CIRCUITO PURAMENTE OHMICO

CIRCUITO PURAMENTE OHMICO
Nello schema le tensioni e la corrente sono indicate con a fianco le parentesi tonde che racchiudono la lettera “ t ”, (t). Ciò significa che sono grandezze che variano nel tempo. La variabilità è di tipo sinusoidale, quindi di tipo alternata. VG(t) R VR(t) i(t) Le domande che dobbiamo porci ora riguarda la legge di Ohm. Possiamo ancora applicarla in alternata? In quale modo questa legge si deve applicare? Per rispondere ricordiamo subito che in continua la legge di Ohm stabilisce una proporzionalità tra la tensione del resistore e la corrente che in esso scorre. VR = R * I oppure I = VR / R

Nel seguente grafico rappresentiamo l’andamento di una corrente “ I “ che scorre nel resistore “ R “ e cerchiamo di calcolare la tensione VR che si produce ai suoi capi. +1 -1 +2 -2 +3 -3 T i t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 Possiamo immaginare che la corrente variabile sia costituita in realtà da tantissimi (infiniti !) valori di corrente continua, che cambiano tutti continuamente ad ogni istante che passa. Nel grafico ne abbiamo disegnati solo alcuni. Consideriamo l’istante t=0 quando la corrente vale zero. Applicando la legge di Ohm anche la tensione su R sarà zero. VR (0)= R * i(0) = R*0 = 0 V

Continuando con il ragionamento si ottengono tutti gli altri valori per ogni istante di tempo. t1 : VR (t1)= R * (+1) V t2: VR (t2)= R * (+2) V t3 : VR (t3)= R * (+3) V ecc. ….. t7 : VR (t7)= R * (-1) V t8 : VR (t8)= R * (-2) V t9 : VR (t9)= R * (-3) V ecc. …. Come si vede il grafico della tensione VR avrà in ogni istante il valore della corrente moltiplicato per un fattore costante R, la resistenza. Quindi la forma sinusoidale non cambierà, mentre il valori assunto si dovrà calcolare, come abbiamo fatto sopra, con la legge di Ohm.

Facciamo un esempio numerico. Supponiamo che R = 10 W, troveremo che i valori di VR, per ogni istante di tempo saranno i seguenti. t1 : VR (t1) = 10 * (+1) V = 10 V t2 : VR (t2) = 10 * (+2) V = 20 V t3 : VR (t3) = 10 * (+3) V = 30 V ecc. ….. t7 : VR (t7) = 10 * (-1) V = - 10 V t8 : VR (t8) = 10 * (-2) V = - 20 V t9 : VR (t9) = 10 * (-3) V = - 30 V ecc. …. Il grafico risultante sarà il seguente. +10 -10 +20 -20 +30 -30 T VR t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11

Dal ragionamento fatto sembrerebbe che per conoscere la tensione VR ( ma anche la corrente “ I ”, con la formula inversa) si debbano effettuare “infiniti” calcoli, cioè uno per ogni istante di tempo. Naturalmente questo non è possibile, quindi occorrerà affrontare il problema con un altro ragionamento. Osserviamo le due sinusoidi che rappresentano la corrente “ I “ e la tensione “ VR ”. +1 -1 +2 -2 +3 -3 T i t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 +10 -10 +20 -20 +30 -30 T VR t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11

Osserviamo che entrambe partono all’istante t=0 dal valore zero. Entrambe raggiungono il valore massimo all’istante t3 ( cioè T/ 4). Entrambe ritornano al valore zero all’istante t6 ( cioè T/ 2). Ecc. Sappiamo che tale comportamento è tipico delle sinusoidi in fase. Sappiamo anche che le sinusoidi si possono rappresentare facilmente con i vettori. Quindi possiamo disegnare due vettori, uno per la corrente “ I “ ed uno per la tensione “ VR “ che rappresentino le due sinusoidi. I due vettori disegnati hanno una lunghezza che rappresenta il valore massimo (ampiezza della sinusoide) o della corrente o della tensione. Non bisogna quindi fare dei paragoni tra le due lunghezze, poiché sono grandezze non omogenee per le quali si può scegliere anche due scale diverse. Domanda: perché entrambi sono disegnati orizzontalmente? Se guardiamo la prossima figura ci ricorderemo che in questo modo si origineranno due sinusoidi in fase. I VR

