Corso di Storia delle Matematiche a.a.2003/2004

Presentazione sul tema: "Corso di Storia delle Matematiche a.a.2003/2004"— Transcript della presentazione:

1 Corso di Storia delle Matematiche a.a.2003/2004
SECTIO AUREA Realizzato da Nazarena Di Grigoli

2 Partendo dalle costruzioni geometriche relative alla sezione aurea, studiate in Matematica abbiamo scoperto con curiosità che aspetti così tecnici si ricollegano naturalmente non solo con argomenti di altre discipline di studio, ma possono essere un’occasione di crescita di interessi culturali. La definizione di sezione aurea ci ha condotto alla scoperta che in alcuni poligoni regolari si incontra continuamente questo rapporto, tanto che i pitagorici, apprezzandone la bellezza formale, avevano scelto come loro segno di riconoscimento il pentagono stellato.  Persino la natura, in situazioni anche molto diverse, sembra utilizzare i numeri della successione di Fibonacci, che si succedono nel rapporto aureo. Riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata utilizzata come base per la composizione di elementi pittorici o architettonici. In realtà vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea.

3 Il lavoro è articolato nelle seguenti sezioni:
La sezione aurea e la geometria In questa sezione si presentano la definizione di sezione aurea e alcune costruzioni geometriche significative della relazione tra la sezione aurea e i poligoni regolari. La sezione aurea e l’Aritmetica In questa sezione si verifica la relazione tra la successione di Fibonacci e il rapporto aureo.

4 LA SEZIONE AUREA E LA GEOMETRIA
- Breve storia della sezione aurea - Definizione geometrica - La Sezione Aurea negli Elementi di Euclide - La misura della sezione aurea - Il rapporto aureo - Costruzione di un segmento del quale si conosce la parte aurea - La parte aurea della parte aurea di un segmento - La costruzione di Erone di Alessandria - Il rettangolo aureo - La spirale aurea - Triangolo aureo con angoli di misura: 72°, 72°, 36°. - Triangolo con angoli di misura: 36°, 36°, 108°. - Il pentagono e triangoli in esso contenuti - Il compasso aureo

5 Breve storia della sezione aurea
Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, la proporzione divina o aurea è sempre stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, alla pittura e alla musica fino alla natura del creato possiamo osservare  rappresentazioni della sezione aurea. La Sezione Aurea fu scoperta fin dall'antichità, tanto che la si può trovare nel libro VI degli Elementi di Euclide. Nel tredicesimo secolo Leonardo Fibonacci, diede la definizione algebrica delle proporzioni auree attraverso la successione di numeri in serie. Tale rapporto prende il nome dal suo autore.

6 Un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione di questo metodo di suddivisione armonica è stato dato dal frate matematico Luca Pacioli ( ), egli fu il primo ad esporre in modo chiaro e completo la "secretissima scientia" del numero d'oro in un trattato pubblicato nel 1509 dal titolo significativo: "De Divina Proportione“. L’aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché sono necessari 3 segmenti per la costruzione, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile. I disegni del volume sono opera di Leonardo da Vinci. Fu intorno al 1885 in Germania che alla "divina proporzione" venne dato il nome di "sezione aurea".

7 Definizione geometrica:
“Assegnato il segmento AB dicesi parte aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente”. Vediamo di spiegare meglio questo concetto partendo da Euclide. La Sezione Aurea negli Elementi di Euclide La prima trattazione sistematica della sezione aurea si trova negli Elementi di Euclide, che è di gran lunga il matematico più conosciuto di tutti i tempi. Purtroppo non sappiamo né l’anno della sua nascita né quello della morte, ma solo che visse ad Alessandria d’Egitto sotto il regno di Tolomeo I, insegnando nel famoso Museo della città, ove fondò la prima scuola di matematica alessandrina. Le opere di Euclide pervenute sino a noi sono in tutto cinque: gli Elementi, i Dati, la Divisione delle figure, i Fenomeni e l’Ottica.

8 Gli Elementi sono stati tradotti in quasi tutte le lingue conosciute e sono stati presi a modello da centinaia di matematici per la compilazione delle loro opere. I libri originali che formano gli Elementi sono in tutto tredici, anche se in epoca posteriore ne vennero aggiunti altri due. il merito maggiore del matematico greco rimane quello di aver saputo organizzare tutto il complesso delle conoscenze del suo tempo in una forma che agli occhi dei suoi contemporanei rappresentò la perfezione del sapere scientifico. I teoremi, dai più semplici a quelli più profondi, si susseguono con difficoltà crescente, insieme ai lemmi ed ai corollari, in una concatenazione ordinata. Della sezione aurea Euclide tratta una prima volta nel Libro II e poi nel VI, facendone alcune applicazioni, ma essa viene utilizzata ampiamente solo nel Libro XIII, l’ultimo degli Elementi, dedicato allo studio dei cosiddetti poliedri regolari, cioè dì quei solidi le cui facce sono poligoni regolari uguali e i cui angoloidi sono pure tutti uguali.

