sull’orizzonte il cielo assume una colorazione rossastra, ovvero la luna bassa sull’orizzonte può anch’essa essere rossastra: Alla rifrazione con l’atmosfera le radiazioni più deviate sono quelle di bassa frequenza La dispersione e l’assorbimento sono fenomeni intimamente connessi

21 Diffusione della luce Un atomo irradiato si comporta come un dipolo che oscilla con la frequenza dell’onda incidente. Di conseguenza deve a sua volta irradiare. La potenza irradiata può essere calcolata con la formula del dipolo oscillante. La legge oraria del dipolo oscillante è La potenza irradiata dal dipolo oscillante diventa allora: La potenza diffusa da un volume in cui i dipoli sono distribuiti con densità N è quindi La cosa interessante di questa formula è la dipendenza da w4. Ciò significa che le radiazioni di frequenza più elevata sono diffuse molto di più di quelle di frequenza più bassa. Questo è il motivo per cui l’aria o il mare che sono trasparenti in realtà quando illuminati dalla luce del sole appaiono blu

22 Onde elettromagnetiche nei conduttori
Se un’onda incide sulla superficie di un conduttore il campo elettrico costringerà gli elettroni ad oscillare (per esempio parallelamente alla superficie). Questi moti elettronici sono vere e proprie correnti, la cui densità è legata al campo elettrico dalla legge di Ohm Possiamo trovare l’equazione di queste onde con le Equazioni di Maxwell immaginando che eventuali densità (accumuli) di carica di volume siano trascurabili: Nella IV Eq. abbiamo sostituito la legge di Ohm ed abbiamo rimarcato il fatto che la conducibilità deve cambiare con la frequenza: dato l’attrito viscoso in cui si muovono gli elettroni, al crescere della frequenza, e quindi della velocità degli elettroni stessi, l’attrito aumenta e, pertanto l’ampiezza delle oscillazioni deve diminuire all’aumentare della frequenza

23 Prendendo il rotore di ambo i membri della IV (III) e sostituendo la III (IV) e la II (I)
Abbiamo trovato un’equazione simile aquella di D’Alembert, ma con un temine che è legato a possibili smorzamenti Cerchiamo una soluzione tipo onda piana per queste equazioni Per effetto della conducibilità finita (grande) del mezzo il vettore d’onda k risulta complesso e la relazione di dispersione è più complicata di quella di un mezzo non dispersivo.

24 La circostanza che il vettore d’onda k sia complesso è legata all’assorbimento
La quantità d=(k’’)-1 è lo spessore di conduttore che l’onda attraversa riducendo la sua ampiezza di un e-esimo, e va sotto il nome di spessore di penetrazione. Si capisce come per un buon conduttore tale spessore può essere ridottissimo: quanto più il conduttore è buono tanta più energia viene sottratta all’onda sotto forma di lavoro per generare correnti e tanto più calore viene prodotto per effetto Joule Per un buon conduttore gli spessori di penetrazione possono essere dell’ordine dei nanometri, mentre per l’acqua del mare d è dell’ordine delle centinaia di metri Questo risultato spiega la ragione fisica del fatto che i metalli sono opachi per la luce visibile, e sono anche buoni materiali per schermare onde di alta frequenza (raggi X) I meccanismi di assorbimento spiegano perché un materiale lasciato al Sole si riscalda (si pensi ad una automobile).

25 Coerenza delle onde elettromagnetiche
Le sorgenti di luce naturale non sono monocromatiche e sono inoltre incoerenti. Questa proprietà discende dal fatto che l’emissione di luce avviene quasi sempre perché degli elettroni decadono da livelli eccitati a livelli energetici più bassi (vuoti) emettendo un fotone. Essendo una sorgente costituta da molti atomi, se anche tutti gli atomi emettessero fotoni solo di una frequenza (e questo non basta a fare l’onda monocromatica), i singoli eventi di emissione sarebbero assolutamente scorrelati gli uni dagli altri. Pertanto l’onda emessa, benché possa essere monocromatica e polarizzata normalmente presente dei bruschi salti di fase assolutamente casuali In generale quindi un’onda piana non è rigorosamente sinusoidale e la sua espressione matematica dovrebbe essere del tipo Se la funzione di fase f(x,t) fosse costante nel tempo l’onda si direbbe coerente temporalmente. Se fosse spazialmente uniforme l’onda si direbbe spazialmente coerente. Se f(x,t) fosse costante sia nello spazio che nel tempo l’onda sarebbe coerente (sorgenti laser). Due onde non coerenti, possono essere coerenti fra di loro se la loro differenza di fase è sempre costante S S1 S2 Con uno schermo e due fenditure si possono costruire due onde coerenti fra loro