VR

Dall’osservazione dei vettori e delle sinusoidi possiamo trarre la conclusione che possiamo fare il calcolo della legge di Ohm solo una volta, cioè utilizzando solo con il valore assunto dal vettore (ampiezza) e disegnando i vettori nella loro giusta relazione di fase. Siccome dallo studio appena fatto abbiamo ricavato che corrente e tensione per una resistenza risultano in fase, disegneremo due vettori paralleli. I VR I due vettori si possono disegnare anche sovrapposti, come normalmente si fa.

Possiamo concludere lo studio di questo circuito dicendo che la formula della legge di Ohm è ancora valida anche in alternata, però diventa una relazione tra vettori. Quindi essa si dovrà scrivere facendo attenzione alla notazione grafica: Si definisce anche l’inverso della resistenza, che prende nome di conduttanza G. Essa si misura in “siemens” = S. G = 1/ R (S)

CIRCUITO PURAMENTE INDUTTIVO
ALCUNI SOLENOIDI (O INDUTTORI, O BOBINE)

VL(t) VG(t) L i(t) INDUTTANZA o coefficiente di autoinduzione (si misura in Henry = H) Lo studio di questo circuito si effettua partendo dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz Nelle diapositive seguenti si farà un riepilogo del magnetismo già studiato al terzo anno, ricordando le grandezze fisiche più importanti, che serviranno al nostro studio.

Paragonando le due figure risulta che un magnete naturale (calamita in alto) e un solenoide percorso da corrente continua (in basso) producono le stesse linee di forza del campo magnetico H. Si deduce che una corrente continua genera una campo H. H è in relazione con il campo B (induzione magnetica) secondo la formula: B = m H. = permeabilità magnetica. Infine il flusso f ci definisce quanto campo B attraversa il solenoide si sezione S. f = B S f = Li

Notiamo il modo di indicare il Nord ed il Sud prodotti dal campo magnetico H. Per “convenzione” si indica il Nord magnetico dove “escono” le linee di forza di H (nel disegno a destra), mentre il Sud dove rientrano le stesse linee (nel disegno a sinistra). Per individuare rapidamente i due poli si può adottare la regola delle dita della mano destra (eccetto il pollice) che afferrano il solenoide con le punte dirette come la corrente. Il pollice fornisce il Nord.

Cosa succede se facciamo variare il flusso nel solenoide? Controlliamo le seguenti figure. L’esperienza a lato ci mostra che nel solenoide scorre una corrente per tutto il tempo in cui il flusso varia. Possiamo notare anche che il verso della corrente cambia se invertiamo il verso del movimento della calamita. Nelle figure il galvanometro registra l’intensità ed il verso delle correnti. Come è evidente questa corrente non è generata da un generatore ma dal movimento della calamita.

Movimento!!

Movimento!! (2)

Dall’esperienza appena illustrata possiamo ricavare che l’energia cinetica della calamita si trasforma in energia elettrica (la corrente). Il fenomeno in fisica è noto poiché l’energia non si può distruggere (si conserva), ma si può trasformare in una di altra forma. Come conseguenza di ciò si può dedurre che se la calamita si ferma non scorrerà corrente (poiché non c’è energia da trasformare!). Dalle due figure precedenti si può notare un altro importantissimo fenomeno. Nella figura di sinistra la spira genera un flusso che esce verso sinistra, dove quindi si forma un altro nord (N’). Nella figura di destra invece la spira genera un flusso che esce verso destra e quindi le polarità sono generate al contrario. La conclusione è che la spira di sinistra “tende” a respingere la calamita, mentre la spira di destra “tende” ad attrarla.

Quali conclusioni si possono trarre dalle considerazioni precedenti ? 1° caso: dato che la calamita si avvicina, il flusso che attraversa il solenoide è in aumento. Notiamo che il solenoide “reagisce” cercando di non far aumentare il flusso (infatti N’ respinge la calamita). Questo fenomeno è denominato “induzione”, poiché il solenoide viene indotto a contrastare l’aumento di flusso. 2° caso: dato che la calamita si allontana, il flusso che attraversa il solenoide è in diminuzione. Notiamo che il solenoide “reagisce” cercando di non far diminuire il flusso (infatti S’ attira la calamita). Anche ora il solenoide viene indotto a contrastare la diminuzione di flusso.