9 Nella proposizione II. 11 viene posto il seguente problema: “Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente.” Premesso che con la parola retta Euclide intende segmento di retta, per visualizzare la costruzione geometrica del punto che divide il segmento dato nel modo richiesto clicca in un punto qualsiasi della pagina. Se AB è il segmento dato, su di esso si costruisce innanzitutto il quadrato ABCD. F G Si congiunge poi il punto medio E di AC con il vertice B e sul prolungamento di AC si segna il segmento EF di lunghezza uguale ad EB. A H B Si costruisce quindi il quadrato AFGH, e si prolunga il lato GH fino a intersecare CD nel punto K. Allora, H è il punto cercato, cioè: AB∙BH=AH2. E C D K

10 Per dimostrare questa proposizione applichiamo la proposizione II
Per dimostrare questa proposizione applichiamo la proposizione II. 6 al segmento CF della figura che ci permette di scrivere EF2=CE∙FA+EA2 da cui, poiché EF=EB si ottiene EB2= CF∙FA +EA2. Applicando la proposizione I. 47 (teorema di Pitagora) al triangolo rettangolo AEB si ottiene EB2=AB2+EA2. F G Confrontando le due ultime relazioni e tenendo conto che FA =FG si deduce che AB2=CF∙FG, con cui si esprime l’equivalenza tra il rettangolo CFGK e il quadrato ABCD, cioè che le loro aree hanno lo stesso valore numerico. H B A Ma allora basterà sottrarre a queste due figure la parte che hanno in comune, cioè il rettangolo CAHK, per ottenere l’equivalenza tra il quadrato AFGH e il rettangolo KHBD, ovvero: AH2=AB∙BH, che soddisfa alla condizione posta dal problema. E C K D

11 Questo stesso problema della costruzione della sezione aurea viene riconsiderato da Euclide nel libro VI (che tratta le proprietà dei poligoni simili) utilizzando la teoria delle proporzioni esposta nel libro precedente. All’inizio dello stesso libro nella Definizione 3 parla di sezione aurea sotto termini di retta divisa in estrema e media ragione: “Si dice che una retta risulta divisa in estrema e media ragione quando tutta quanta la retta sta alla parte maggiore di essa come la parte maggiore sta a quella minore” Facendo riferimento alla figura, ciò significa che bisogna determinare il segmento AX che sia medio proporzionale del segmento AB, ovvero tale che AB:AX=AX:XB A X B Dei due segmenti in cui AB viene diviso dal punto X, AX (cioè la parte maggiore) viene detto la sezione aurea di AB.

12 La proposizione VI, 30 che affronta nuovamente il problema della costruzione della sezione aurea viene così enunciata: “Dividere in estrema e media ragione una retta terminata data”  Per dimostrarla utilizzeremo la proposizione VI, 29 che riguarda la costruzione di un rettangolo di area data, avente per base la somma di un segmento dato e di un altro segmento che al tempo stesso deve essere altezza del rettangolo. Questa costruzione è sempre possibile, sia algebricamente che geometricamente, mediante le proposizioni euclidee del Libro II. Infatti supponendo che il lato dato sia a volendo costruire su esso un rettangolo di area Z che abbia una dimensione pari ad (a +x) e l’altra pari ad x avremo (a +x) x =Z Il problema è sempre risolubile dal momento che si può prendere la retta aggiunta x grande quanto si vuole. Dopo aver fatto questa precisione possiamo passare alla dimostrazione della proposizione VI, 30.

13 Procediamo con la costruzione geometrica che sarà possibile visualizzare cliccando in un punto qualsiasi della pagina. Se AB è il segmento dato, si costruisce innanzitutto il quadrato ABHC. C F H A questo punto Euclide applica la proposizione VI,29 che ci permette di costruire un rettangolo equivalente al quadrato ABHC. Quindi prolunghiamo il segmento CA di un tratto AK. Costruiamo il quadrato AKDE. A E B Prolunghiamo il segmento DE fino ad intersecare CH nel punto F. K D

