Visualizzazione delle funzioni d’onda in fisica quantistica

Presentazione sul tema: "Visualizzazione delle funzioni d’onda in fisica quantistica"— Transcript della presentazione:

1 Visualizzazione delle funzioni d’onda in fisica quantistica

2 COLORI e NUMERI COMPLESSI
VERSO LA VISUALIZZAZIONE AL COMPUTER DELLA FUNZIONE D’ONDA PROIEZIONE STEREOGRAFICA

3 CODICI dei COLORI: RGB TINTA (HUE) LUMINOSITA’ e SATURAZIONE

4 La SFERA dei COLORI

5 dalla SFERA al PIANO COMPLESSO
TINTA: fase LUMINOSITA’: modulo

6 RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: 1DIM

7 RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: 2DIM

8 RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: 2DIM ed EVOLUZIONE TEMPORALE

9 RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: L’ONDA PIANA

10 SERIE e TRASFORMATA di FOURIER: IL SUONO DELLA FUNZIONE D’ONDA
Costruzione di una “gaussiana” Somma di parziali Il codice dei colori

11 SINTESI di FOURIER: BASE di ONDE PIANE COMPLESSE

12 SINTESI di UN PACCHETTO GAUSSIANO COMPLESSO

13 SINTESI di UN PACCHETTO GAUSSIANO REALE: I COEFFICIENTI

14 TRASLAZIONI e SERIE di FOURIER
spostamenti nello spazio x come sfasamenti nello spazio k

15 dalla SERIE all’INTEGRALE di FOURIER

16 TRASLAZIONI e TRASFORMATE di FOURIER
Tanto maggiore la traslazione, tanto più rapida l’oscillazione della fase

17 REGOLE di COMMUTAZIONE
Importanza dell’ORDINE dei fattori nelle operazioni che agiscono sugli spazi x e k

18 FATTORI di SCALA: INDETERMINAZIONE “CLASSICA”

19 MOTO di PARTICELLE LIBERE: L’ONDA PIANA
parte reale e parte immaginaria!

20 MOTO di PARTICELLE LIBERE: L’ONDA PIANA
L’onda con momento k è del tipo soluzione dell’equazione

21 MOTO di PARTICELLE LIBERE: L’ONDA PIANA
… la sovrapposizione periodica [momenti alti più rapidi] Il movimento delle fasi …

22 SOVRAPPOSIZIONE di ONDE PIANE VIAGGIANTI
Costruzione di qualunque soluzione dell’equazione di Schroedinger in termini di onde piane (di momento diverso, dunque la sovrapposizione evolve nel tempo). E’ la stessa situazione già vista con le serie di Fourier, ora con l’aggiunta della parte variabile nel tempo!

23 PARTICELLA A RIPOSO GAUSSIANA
Concetto ambiguo di “a riposo”: è la quantità di moto con valore medio nullo … di conseguenza il pacchetto è destinato a sparpagliarsi (pur mantenendo la stessa posizione media)

24 PARTICELLA GAUSSIANA LIBERA in MOTO LENTO
Cose da osservare: il movimento del centro del pacchetto; sparpagliamento del pacchetto; accumulo di parti ad alto momento nel fronte del pacchetto moto retrogrado di una piccola porzione del pacchetto non cambia la funzione della trasformata: il momento è costante

25 PARTICELLA GAUSSIANA LIBERA in MOTO RAPIDO
Cose da osservare: c’è meno sparpagliamento che nel caso precedente; c’è ancora (meno) accumulo nella zona a basso momento

26 PARTICELLA GAUSSIANA LIBERA in DUE DIMENSIONI

27 CONDIZIONI al CONTORNO: URTO CON PARETE
La collisione NON avviene “esattamente” alla coordinata della barriera, x=0 (Heisenberg!) Si osservi l’inversione di moto del pacchetto (inversione dell’ordine dei colori – della fase)

28 CONDIZIONI al CONTORNO: URTO CON PARETE
Rappresentazione nello spazio dei momenti Si osservi l’inversione delle velocità e l’indeterminazione di k in prossimità della collisione

29 CONDIZIONI al CONTORNO: PARTICELLA a RIPOSO VICINA ad una PARETE
La parte del pacchetto più vicina alla parete si disperde e viene riflessa!

30 CONDIZIONI al CONTORNO: PARTICELLA in una BUCA di ENERGIA

31 CONDIZIONI al CONTORNO: PARTICELLA nella BUCA e STATI STAZIONARI
Stati stazionari con densità di probabilità indipendente dal tempo autostati dell’operatore energia, solo la fase varia periodicamente nel tempo

32 PARTICELLA nella BUCA: SOVRAPPOSIZIONE di STATI STAZIONARI
La sovrapposizione di due (o più) stati stazionari porta ad interferenze periodiche nel tempo

33 COMPORTAMENTI “MOLTO” QUANTISTICI
Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). Come conseguenza del restringimento delle pareti il pacchetto tende ad un intrappolamento posizionale. Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). La componente orizzontale è quella di un pacchetto libero, quella verticale prevede condizioni alle pareti di riflessione causate dalla dispersione in quella direzione del pacchetto. Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). Entrambe le componenti sono soggette a degrado posizionale ed a riflessioni.