Utilizzando ancora il principio di conservazione dell’energia dobbiamo attenderci che se la calamita viene mossa più velocemente (in avvicinamento o in allontanamento al solenoide) e quindi con una maggiore energia cinetica, questa deve generare una corrente indotta che varia più velocemente. In effetti questo è proprio quello che accade. Riepiloghiamo i risultati ottenuti: Se il flusso fe va aumentando il solenoide “genera” una corrente “indotta” che provoca un altro flusso interno “indotto” fi che si sottrae a fe nel tentativo di bloccarne l’aumento. Se il flusso fe va diminuendo il solenoide “genera” una corrente “indotta” che provoca un altro flusso interno “indotto” fi che si somma a fe nel tentativo di bloccarne la diminuzione. Se i flussi variano più velocemente (in aumento o in diminuzione) le correnti indotte ed i flussi indotti sono di ampiezza maggiore.

A questo punto possiamo anche sostituire la calamita che si sposta con un altro solenoide. Esso genera un flusso che per un intervallo di tempo aumenta ed in un altro diminuisce. Questo flusso viene inviato al solenoide che avevamo precedentemente collegato alla calamita. Il risultato è assolutamente identico.

Possiamo ora analizzare il comportamento del circuito iniziale. Al posto della calamita esterna ora c’è un generatore che fornisce una corrente I(t) che origina il flusso esterno fe. Il solenoide quindi si comporterà come quello sottoposto alle variazioni di flusso della calamita. Lo studio analitico si base sulla legge di Faraday – Neumann - Lenz VL VG(t) L i(t) Significato dei simboli matematici: VL = tensione indotta sul solenoide F = flusso Di = variazione di corrente DF = L* Di = variazione di flusso Dt = intervallo di tempo

Esempio: il flusso varia da F(t1) = 0 Wb a F(t2) = 50 mWb; Dt = t2 – t1 = 0,01 s. L = 10 mH. Quanto vale VL e Di ? Calcolo: DF = F(t2) - F(t1) = 50-0 = 50 mWb= 50*10-3 Wb =5*10-2 Wb VL = (5*10-2)/0,01=5 V i(t1)= F(t1) / L = 0/10 = A i(t2)= F(t2) / L =50/10 = 5 A Di = i(t2) - i(t1) = 5 – 0 = 5 A Lo stesso risultato si ottiene con la formula (identica alle precedenti, ma più veloce): Di = DF/L = (50*10-3) / (10*10-3) = 5 A

Ricaviamo ora un diagramma vettoriale del circuito puramente induttivo,usato per tutti i calcoli e per tutti gli studi su questo circuito. Siccome il circuito sarà utilizzato in regime sinusoidale non è possibile studiarlo con la matematica necessaria, poiché non si hanno le conoscenze adeguate. Si userà una versione semplificata per raggiungere lo stesso risultato. Consideriamo la seguente forma d’onda per la corrente “i” che somiglia abbastanza ad una sinusoide. I valori sono uguali a quelli dell’esempio precedente. t (ms) i (A) 5 10 30 40 50 70 80 - 5

La corrente aumenta da 0 A a 5 A in 10 ms. Il solenoide si oppone a tale variazione e quindi genera una corrente indotta in verso opposto. VL = 5 V 1 t (ms) i (A) 5 10 t (ms) VL (V) 5 10 VL VG L i(t) iI + La corrente non varia. Il solenoide non deve opporsi a variazioni di corrente e quindi non genera correnti indotte. VL = 0 V 2 t (ms) i (A) 5 10 30 t (ms) VL (V) 10 30 VL VG L i(t)

3 i (A) La corrente diminuisce da 5 A a 0 A in 10 ms. Il solenoide si oppone a tale variazione e quindi genera una corrente indotta nello stesso verso. VL = - 5 V 5 t (ms) 40 10 30 VL VG L i(t) iI + t (ms) VL(V) - 5 10 30 40