14 In questo modo abbiamo ottenuto il rettangolo CFDK (di base CA+AK e altezza AK) equivalente al quadrato ABHC. H Sottraendo sia ad ABHC che a CFDK, il rettangolo comune AEFC, si otterranno due figure pure equivalenti, cioè AEDK ed EBHF. A queste figure Euclide applica la proposizione VI,14 che afferma: “Nei parallelogrammi equivalenti ed aventi gli angoli rispettivamente uguali, i lati intorno agli angoli uguali sono inversamente proporzionali” , quindi sussiste la proporzione FE:ED = AE:EB, tenendo conto che FE= AB ed ED=AE risulta AB:AE = AE:EB. Quindi E è il punto cercato. C F A E B K D

15 La misura della sezione aurea
Il valore numerico della sezione aurea si calcola facilmente. Infatti riferendoci alla figura A B C x 1-x 1 se consideriamo la lunghezza a di AC come unitaria, cioè AC=1 e indichiamo quella di AB con x, allora si può scrivere la proporzione 1:x =x:(1-x) da cui si ha l’equazione di 2o grado x2+x-1 =0 la quale ammette due radici: -1+√ e √5

16 -1+√ √5 La seconda di queste (che vale ) deve essere scartata perché un segmento non può avere lunghezza negativa e quindi ci rimane solo la prima, che rappresenta proprio la misura di AB, sezione aurea di AC ed è un numero irrazionale che vale all’incirca Analogamente si verifica agevolmente che, se il segmento AC ha lunghezza a, allora la sua sezione aurea misura (-1+√5 )a 2 Il reciproco di x (1/x) ha un valore pari a 1,618 e questo numero prende il nome di rapporto aureo.

17 Il rapporto aureo Con riferimento alla fig. 1, si definisce rapporto aureo il rapporto AB/AX, con AX sezione aurea di AB. A X B Esso solitamente viene indicato con la lettera greca , in onore del sommo scultore Fidia, del cui nome è l’iniziale. Il suo valore si calcola facilmente, infatti tenendo conto del valore della sezione aurea AX, segue subito  = AB = 1 = = AX AX (√5-1) Razionalizzando otteniamo:  = ∙ √5+1 = 2(√5+1) = √5+1 = √5+1- 1= (√5-1) + 1 (√5-1) √ √5-√ quindi il rapporto aureo sarà:  = AX+1≈1,618

18 AB/AX = 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1)
D’altra parte, la proporzione AB:AX = AX:XB può essere scritta come AB:AX = AX:(AB-AX) o nella forma di uguaglianza di rapporti come: AB/AX = AX/(AB-AX), AX/(AB-AX) lo possiamo scrivere come 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1) AB/AX = 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1) Questa proporzione, essendo  = AB/AX, darà luogo all’equazione  = 1/( -1), ovvero  2-  -1=0 le cui radici sono:  = 1+√ e ’= 1-√5 la prima radice rappresenta proprio il valore del rapporto aureo.

19 Proprietà del rapporto aureo
Il numero  è irrazionale, cioè un numero decimale illimitato e aperiodico, poiché può essere scritto come  = 1/2+ √ 5/2, ed è quindi dato dalla somma di un numero razionale e di uno irrazionale. Senza alcun dubbio, esso è il numero algebrico che gode di proprietà algebriche e geometriche molto interessanti,come, per esempio, le seguenti: a)  è l’unico numero positivo il cui quadrato si ottiene sommando 1 a  stesso : 2=  +1, ( soddisfa l’equazione di 2o grado x2+x-1 =0) b)  è l’unico numero positivo il cui inverso si ottiene sottraendo 1 a  stesso  -1=1/ ; c) altre due relazioni molto interessanti sono quelle che si ricavano sommando e moltiplicando i valori di  e di ’. Si ottiene: ∙ ’= e  + ’=1 Se vuoi sapere di più sull’irrazionalità di  clicca qui

20 Costruzione di un segmento del quale si conosce la parte aurea
La risoluzione di questo problema viene effettuata in tre fasi. Riferendoci alla figura, se AH è la parte aurea del segmento che si vuole costruire, si determina innanzitutto la parte aurea AC di AH, quindi si prolunga AH di un segmento HB =AC. Il segmento AB sarà quello cercato. A C H B La verifica è immediata. Infatti poiché AH:AC =AC:CH, per una proprietà delle proporzioni si può scrivere: (AH+AC):AH = (AC+CH):AC poiché HB =AC avremo (AH+HB):AH = AH:HB  per cui infine si ottiene il risultato AB:AH = AH:HB.