34 RIFLESSIONI su PARETI ONDULATE: modello di interazione con un cristallo
dimensione delle ondulazioni maggiore della lunghezza d’onda della particella: effetto di focalizzazione del pacchetto riflesso. dimensione delle ondulazioni confrontabili con la lunghezza d’onda della particella: distruzione e dispersione del pacchetto gaussiano dimensione delle ondulazioni minori della lunghezza d’onda della particella: il pacchetto è quasi tutto riflesso subito, tranne la parte a più alto momento che viene intrappolata. Quando “fugge” dalle ondulazioni raggiunge il resto del pacchetto e con esso interferisce

35 DIFFUSIONE di un PACCHETTO da OSTACOLI DIVERSI
ostacolo circolare, dimensioni confrontabili con il pacchetto ostacolo quadrato, dimensioni confrontabili con il pacchetto ostacolo circolare, dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda ostacolo quadrato, dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda

36 DIFFUSIONE di un PACCHETTO da FENDITURE
fenditura singola doppia fenditura (Young)

37 L’OSCILLATORE ARMONICO

38 L’OSCILLATORE ARMONICO

39 L’OSCILLATORE ARMONICO
La sovrapposizione di 2 (o più) stati ha natura oscillatoria. Si osservi lo sfasamento di ¼ di periodo fra la rappresentazione spaziale e quella dei momenti.

40 L’OSCILLATORE ARMONICO
i fasori, ovvero fasi rotanti in funzione del tempo (e dell’energia): il caso ancora dell’oscillatore armonico (Falstad). I codici delle fasi sono ancora di tipo cromatico

41 L’OSCILLATORE ARMONICO
Si utilizza un pacchetto gaussiano posizionato inizialmente lontano dall’origine delle coordinate. Esso evolve nel tempo senza degradarsi (come farebbe in assenza di potenziale). Si parla di stato coerente. Si osservi anche la corrispondenza classica nel moto del pacchetto del momento (e le fasi/colori all’origine ed ai punti di inversione classica). Si può infine calcolare che per uno stato coerente il prodotto delle incertezze su x e p è minimo.

42 ONDE E PARTICELLE CONTRO GRADINI
quando l’energia è minore della parete di potenziale si ha comunque penetrazione; per energie maggiori della parete si ha riflessione (ed interferenza). all’aumentare dell’altezza del gradino di potenziale la funzione d’onda è espulsa dalla zona “proibita”

43 PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO un GRADINO
sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) minori dell’altezza del gradino. notare la penetrazione in zona proibita. sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) maggiori dell’altezza del gradino. notare la riflessione anche in questo caso!

44 PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO un GRADINO (inclusi i momenti)
sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) maggiori dell’altezza del gradino, buca di potenziale. notare l’accelerazione e la riflessione. sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) maggiori dell’altezza del gradino. notare la riflessione anche in questo caso!

45 PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO un GRADINO GRADUALE
E=1.2 V risoluzione numerica dell’equazione di Schroedinger E=0.6 V risoluzione numerica dell’equazione di Schroedinger

46 PACCHETTO GAUSSIANO 2-DIM CONTRO un GRADINO
energia media confrontabile con l’altezza della barriera: il pacchetto trasmesso è quasi fermo.

47 PACCHETTO GAUSSIANO 2-DIM CONTRO un GRADINO
passaggio in zona a potenziale ridotto: il pacchetto trasmesso è accelerato.

48 ONDE e PARTICELLE CONTRO BARRIERE
barriera di altezza variabile e larghezza fissa. Osservare le interferenze e l’andamento esponenziale reale della funzione d’onda

49 PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO BARRIERA
Pacchetti costruiti come sovrapposizioni di onde piane. Si osservino le riflessioni multiple all’interno della barriera di potenziale e l’insorgenza dello stato “metastabile” nello spazio dei momenti

50 EFFETTO TUNNEL Il pacchetto, per l’andamento esponenziale reale che assume nella zona “proibita”, è comunque tale da riproporsi come sovrapposizione di onde dopo la barriera di potenziale

51 BARRIERE 2-DIMENSIONALI
L’energia media è molto maggiore dell’altezza della parete di potenziale (<E>=4V). L’interazione con la barriera può essere scomposta secondo due direzione: lungo quella parallela alla barriera c’è propagazione libera del pacchetto.

52 BARRIERE 2-DIMENSIONALI
L’energia media è minore dell’altezza della parete di potenziale. Si osserva comunque ancora attraversamento della barriera.

53 BARRIERE 2-DIMENSIONALI
L’energia media è maggiore dell’altezza della barriera circolare di potenziale (<E>=1.5V). Si osserva una porzione del pacchetto che “staziona” sulla sommità della barriera (stato intrappolato di tipo “risonante”)

54 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
Un ago percorso da corrente (elettroni) è molto vicino alla superficie irregolare del materiale da studiare. Se la punta dell’ago è sufficientemente prossima a quella del materiale si può avere passaggio di corrente (di particelle) per effetto tunnel, ossia di attraversamento di barriera.

55 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
L’eccessiva distanza fra la punta dell’ago e la superficie del materiale non consente il passaggio di corrente per effetto tunnel.

56 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
L’alternanza di irregolarità sulla superficie del campione porta a variazioni della corrente per effetto tunnel. Si mantiene questa corrente costante variando l’altezza (la posizione) dell’ago-sonda sulla superficie del campione, ottenendone così la mappa di “elevazione elettronica”

57 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
Un ago percorso da corrente (elettroni) è molto vicino alla superficie irregolare del materiale da studiare. Se la punta dell’ago è sufficientemente prossima a quella del materiale si può avere passaggio di corrente (di particelle) per effetto tunnel, ossia di attraversamento di barriera.

58 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
Molecole di ciclopentene (C5H8) su una superficie orientata di Argento (111)

59 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
La microscopia STM è in grado di risolvere diverse forme di molecole con eguale o simile comportamento chimico.

60 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
Superficie orientata di un cristallo di rame (111) ed ondulazioni delle funzioni d’onda elettroniche in prossimità delle brusche variazioni di “livello”

61 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
Difetti “puntiformi” su una superficie orientata (111) di un cristallo di rame.

62 EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA
Posizionamento (a freddo, 4K) di atomi di ferro su una superficie orientata di un cristallo di rame.