4 In questo intervallo la corrente ha un valore negativo, quindi significa che va inverso opposto a quella vista fio ad ora. La corrente aumenta da 0 A a - 5 A in 10 ms. Il solenoide si oppone a tale variazione e quindi genera una corrente indotta in verso opposto. VL = - 5 V t (ms) i (A) 10 30 40 50 - 5 VL VG L i(t) iI + t (ms) VL(V) - 5 50 40

5 t (ms) i (A) 5 50 70 - 5 La corrente non varia. Il solenoide non deve opporsi a variazioni di corrente e quindi non genera correnti indotte. VL = 0 V t (ms) VL (V) 50 70 VL =0 VG L i(t)

6 La corrente diminuisce da - 5 A a 0 A in 10 ms. Il solenoide si oppone a tale variazione e quindi genera una corrente indotta nello stesso verso. VL = + 5 V t (ms) i (A) 70 80 - 5 iI VL VG L i(t) + t (ms) VL (V) 70 80 + 5

Riepiloghiamo i risultati riportando i grafici sia della corrente che della tensione. t (ms) i (A) 5 10 30 40 50 70 80 - 5 VL (V) + 5

“ i ” = costante Dal risultato ottenuto in precedenza possiamo immediatamente ricavarne un altro se abbiamo una corrente triangolare. t (ms) i (A) 5 10 20 30 40 - 5 VL (V) + 5 L’osservazione che possiamo fare riguarda la corrente “i” che non è mai costante. Infatti ci sono solo due punti dove, per un solo istante, la corrente non varia. Questi istanti solo 10 e 30. In questi due solo istanti la tensione VL vale zero “ i ” = costante

Osserviamo ora i seguenti grafici delle correnti e calcoliamo con la legge di Faraday – Neumann – Lenz la tensione ai capi del solenoide, usando i valori precedenti. (L = 10 mH) Pendenza minore t (ms) i (A) 5 10 20 VL (V) 2,5 t (ms) i (A) 5 10 VL (V) Pendenza maggiore Tensione maggiore Tensione minore

La deduzione derivante dall’esempio precedente è che se la corrente varia della stessa quantità ( la corrente aumenta o diminuisce di 5 A) ma essa avviene in più tempo ( occorrono 20 ms e non 10 ms), la tensione indotta nel solenoide diminuisce. Questo si ricava anche matematicamente la legge di Faraday – Neumann – Lenz in cui la tensione VL è inversamente proporzionale alla variazione di tempo Dt. Il risultato si può interpretare geometricamente, dicendo che se la pendenza della corrente è minore, risulta minore anche la tensione indotta VL. Al contrario se la pendenza della corrente è maggiore, risulta maggiore anche la tensione indotta VL. Queste due ultime considerazioni sono coerenti con l’osservazione fisica già fatta in precedenza. Cioè una pendenza maggiore significa una corrente che varia più velocemente e quindi che dall’esterno si sta fornendo più energia cinetica (la calamita che si allontana o si avvicina più rapidamente).

Consideriamo una corrente che varii in modo più complesso e con le regole stabilite disegniamo la tensione indotta VL. t (ms) i (A) 5 10 30 60 50 70 90 - 5 110 120 -10 2,5 - 2,5 -5 VL(V) L’osservazione dei due grafici, disegnati seguendo la legge di Faraday – Neumann – Lenz, mostra che quando la pendenza della corrente è maggiore la tensione assume un valore maggiore, quando invece la pendenza della corrente è minore la tensione assume un valore minore. Questa proprietà si può ora applicare alle sinusoidi e verificare che anche per esse è verificata la stessa regola.

Notare come a pendenza maggiore di “I” corrisponda una tensione “V” maggiore.