21 La parte aurea della parte aurea di un segmento
H B Se AH è la parte aurea del segmento AB, sussiste la proporzione AB:AH =AH:HB . Per una nota proprietà delle proporzioni si ricava: (AB-AH):AH = (AH-HB):HB dalla quale,visto che AB-AH= HB si ottiene HB:AH = (AH-HB):HB da cui invertendo i rapporti si ha: AH:HB = HB:(AH-HB). E questo per definizione equivale a dire che la parte aurea di AH (che è parte aurea di AB) non è altro che il segmento restante HB. Riportando HB su AH, dal punto A, la parte aurea di AH sarà AK. A K H B

22 Procedendo allo stesso modo,come è rappresentato in figura, si otterrà una successione di sezioni auree all’infinito. Combinando i segmenti si ottiene una sorta di “regolo aureo”:

23 La costruzione di Erone di Alessandria
Oltre alle due costruzioni di Euclide, un’altra costruzione della sezione aurea venne proposta dal matematico greco Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il III secolo d.C.). Egli fu anche uno scrittore enciclopedico di matematica e fisica, le cui opere, giunteci quasi intatte, furono raccolte in quattro volumi editi a Lipsia tra il 1899 e il 1914, con il titolo Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia.

24 Procediamo con la costruzione geometrica che sarà possibile visualizzare cliccando in un punto qualsiasi della pagina. se AB è il segmento dato: - si traccia la perpendicolare in B ad AB - si prende su di essa un punto C tale che CB sia la metà di AB - si traccia la circonferenza di centro C e raggio CB che è tangente ad AB in B Q - si traccia la semiretta AC e si indicano con R e Q i suoi punti di intersezione con la circonferenza C R - si traccia un arco di circonferenza di centro A e raggio AR che incontra AB in D. A D B Il segmento AD è la sezione aurea di AB. Proveremo che AD è effettivamente la sezione aurea di AB tramite due dimostrazioni: la dimostrazione mediante il teorema di Pitagora e la dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni.

25 Dimostrazione mediante il teorema di Pitagora
La tesi si ottiene subito osservando che per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo ABC, si ricava: AC2 = AB2+BC2 = AB2+(AB/2)2 dalla quale, essendo AC =AR+RC = AD+CB = AD+AB/2 si ottiene: (AD+AB/2)2 = AB2+(AB/2)2 sviluppando i quadrati AD2+(AB/2)2+ (AD∙AB) = AB2+(AB/2)2 dopo brevi passaggi otteniamo AD2= AB2- (AD∙AB) = AB(AB-AD) Quindi AD∙AD = AB(AB-AD) e da questa infine AD/(AB-AD) = AB/AD Tenendo conto che AB-AD= DB si ha che AB:AD =AD:DB

26 Dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni
Una dimostrazione diversa della validità della costruzione di Erone, ma altrettanto semplice come la precedente, può essere data mediante la teoria delle proporzioni. Essendo A un punto esterno alla circonferenza per il teorema della secante e della tangente condotte da un punto esterno ad una circonferenza si può scrivere la seguente proporzione: AQ:AB = AB:AR Applichiamo ad essa la proprietà dello scomporre: (AQ-AB):AB = (AB-AR):AR. Poiché per costruzione AB =RQ e AR=AD si ha che: (AQ-AB) = (AQ-RQ) =AR =AD e (AB-AR) = (AB-AD) =DB La proporzione diventa: AD:AB = DB:AR. Invertendo e sostituendo AR =AD otteniamo AB:AD = AD:DB. Quindi AD è medio proporzionale fra AB e DB. Dunque AD è la parte aurea del segmento AB.

27 Il rettangolo aureo D G E B A M C
Se disegniamo un rettangolo in cui l’altezza sia la sezione aurea della base otteniamo il più bello , armonico rettangolo tra gli infiniti rettangoli che si possano disegnare e questo spiega la frequenza con cui esso compare in arte Per visualizzare la costruzione del rettangolo aureo dato un segmento AC clicca in un punto qualsiasi della pagina - si disegni il quadrato ADGC D G E - si divide il segmento AC in due chiamando il punto medio M - si traccia un arco di circonferenza di centro M e raggio MG che intersechi il prolungamento del segmento AC in B -si segni il segmento BE perpendicolare ad AB B A M C Il rettangolo ABED è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto C esattamente nella sezione aurea AB:AC = AC:CB AC = AD

28 AB/AC = (AC+CB)/AB = 1+[(5-1)/2]/1 = (5+1)/2 = 
Questa costruzione ci permette, avendo a disposizione un segmento AC, di poter determinare un secondo segmento CB tale che il rapporto AC/CB sia aureo. D G E Supponiamo che AC abbia lunghezza unitaria, avremo che MC=1/2 ed MG per il teorema di Pitagora sarà uguale a A M C B MG=√(MC2+CG2)=√[(1/2)2+(1)2]=√(1/4+1)=√5/4=5/2 Osservando che MG = MG possiamo scrivere CB = MB-MC = (5/2)-1/2 = (5-1)/2 per cui risulta: AC/CB = 1/(5-1)/2 = (5+1)/2 =  Inoltre anche il rapporto AB/AC è aureo,perché si ha AB/AC = (AC+CB)/AB = 1+[(5-1)/2]/1 = (5+1)/2 = 