26 Interferenza Un fenomeno caratteristico della propagazione ondosa è l’interferenza Consideriamo due onde coerenti o coerenti tra loro, sinusoidali e polarizzate rettilineamente. Siano emesse da due sorgenti distanti Dx cerchiamo l’intensità totale in un punto P che disti x1 dalla prima sorgente ed x2 dalla seconda x P Dx x1 x2 Se le sorgenti fossero isolate l’intensità in P sarebbe la somma delle intensità delle due onde come se le sorgenti fossero isolate Ma il campo in P è la risultante dei due campi, e dall’operazione di modulo quadro deve comparire un termine di doppio prodotto

27 Definendo T il m.c.m. dei periodi T1 e T2
Se il termine I12 non è nullo si dice che le onde interferiscono. Questo può essere nullo nella maggioranza dei casi, infatti l’interferenza è un fenomeno naturale difficile da notare. (1) Se le onde non sono coerenti tra loro, le funzioni di fase che apparirebbero nelle funzioni seno sotto il segno di integrale annullerebbero l’integrale stesso. (2) Se le onde fossero polarizzate perpendicolarmente il prodotto scalare della ampiezze si annullerebbe (3) Se le onde non fossero monocromatiche l’integrale si annullerebbe (vedi Analisi di Fourier) Per semplicità ipotizziamo quindi che le onde siano coerenti (tra loro), polarizzate parallelamente e di uguale frequenza. In queste ipotesi

28 Sostituendo Da cui si vede che I12 può essere positivo o negativo al variare della distanza fra le sorgenti. Siccome Si vede che la differenza di fase con cui le onde giungono in P dipende dal rapporto fra la differenza di cammino rapportata alla lunghezza d’onda

29 Graficando il funzione di Dx l’intensità
Massima Intensità=4I Valor medio=2I Minima intensità =0 (Oscurità) Nei punti di massima intensità si dice che vi è interferenza costruttiva, mentre nei punti di oscurità si ha interferenza distruttiva interferenza costruttiva interferenza distruttiva Multiplo pari di mezze lunghezze d’onda Multiplo dispari di mezze lunghezze d’onda

30 Questo esperimento non è praticamente realizzabile
Questo esperimento non è praticamente realizzabile. Si può facilmente realizzare però il seguente S S1 S2 Nella regione di sovrapposizione x1 le onde arrivano con differenze di fase a causa della differenza fra x1 e x2 x2 Ruotando lo schermo vedremo una immagine analoga a Queste sono le frange di interferenza. Dalla loro periodicità si può risalire alla lunghezza d’onda della radiazione

31 Diffrazione Uno dei fenomeni più spettacolari in natura è quello della diffrazione delle onde Questo fenomeno, che è caratteristico della propagazione ondosa, consiste nel fatto che in certe situazioni le onde non sembrano propagarsi in linea retta Il principale strumento per comprendere questo fenomeno è il cosidetto Principio di Huyghens. Questo è la conseguenza di un teorema detto di equivalenza Il Principio di Huyghens si può formulare come segue: i punti (geometrici) investiti da un fronte d’onda al tempo t possono considerarsi come sorgenti di onde sferiche elementari, il cui inviluppo costituisce il fronte d’onda al tempo t+Dt

32 Col Principio di Huyghens è facile spiegare le leggi della riflessione e rifrazione
1 2 A’ i O A B r1 r2 C Un fronte d’onda piana che viaggia con velocità v1 nel mezzo 1 in cide nel punto O all’istante t=0. Dopo t secondi il punto A avrà raggiunto il punto B: AB=v1t Nel frattempo i punti della superficie cominciano ad emettere onde sferiche il cui inviluppo è il fronte dell’onda riflessa Il raggio della sfera centrata in O sarà pari a A’B’=v1T1 e dall’uguaglianza dei triangoli OAB e OA’B’ discende l’uguaglianza degli angoli di incidenza e riflessione Analogamente per la rifrazione si trova OC/AB=v2/v1 e quindi la Legge di Snell dato che i raggi sono cateti e proporzionali al seno dell’angolo opposto