VL

Dall’ultimo grafico corrente – tensione si ricava che queste due sinusoidi sono sfasate di 90°, cioè V ed I sono in quadratura. Quindi per rappresentare vettorialmente questa situazione si disegnano due vettori come di seguito. I (10 A) VL (5 V) 90° Si deduce che la tensione VL è in anticipo di 90° sulla corrente I. Oppure la corrente I è in ritardo di 90° sulla tensione VL

Adesso dobbiamo chiederci se tra tensione e corrente sia ancora valida la legge di OHM. Come si è visto prima i vettori tensione e corrente sono vettori sfasati di 90°, quindi possiamo rappresentarli sul piano di Gauss, come di seguito. I = 10 A VL = j 5 V Secondo la legge di OHM deve esistere una grandezza elettrica che ci misura la difficoltà della corrente a circolare nel solenoide. In questo caso la grandezza si chiamerà REATTANZA INDUTTIVA “ XL “. I (10 A) Re Im VL (5 V) j5 10

Circuito puramente induttivo La reattanza induttiva
I = 10 A VL = j 5 V Dalla legge di Faraday – Neumann – Lenz è possibile ricavare l’espressione matematica della reattanza induttiva. Notiamo che VL è sicuramente proporzionale all’induttanza L che è una costante derivante dalla forma geometrica del solenoide ed anche dal materiale magnetico usato. Inoltre la tensione VL dipenderà da un altro fattore di seguito discusso.

In questa formula c’è una operazione chiamata “derivata”, che si studierà il prossimo anno. Quindi non è adesso possibile effettuare il calcolo seguendo le regole della matematica. Possiamo fare delle considerazioni fisiche per giustificare la formula della reattanza induttiva. Se la corrente varia velocemente (pendenza elevata) anche la tensione deve aumentare; abbiamo trovato che ciò si accorda con il principio di conservazione dell’energia) In una sinusoide la velocità è data dalla pulsazione w, quindi la tensione deve essere proporzionale ad essa. Possiamo quindi scrivere la formula finale che lega la tensione VL alla corrente I. Ricordiamo che un vettore moltiplicato per “ j “ ruota di 90° antiorario. Quindi se moltiplichiamo “ I “ per “ j “ otteniamo un vettore in fase con VL

Formula finale tra la tensione VL e corrente I. Da questa formula si ricava la reattanza induttiva XL è sempre positiva !! L’inverso della reattanza induttiva si chiama “suscettanza induttiva” BL e si misura in “siemens” = S (W -1) BL = 1/ XL

Circuito puramente induttivo Riepilogo
La tensione VL è in anticipo di 90° sulla corrente I. Oppure la corrente I è in ritardo di 90° sulla tensione VL I VL 90°

Circuito puramente capacitivo

Tutte le volte che due parti di materiale conduttore (che chiameremo armature) vengono a trovarsi vicine e separate da materiale isolante (o dielettrico), si ha un condensatore. La carica è immagazzinata sulla superficie delle piastre, sul bordo a contatto con il dielettrico. Poiché ogni piastra immagazzina una carica uguale ma di segno opposto una rispetto all'altra, la carica totale nel dispositivo è sempre zero. L'energia elettrostatica che il condensatore accumula si localizza nel materiale dielettrico che è interposto fra le armature.

Per valutare se un condensatore è in grado di accumulare una quantità più o meno grande di carica si definisce la grandezza “capacità” C, la cui unità di misura è il Farad (F). Questa formula si può interpretare fisicamente considerando il condensatore come un recipiente che contiene cariche. Se a due condensatori diversi facciamo variare la tensione della stessa quantità (per es.: 1 V), di quanto varia la carica? Cioè fissiamo DVC = 1 V, avremo che DQ = C*DVC = C. Quindi possiamo concludere che la capacità è la variazione della quantità di carica, quando la tensione varia di 1 V. Un paragone idraulico semplice consiste nel prendere due recipienti diversi e versare in entrambi una quantità d’acqua che innalzi il livello di 1 cm (variazione di tensione). Allora il recipiente che avrà aumentato maggiormente il suo volume (cioè la carica) avrà una capacità maggiore. A B

Alcune considerazioni fisiche con il paragone idraulico ci faranno comprendere il comportamento del condensatore. Supponiamo di versare dell’acqua nel recipiente, il livello raggiungerà quello prefissato (diciamo 1 cm) dopo alcuni secondi. Concludiamo quindi che all’istante t=0 si ha la corrente massima (poiché chi versa l’acqua ha interesse a fare il più in fretta possibile, salvo a diminuire il flusso quando si sta raggiungendo il livello stabilito) e il livello sarà zero. Quando invece si sarà giunti al livello stabilito la corrente diverrà zero. Queste considerazioni si possono riassumere con le curve che rappresentano la carica di un condensatore. A B