29 Ripetendo la costruzione di un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo si ottengono tanti rettangoli in cui il rapporto tra le due dimensioni è sempre la sezione aurea. D E F A C B CB=BF dimostreremo che BE : BF = BF : FE Infatti se AB : AC = AC : CB          CB = AB –AC AB : AC = AC : ( AB-AC) invertendo antecedenti e conseguenti AC : AB = ( AB-AC ) : AC applicando la proprietà dello scomporre AC : ( AB-AC) = (AB-AC) : ( AC-CB) Siccome AC= BE, AB-AC=BF, CB= BF, AC-CB = BE-BF=FE quindi BE : BF = BF : FE

30 La spirale aurea La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti dentro il rettangolo aureo

31 Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

32 Triangolo aureo con angoli di misura: 72°, 72°, 36°
Dato un triangolo isoscele ABC i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Tracciamo la bisettrice dell’angolo in B fino a farla intersecare con il lato AC nel punto D. In questo modo si formeranno due triangoli: il triangolo ABD, isoscele poiché gli angoli alla base misurano 36o ciascuno, e il triangolo BCD. Il triangolo ABC è simile al triangolo BCD infatti anch’esso è un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72ociascuno e l’angolo al vertice misura 36o. Essendo simili avranno i lati in proporzione, quindi AC:BC = BD:DC essendo BC = BD = AD avremo AC:AD = AD:DC quindi AD è la sezione aurea di AC.

33 Triangolo con angoli di misura: 36°, 36°, 108°
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD del triangolo aureo.

34 Il pentagono stellato La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni à un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea da cui è nata. Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea : AB : AC = AC : CB

35 Il pentagono e triangoli in esso contenuti
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.

36 Le diagonali del pentagono definiscono inoltre un nuovo pentagono, di cui possiamo ancora tracciare le diagonali che definiscono un nuovo pentagono e così via in una successione senza fine, dove ogni segmento costruisce con il segmento di ordine inferiore, un rapporto il cui valore è sempre il numero d'oro.

37 Il compasso aureo Una volta noto il rapporto aureo,si è cercato di avere uno strumento pratico che all’occorrenza potesse servire per determinare la parte aurea di un dato segmento in modo rapido, specialmente per i bisogni immediati di un disegnatore tecnico. È stato così inventato il compasso aureo, dovuto ad Adalbert Göeringer .

38 Il compasso si costruisce con quattro aste che denotiamo con DM,MB,CE,EA. Le aste sono incernierate in M,C ed A in modo che sussistano le relazioni seguenti: DM=MB, DM/DC=MB/MA= , AB=AE, CE=ED. le punte delle aste del compasso si fanno coincidere con gli estremi B e D il punto E divide la distanza BD in base alla sezione aurea. Infatti, dalla similitudine dei triangoli DMB e DCE si ricava: DB:DE =MB:CE, dalla quale, in virtù dell’uguaglianza tra CE ed MA, si ottiene: DB/DE=MB/MA=  La cosa si ripete sempre, qualsiasi sia la distanza tra B e D.

39 LA SEZIONE AUREA E L’ARITMETICA
Biografia di Leonardo Fibonacci La serie di Fibonacci I numeri di Fibonacci nel triangolo di Pascal Somma di numeri di Fibonacci Massimo comune divisore dei numeri di Fibonacci Legame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo - Una formula notevole: la formula di Binet

40 Biografia di Leonardo Fibonacci
Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci nacque a Pisa intorno al Suo padre era responsabile del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche.

41 In tutta la sua produzione l’opera più importante è il "Liber abaci", comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti. La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II gli chiese un’udienza mentre era Pisa nel Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi cheapportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.

42 La serie di Fibonacci Durante il soggiorno di Federico II a Pisa, si svolse un singolare torneo dove si sfidano abachisti e algoritmisti armati di carta, penna e pallottoliere che dimostra in via definitiva come con le tecniche di calcolo secondo il metodo appreso dagli arabi si potessero effettuare calcoli complessi più velocemente che con qualsiasi abaco. Fibonacci risolve il problema con una velocità tale da far persino sospettare che la gara fosse truccata. Il problema posto era il seguente: quante coppie di conigli si ottengono in 12 mesi posto che ogni coppia dia alla luce una nuova coppia ogni mese e che le nuove coppie nate siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita? La risposta si ricava semplicemente dalla famosa serie di Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233….dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due precedenti. Vediamo la soluzione proposta da Fibonacci:

43 Alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 sola coppia.
Numero di coppie 1 2 3 5 Alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 sola coppia. Alla fine del secondo mese la femmina genera una nuova coppia per cui ora si hanno 2 coppie. Alla fine del terzo mese la femmina iniziale genera una nuova coppia dando luogo a 3 coppie, mentre la femmina nata il mese precedente resterà incinta ma partorirà solo fra un mese. Alla fine del quarto mese la femmina iniziale ha generato una nuova coppia mentre la femmina nata due mesi prima genera la sua prima coppia. Abbiamo così 5 coppie. Alla fine del quinto mese avremo quindi 3 femmine che generano una nuova coppia portando il totale a 8 coppie e proseguendo il ragionamento le coppie diventano 13, 21, 34, 55 etc.etc. Alla fine del dodicesimo mese si arriva a 233 coppie.

44 Tutto questo potrebbe sembrare una pura curiosità matematica legata alla particolarità di questo problema ed a fattori puramente casuali. Di notevole interesse risulta tuttavia la ricorrente presenza di questi numeri in molteplici situazioni naturali (animali e piante) tali da indurre numerosi artisti a riconoscere in questi sequenza numerica una sorta di ordine naturale che ben si accorda con l'armonia indotta dal rapporto di sezione aurea. Nella seconda metà del diciannovesimo secolo, un matematico francese di nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale sequenza utilizzando come valori di partenza 2 e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta come la sequenza di Lucas. Quest'ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti. La serie di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1 in cui l'elemento successivo è calcolato come somma degli ultimi due. Una definizione più formale è: Fib(0) = 1 Fib(1) = 1 Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) se n>1 il valore della funzione Fib è definito in termini della funzione stessa.Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da equazioni dette ricorrenti o alle differenze.

45 I numeri di Fibonacci nel triangolo di Pascal
Ci accingiamo a determinare una relazione fra i numeri di Fibonacci e il triangolo di Pascal. Il triangolo di Pascal è una configurazione di numeri interi a forma di triangolo che prende il nome dal filosofo, fisico e matematico francese Blaise Pascal ( ) che lo usò per ricavare i coefficienti dello sviluppo binomiale. La caratteristica più rilevante del triangolo di Pascal è che ogni elemento di una riga è la somma dei due elementi consecutivi che stanno nella riga precedente, così 6=3+3, 4=3+1… Questa regola è molto simile a quella che genera la successione di Fibonacci.

46 Vediamo la relazione che intercorre tra questi numeri
Vediamo la relazione che intercorre tra questi numeri. le linee oblique congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le diagonali ascendenti del triangolo di Pascal. Esempio di tali diagonali è appunto la linea passante per i numeri 1, 4, 3. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data diagonale ascendente è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono formate dal solo numero 1.

47 Somma di numeri di Fibonacci
Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G... Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci, che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma: ( A+B+C+1 = E ) Esempi: Consideriamo la serie di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…. Sommiamo i primi cinque numeri di Fibonacci e aggiungiamo uno = 13 otteniamo il settimo numero della sequenza. Stavolta sommiamo i primi undici numeri e aggiungiamo uno =233 in questo caso si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.

48 Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati è un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza. Esempi: Consideriamo la serie di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…. 32+52=34 In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci. 82+132= 233 In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.

49 Massimo comune divisore dei numeri di Fibonacci
Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostriamo come si determina tramite l’algoritmo euclideo delle divisioni successive il massimo comune divisore di due numeri a e b, facenti parte della serie di Fibonacci. Algoritmo euclideo delle divisioni successive Dividiamo a per b ottenendo per quoziente q1 e per resto r1. Le divisioni si succederanno fino a quando il resto non sarà nullo. Otteniamo: a = bq1 + r con 0 < r1 < b b = r1q2 + r < r2 < r1 r1= r2q3 + r < r3 < r2 : : rn-2= rn-1qn + rn < rn < rn-1 rn-1= rnqn+1 + 0 rn è l’ultimo resto non nullo e quindi il M.C.D. tra a e b.

50 Consideriamo la serie di Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946……… Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci: 6765 e 610 6765 = 610 x 610 = 55 x 55 = 5 x 11 il massimo comune divisore è l’ultimo resto non nullo,quindi 5. Il fatto che il massimo comune divisore di questi due numeri di Fibonacci sia ancora un numero della serie di Fibonacci, il 5, non è pura coincidenza. Per saperne di più su questa ed altre proprietà dei numeri di Fibonacci clicca qui.

51 Legame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo
Un’osservazione di tipo pratico che collega la successione di Fibonacci con la sezione aurea è la seguente: se ciascun numero diviene l'area d'un quadrato, è possibile accostarli ottenendo tanti rettangoli aurei,quindi rettangoli in cui il rapporto tra le due dimensioni è sempre la sezione aurea.