33 Per comprendere questo fenomeno facciamo il seguente esercizio: un’onda piana incide
su una fenditura e noi vogliamo ricostruire l’immagine riprodotta su uno schermo molto distante (diffrazione di Fraunhofer) O h q r dx x xsinq Per ricostruire il fronte d’onda ad una inclinazione (vergenza) q piccola posso considerare i segmenti infinitesimi fra x e x+dx come sorgenti di onde sferiche elementari. Ciascun elementino produrrà un campo infinitesimo dE con una fase dipendente da x e dall’angolo q

34 Il campo sarà proporzionale al volume della fenditura e potremo scrivere:
La fase dipenderà dal rapporto fra la lunghezza d’onda ed il tratto in più che l’onda elementare emessa dal punto x dovrà percorrere L’ultima approssimazione è una conseguenza del fatto che lo schermo è ad una distanza r>>h, l. Integrando Con le formule di prostaferesi Pertanto si vede che, a parte il fattore di fase inessenziale in argomento del seno, la dipendenza del campo dall’angolo q sta nel fattore

35 L’intensità raccolta sullo schermo varierà dunque proporzionalmente a
Al variare del rapporto l/h quindi l’intensità cambia molto. Nel caso in cui h ed l sono confrontabili l’immagine di un foro rotondo sarà dunque

36 Per comprendere la dipendenza del fenomeno dal rapporto l/h, notiamo che la variazione
di z fra i primi due minimi, Dz, è pari a p. Allora, se la lunghezza d’onda è trascurabile rispetto alle dimensioni della apertura, anche una piccolissima variazione dell’angolo ci fa passare dalla luce all’ombra, se invece il rapporto l/h si avvicina all’unità diventano visibili i massimi laterali. Questo è il motivo per cui la luce del sole che entra da una finestra forma sulla parete opposta o sul pavimento una zona di luce nettamente separata dall’ombra. Ma un foro di uno spillo in una tenda nera tenderà a diffrangere la luce in tutte le direzioni. Ma la diffrazione è un fenomeno molto più frequente e quotidiano in natura: è il motivo per cui da una stanza si sentono voci o rumori provenienti da un’altra, o il motivo per il quale le anse di un fiume vicino alla foce a delta hanno le stesse dimensioni del letto. Ancora: una superficie di vetro liscia può riflettere la luce mentre una scabra non lo fa; se strofinate delicatamente il bordo di un bicchiere col gambo con dell’acqua il bicchiere emette un suono, ma se l’acqua è frizzante il bicchiere non suona Si noti che la fenditura è l’equivalente di una funzione Rect (vedi Cenni di analisi di Fourier) e che il campo risultante è proporzionale alla funzione Sync, la trasformata di Fourier della Rect

37 Il reticolo di diffrazione
Un reticolo di diffrazione è un dispositivo che consente di combinare gli effetti di diffrazione con l’interferenza. Esso è costituito da una serie di fenditure equispaziate con passo p. Un’onda che incide su ogni fenditura produrrà una serie di onde diffratte che interferiranno fra loro. In funzione dell’angolo di osservazione, si dovranno rivelare effetti di interferenza costruttiva e distruttiva È facile vedere che i massimi cadranno nei punti qmax tali che

38 Si capisce quindi che con una radiazione di lunghezza d’onda nota si potrà determinare
Il passo del reticolo o viceversa, semplicemente misurando la distanza angolare tra i massimi In effetti è proprio quello che si fa per studiare i reticoli cristallini dei solidi. Usando Raggi X , le cui lunghezze d’onda sono confrontabili con le distanze interatomiche, si possono determinare le posizioni degli atomi q

39 Il LASER La sigla LASER sta per Light Amplifier by Stimulated Emission Radiation Il laser è uno strumento che consente la produzione di luce coerente, monocromatica e polarizzata Esso sfrutta il fenomeno della emissione stimolata Emissione spontanea: se un elettrone decade da un livello eccitato ad uno più basso emette un fotone e2 e1 Stato vuoto Stato occ. e2 e1 hn=e2-e1