Dai grafici della tensione e della corrente si è in grado di ricavare una informazione: quando la corrente è massima allora la corrente è zero; viceversa quando la tensione è massima allora la corrente è zero. La conclusione di tutto ciò è che per caricare un condensatore è indispensabile che arrivi prima la corrente, quando la tensione è zero, e successivamente quando la tensione è arrivata al suo valore massimo, la corrente si azzeri. Si può già disegnare vettorialmente questa situazione, facendo successivamente una dimostrazione più rigorosa. VC I La corrente I è in anticipo di 90° sulla tensione, oppure la tensione è in ritardo di 90° sulla corrente.

Facciamo adesso una considerazione sul tempo impiegato dal condensatore per caricarsi. Supponiamo di volere aumentare la carica del condensatore della quantità DQ = 1 C in un tempo Dt = 1 s. Successivamente aumentiamo ulteriormente la carica del valore DQ = 1 C ma in un tempo molto più piccolo, per esempio Dt = 1/10 s = 0,1 s. È intuitivo ricavare che le cariche debbano arrivare più velocemente!!! In effetti il concetto di corrente elettrica è proprio questo: quantità di carica (positiva!) che attraversa o arriva in un certo punto nell’unità di tempo (cioè in un secondo). Ricordiamo allora la formula della corrente: Si può affermare che se la corrente “ i ” che sta caricando il condensatore è grande, il tempo che occorre per la carica è piccolo (cioè corrente e tempo sono inversamente proporzionali).

Ritorniamo adesso al paragone idraulico considerando il solito recipiente da riempire d’acqua fino ad un certo livello H (che corrisponde alla tensione VC del condensatore). Possiamo avere le seguenti due situazioni: L’altezza H si raggiunge in poco tempo (Dt piccolo) : l’acqua deve essere versata con un tubo di sezione grande (portata grande = corrente grande); L’altezza H si raggiunge in molto tempo (Dt grande) : l’acqua deve essere versata con un tubo di sezione piccola (portata piccola = corrente piccola); Concludiamo questo esempio, adattandolo ai condensatori che lavorano in regime sinusoidale, dicendo che: la corrente è grande se occorre aumentare la tensione velocemente, cioè se Dt è piccolo; la corrente è piccola se occorre aumentare la tensione lentamente, cioè se Dt è grande; La corrente, quindi, è proporzionale alla velocità (w) di carica del condensatore. H

La formula della capacità si può scrivere anche nel modo seguente. L’ultima formula è molto simile alla legge di Faraday – Neumann – Lenz, con la differenza dello scambio di posto tra tensione e corrente. Possiamo quindi dedurre immediatamente che il condensatore si comporta esattamente al contrario del solenoide. Avremo quindi che la corrente I è in anticipo sulla tensione VC.

Riportiamo di seguito i due risultati raggiunti finora: La corrente I è proporzionale alla velocità ( w) di carica del condensatore; La corrente I è in anticipo sulla tensione VC Dal secondo punto possiamo quindi ricavare il diagramma vettoriale per il condensatore. VC I La corrente I è in anticipo sulla tensione VC di 90° Dal primo punto possiamo la legge di Ohm per i condensatori. Ricordiamo che per le sinusoidi, e per i vettori, la velocità angolare è w, alla quale è proporzionale la corrente I.

Possiamo quindi scrivere la formula finale che lega la tensione VC alla corrente I. Ricordiamo che un vettore moltiplicato per “ j “ ruota di 90° antiorario. Quindi se moltiplichiamo “ VC “ per “ j “ otteniamo un vettore in fase con “I”. In formule la legge di Ohm per i condensatori si scrive: XC si chiama REATTANZA CAPACITIVA e si misura in W. La formula è una delle due sotto riportate (ovviamente equivalenti). XC è sempre negativa !!

L’inverso della reattanza capacitiva si chiama “suscettanza capacitiva” BC e si misura in “siemens” = S (W -1) BC = 1/ XC

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