52 Robert Simson nel 1735 notò che facendo il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre più a 1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo. Calcoliamo il rapporto tra due termini successivi della successione e disponiamo i risultati in due colonne 2 / 1 2 34 / 21 1, 3 / 2 1,5 55 / 34 1, 5 / 3 1,66666… 89 / 55 1, 8 / 5 1,6 144 / 89 1, 13 / 8 1,625 233 / 144 1, 21 / 13 1, 377 / 233 1, la prima colonna decresce e la seconda cresce ma entrambe tendono a 1, che è il valore del rapporto aureo . Ciò può essere espresso in modo più rigoroso con una formula lim =  (con n che tende ad infinito)

53 Una formula notevole: la formula di Binet
La formula ricorsiva che governa la legge di formazione dei numeri di Fibonacci non è per nulla agevole per il calcolo dei vari termini della successione, in quanto per calcolare un termine qualsiasi è necessario conoscere i due termini che lo precedono. Fortunatamente è stata trovata una formula notevole, la formula di Binet, che lega l’n-simo termine della successione con il posto n in cui esso si trova: ove  è il valore del Rapporto Aureo, pari a

54 La formula di Binet ci permette di dimostrare che:
lim =  = con n che tende a infinito lim =lim =lim = lim =lim = poiché -1< < 1 allora , lim =

55 Tutte le operazioni che sono state utilizzate per dimostrare la proposizione II. 11 , cioè la costruzione di un quadrato di lato assegnato, la determinazione del punto medio di un segmento, il prolungamento di un segmento e la determinazione di un segmento congruente ad un’altro, sono tutte permesse perché Euclide le ha trattate prima. Per dimostrare la proposizione, Euclide utilizza inoltre la teoria dell’equivalenza delle figure piane, che viene trattata pure nel Libro II. Egli applica la proposizione II. 6 , nella quale si afferma che se AB è un segmento diviso a metà dal punto M, e viene prolungato del segmento BN, A M B N allora sarà valida la relazione: MN2=AN∙BN+MB2. Se la lunghezza di AB si indica con a e quella di BN con x, la relazione precedente si traduce nella formula di immediata verifica: (a/2 +x)2 = (a +x) x+ (a/2)2

56 A questo punto verrà fatta una piccola digressione riguardo il numero √5 e la sua irrazionalità. Tutto ciò servirà da premessa al prossimo paragrafo, per meglio comprendere l’irrazionalità di  . Lemma.1:” Il quadrato di un numero m è divisibile per 5 se e solo se m è divisibile per 5”. DIMOSTRAZIONE: ricordiamo che un numero m è divisibile per 5 se esiste un k intero tale che m= 5k. Condizione necessaria Se m= 5k allora m2=25k2 e m2=5(5k2) ponendo k’=5k2 abbiamo trovato m2=5k’ allora il quadrato di m è divisibile per 5. Condizione sufficiente Sia m2=5k, dobbiamo dimostrare che anche m sia multiplo di5; supponiamo per assurdo che non lo sia, quindi m= 5h+r con ≤ r ≤4 sviluppando il quadrato otteniamo m2=25h2+2(5hr)+r2=5(5h2+2hr)+ r2 che non è divisibile per 5, ma m2=5k e quindi abbiamo ottenuto due diverse scomposizioni in fattori. Ciò viola il teorema fondamentale dell’aritmetica. Quindi possiamo concludere che m è multiplo di 5.

57 Lemma.2: “√5 è un numero irrazionale”.
DIMOSTRAZIONE √5 è un numero reale, infatti esiste un teorema che afferma: “ogni numero reale positivo y ammette per ogni n naturale una e una sola radice n-ma positiva”. Per dimostrare che √5 è un numero irrazionale basta far vedere che non appartiene all’insieme dei razionali. Procediamo per assurdo e supponiamo che √5 è un numero razionale quindi esistono m ed n naturali non entrambi multipli di 5 tali che mn-1=√5 e quindi tali che m2=5n2 per il Lemma.1 possiamo affermare che m è multiplo di 5, cioè m =5p con p numero naturale. Se in tale uguaglianza si sostituisce 5p a m si ottiene 25p2= 5n2 e quindi p2= n2 ciò significa che n è multiplo di 5 in contrasto con la scelta di m ed n, quindi possiamo affermare che √5 non appartiene all’insieme dei razionali. Di conseguenza possiamo affermare che anche √5/2 non sarà un numero irrazionale.