40 Emissione stimolata: se un fotone di energia hn=e2-e1 investe un elettrone nel livello e2 lo fa
immediatamente precipitare al livello e1 e2 e1 Stato vuoto Stato occ. e2 e1 hn=e2-e1 Accanto ai fenomeni di emissione bisogna considerare il fenomeno di assorbimento: un fotone può essere assorbito da un elettrone che passa dallo stato più basso allo stato eccitato e2 e1 Stato occ. Stato vuoto e2 e1 hn=e2-e1 Di conseguenza se irradiamo un atomo possiamo avere in uscita due fotoni (emissione Stimolata) o nessuno (assorbimento). In.oltre la probabilità che avvenga l’uno o l’altro processo (sezione d’urto) è uguale

41 Se però irradiamo un sistema di molti atomi il flusso di fotoni sarà minore in uscita di quello
in entrata: la popolazione del livello e1 (numero di atomi con l’elettrone nel livello) è maggiore di quella del livello e2 all’equilibrio Questo è un inconveniente, per la realizzazione di un amplificatore di luce, ma l’emissione stimolata è un meccanismo promettente per realizzare luce monocromatica e coerente: gli atomi emettono tutti quando investiti dalla radiazione, quindi l’emissione è in fase L’amplificazione di luce si può realizzare mediante l’inversione della popolazione, con un sistema a tre o quattro livelli (materiale attivo) e2 e1 e3 e2 e1 e3 e2 e1 e3 Dec. rapido e2 e1 e3 e0 e2 e1 e3 e0 Dec. rapido e2 e1 e3 e0

42 Il sistema a quattro livelli è più efficiente perché la popolazione del livello 1 resta sempre
minore di quella del livello 2 Tuttavia ancora non siamo che all’inizio della costruzione di questa macchina (il cui rendimento è evidentemente basso) Il materiale attivo deve essere inserito in una cavità risonante (Fabry-Perot): una cavità metallica le cui pareti sono estremamente riflettenti e parallele. d Se la lunghezza d della cavità non è un multiplo esatto della lunghezza d’onda tutte le onde nella cavità si distruggeranno per interferenza. Se invece d=Nl, allora quest’onda andrà avanti e indietro nella cavità continuamente stimolando l’emissione degli atomi. La luce potrà essere prelevata da un lato usando uno specchio semiriflettente

43 Coefficienti di Fresnel: riflettività e trasmittività
Partendo dalle leggi di Snell è possibile determinare le intensità delle onde riflessa e rifratta Innanzitutto notiamo che un’onda non polarizzata può essere decomposta nella sovrapposizione di due onde polarizzate rettilineamente, i cui campi siano perpendicolari Siccome i due campi non interferiscono (cfr. Interferenza), si potrà scrivere Inoltre se l’onda è completamente non polarizzata le ampiezze di Es e Ep possono essere prese uguali, cosicché le due onde trasportano la stessa quantità di energia. Invece se le ampiezze di Es e Ep differiscono, allora l’onda si dice parzialmente polarizzata e si definisce rapporto di polarizzazione Se consideriamo adesso un’onda non polarizzata incidente sulla superficie di separazione di due mezzi possiamo decomporla nei due campi e studiarli separatamente

44 Per studiare la riflessione e la rifrazione di un’onda non polarizzata, conviene scegliere il
campo Es perpendicolare al piano definito dalla direzione di propagazione e dalla normale alla superficie, il piano di reazione (il campo Es parallelo alla superficie o polarizzazione “S”) ed il campo Ep giacente nel piano stesso (polarizzazione “P”). e1 e2 z i r “S” e1 e2 z i r “P” Le ampiezze del campo elettrico e del campo magnetico sono legate dall’impedenza caratteristica del mezzo, generalizzazione dell’impedenza del vuoto

45 Le condizioni di continuità alla superficie di separazione impongono che le componenti
tangenziali dei campi elettrico e magnetico siano continue. Questo comporta Ma le ampiezze dei campi elettrico e magnetico sono proporzionali, quindi è possibile ottenere un sistema di equazioni nelle ampiezze dell’onda riflessa e rifratta Risolvendo e facendo uso della legge della rifrazione

46 Definendo i coefficienti riflessione di Fresnel come
Si ottiene dopo qualche manipolazione Questi coefficienti sono il rapporto fra le ampiezze delle onde. Si possono introdurre i coefficienti di riflessione come i rapporti fra le intensità dell’onda incidente e riflessa. Cioè: Analogamente si possono definire i coefficienti di trasmissione, tp, ts Tp e Ts

47 Angolo di Brewster Se l’angolo di incidenza è tale che
è facile vedere che l’angolo di incidenza e quello di rifrazione sono complementari Pertanto al tendere dell’angolo di incidenza all’angolo di Brewster, tg(iB+r) diverge, quindi E’p tende ad annullarsi. In assenza di processi dissipativi, l’intensità dell’onda incidente si divide fra quella incidente e quella trasmessa, quindi per incidenza pari all’angolo di Brewster e polarizzazione P tutta l’intensità viene trasmessa Questa circostanza è suscettibile di spettacolari applicazioni ingegneristico/architettoniche. Se le vetrate di un edificio sono opportunamente inclinate ed orientate, in modo da far sì che la luce solare incida per tutto il giorno con angoli vicini all’angolo di Brewster del vetro, si otterrà che nell’edificio penetri la massima intensità luminosa possibile. Le famose piramidi del Museo del Louvre, sono ispirati a questo semplice fenomeno fisico.

48 Riflessione totale La legge di Snell predice fenomeni diversi a seconda dei valori degli angoli e dell’indice di rifrazione relativo e1 e2 z i r Nel caso in cui n2>n1, n12>1, ricavando l’angolo di rifrazione si avranno soluzioni reali, e l’angolo di rifrazione sarà minore dell’angolo di incidenza e1 e2 z i r e1 e2 z i r Nel caso in cui n1>n2, n12<1, l’angolo di rifrazione sarà maggiore dell’angolo di incidenza e si avranno soluzioni reali solo se i i , l’angolo limite per cui r=p/2

49 Vogliamo capire ora cosa accadrà per angoli di incidenza superiori all’angolo limite.
Apparentemente non si avrà nessun’onda trasmessa, e, come nel caso del prisma a 45° si avrà Questo è un caso interessante per studiare l’efficacia dell’uso dei numeri complessi in Fisica Si può estendere la definizione delle funzioni trigonometriche ai numeri complessi tramite i loro sviluppi in serie di potenze semplicemente immaginando x come un numero complesso x=a+ib

50 Le identità trigonometriche restano tutte valide, e vanno introdotte le funzioni
iperboliche mediante le seguenti formule Da cui È possibile verificare che (esercizio): Inoltre per a=p/2

51 Siccome può essere coshb>1, assumendo che la legge di Snell valga anche nel campo
dei numeri complessi, si avrà per i i Ora, per angoli complessi anche i coefficienti di Fresnel sono numeri complessi, pertanto È facilissimo, adesso, vedere che se i i Cioè, tutta l’energia trasportata dall’onda incidente resta nel primo mezzo

52 Onde evanescenti Ci domandiamo ora se nella riflessione totale ci sia un campo elettromagnetico nel secondo mezzo (z>0) e1 e2 z qi x Considerando la componente parallela alla superficie del campo elettrico Ey, cioè un’onda che si propaga nella direzione x Nell’ultima espressione il vettore d’onda è diretto come la direzione di propagazione ed il suo modulo è

53 Ma per qi q , kz sarà un immaginario puro:
Scartando il segno “+” (perché se l’ampiezza dell’onda crescesse durante la propagazione si negherebbero i Princìpi della Termodinamica) Quest’ultima formula rappresenta un’onda che si propaga nel piano (x,y) e la cui ampiezza si smorza in funzione della profondità z con una lunghezza caratteristica L Si noti che Ll se qi non è vicino all’angolo limite q

54 Le formule precedenti definiscono l’onda evanescente
Le formule precedenti definiscono l’onda evanescente. Questa è un’onda che presenta caratteristiche abbastanza diverse da un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto. Un calcolo completo (M.Born e E.Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press 1993) mostra innanzitutto che l’onda evanescente non è trasversale (il campo elettrico non si annulla lungo la direzione di propagazione) Si può far vedere (esercizio) che le componenti tangenziali alla superficie (x ed y) del vettore di Poynting sono sempre non nulle mentre è sempre nulla la componente z. Ciò significa che l’energia non può viaggiare lungo la normale alla superficie. Pertanto essa deve restare confinata sulla superficie (trasportata dall’onda evanescente) e quindi trasferita all’onda riflessa totalmente L’energia trasportata deve quindi viaggiare secondo il seguente schema e1 e2 z qi x Onda evanescente