58 Proprietà dei numeri di Fibonacci
Proprietà.1: ”Due numeri di Fibonacci consecutivi sono coprimi” Proprietà.2: “Per ogni n e ogni k risulta Fib(n+k)=Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n)” Proprietà.3:”Fib(kn) è multiplo di Fib(n)” Proprietà.4:”Il massimo comune divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci, precisamente: MCD(Fib(m),Fib(n))=Fib(d) con d=MCD(m,n)

59 Proprietà.1: ”Due numeri di Fibonacci consecutivi sono coprimi”.
DIMOSTRAZIONE: supponiamo per assurdo che esista un d>1 che divida Fib(n) e Fib(n+1) allora dividerà anche la loro somma, cioè Fib(n)+Fib(n+1) e la loro differenza, cioè Fib(n+1)-Fib(n), ma per la relazione ricorsiva che definisce la successione di Fibonacci, si ha: Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) ponendo n=n+1 avremo Fib(n+1)=Fib(n)+ Fib(n-1) da cui Fib(n-1)= Fib(n+1)- Fib(n). Dunque d/ Fib(n-1), iterando d dovrà dividere Fib(2)=1 il che è assurdo.

60 Per n=1 la relazione diventa
Proprietà.2: “Per ogni n e ogni k risulta Fib(n+k)=Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n)” DIMOSTRAZIONE: fissiamo k e procediamo per induzione su n. Per n=1 la relazione diventa Fib(k+1)=Fib(k)Fib(2)+ Fib(k-1) Fib(1)= Fib(k)+ Fib(k-1) che è vera. Supponiamo quindi vera la formula per ogni 0≤m≤n e dimostriamola per n. Per l’induzione ammessa saranno vere le seguenti due relazioni Fib(n-1+k)=Fib(k)Fib(n)+ Fib(k-1) Fib(n-1) e Fib(n-2+k)=Fib(k)Fib(n-1)+ Fib(k-1) Fib(n-2) Sommando membro a membro si ottiene Fib(n-1+k)+ Fib(n-2+k)= = Fib(k)[ Fib(n)+ Fib(n-1)]+ Fib(k-1)[ Fib(n-1)+ Fib(n-2)]= = Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n), ma Fib(n-1+k)+Fib(n-2+k)=Fib(n+k), quindi possiamo concludere Fib(n+k)= Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n)

61 Proprietà.3:”Fib(kn) è multiplo di Fib(n)”.
DIMOSTRAZIONE: Procederemo per induzione su k. Per k=1 è ovvia. Supponiamola vera per ogni m≤k e dimostriamolo per k+1. Utilizzando la Proprietà.2 possiamo scrivere Fib[(k+1)n]= Fib(kn+n)= Fib(n)Fib(kn+1)+ Fib(n-1) Fib(kn) Per l’induzione ammessa sia Fib(n) che Fib(kn) sono multipli di Fib(n), quindi lo sarà anche Fib[(k+1)n].

62 Proprietà.4:”Il massimo comune divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci, precisamente: MCD(Fib(m),Fib(n))=Fib(d) con d=MCD(m,n) DIMOSTRAZIONE: dimostriamo innanzitutto che, se m= nq+r allora MCD(Fib(m),Fib(n))=MCD(Fib(n),Fib(r)). Si ha la seguente serie di uguaglianze: MCD(Fib(m),Fib(n))= =MCD(Fib(nq+r),Fib(n))=(per la Proprietà.2) = = MCD(Fib(r)Fib(nq+1)+ Fib(r-1) Fib(nq), Fib(n))= =(per la Proprietà.3 Fib(nq) è multiplo di Fib(n))= = MCD(Fib(r)Fib(nq+1), Fib(n)) se dimostriamo che MCD(Fib(nq+1), Fib(n))=1 si può concludere che MCD(Fib(r)Fib(nq+1), Fib(n))= MCD(Fib(r), Fib(n)) che è quanto volevamo provare.

63 Sia MCD(Fib(nq+1), Fib(n))=d allora
d divide Fib(n) e quindi anche Fib(qn) e d divide Fib(nq+1). In quanto divisore di due numeri di Fibonacci successivi deve essere d=1, con questo risultato a disposizione il fatto che MCD(Fib(m),Fib(n))=Fib(d) con d=MCD(m,n) è immediato. Infatti operando l’algoritmo euclideo partendo da m e n e indicando con rt l’ultimo resto non nullo (che è quindi il MCD(m,n)) si avrà MCD(Fib(m),Fib(n))= MCD(Fib(r1),Fib(n))=…………= =MCD(Fib(rt-1),Fib(rt))= Fib(rt) l’ultima uguaglianza è valida dato che rt divide rt-1. Allora per quanto visto Fib(rt) divide Fib(rt-1)