La programmazione lineare

Presentazione sul tema: "La programmazione lineare"— Transcript della presentazione:

1 La programmazione lineare
E’ una tecnica matematica usata nella pianificazione amministrativa ed economica per trovare il massimo o il minimo di funzioni lineari soggette a “vincoli”

2 Il ricavo (o il costo) assume la forma di funzione, che viene indicata spesso con z e viene detta
“funzione obiettivo”.

3 E s e m p i o: Un’ azienda produce quotidianamente una quantità x di divani e una quantità y di poltrone

4 y N° di poltrone prodotte x N° di divani prodotti

5 L’ azienda ricava € 600 per ogni divano venduto e € 400 per ogni poltrona venduta.

6 Il ricavo assume la forma di funzione:
Z = 600 X y

7 Il ricavo assume la forma di funzione:
Z = 600 X y Quanto vale il massimo ricavo per l’ azienda ?

8 Al variare di x e di y, ovvero del numero di articoli prodotti dell’ uno e dell’ altro tipo, varia il ricavo giornaliero.

9 La funzione z = 600 x + 400 y nello spazio viene rappresentata con un piano.
Da un punto di vista matematico, questa funzione ricavo non ha limitazioni …

10 Da un punto di vista pratico ci rendiamo conto che x ed y non possono assumere valori qualsiasi, ma devono obbedire a dei “vincoli”

11 I vincoli (di produzione) possono essere dovuti a:
Disponibilità di materiale Ore lavorative Capienza del magazzino

12 L’ obiettivo del problema è trovare il valore di produzione che rende massimo il ricavo, tenendo conto dei vincoli.

13 Aggiungiamo dei vincoli al problema …
L’ obiettivo del problema è trovare il valore di produzione che rende massimo il ricavo, tenendo conto dei vincoli. Aggiungiamo dei vincoli al problema …

14 In azienda le ore lavorative sono 8 al giorno.
1° VINCOLO: Ogni divano richiede 2 ore di lavoro, mentre ogni poltrona richiede 1 ora. In azienda le ore lavorative sono 8 al giorno.

15 Il salottificio può produrre giornalmente al massimo 6 oggetti
2° VINCOLO: Il salottificio può produrre giornalmente al massimo 6 oggetti

16 I vincoli si traducono in DISEQUAZIONI

17 ore lavorative ≤ 8

18 Bisogna esprimere le ore lavorative in funzione di x e y

19 ore lavorative ≤ 8 2 x + y ≤ 8

20 n° di oggetti prodotti ≤ 6

21 Bisogna esprimere anche questo vincolo in funzione di x e y
n° di oggetti prodotti ≤ 6 Bisogna esprimere anche questo vincolo in funzione di x e y

22 n° di oggetti prodotti ≤ 6
x + y ≤ 6

23 Oltre ai vincoli di produzione esistono i vincoli di segno:
Le quantità prodotte x ed y non possono essere negative: x ≥ 0 y ≥ 0

24 Oltre ai vincoli di produzione esistono i vincoli di segno:
Le quantità prodotte x ed y non possono essere negative: x ≥ 0 y ≥ 0 3° VINCOLO

25 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare:

26 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare: z = 600 x y

27 Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare:
R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare: z = 600 x y Soggetta al sistema di vincoli:

28 R I E P I L O G A N D O: Il problema consiste nel trovare il massimo della funzione lineare: z = 600 x y Soggetta al sistema di vincoli: x ≥ 0 y ≥ 0 2 x + y ≤ 8 x + y ≤ 6

29 Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:
G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:

30 Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:
G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:  a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);

31 Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:
G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:  a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);  b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI;

32 Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:
G E N E R A L I Z Z A N D O … Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando si e' in presenza di:  a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);  b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI;  c) un INSIEME DI VINCOLI DI SEGNO, di norma POSITIVO, che esprimono la NON-NEGATIVITA' delle VARIABILI presenti, essendo esse GRANDEZZE ECONOMICHE.

33 Risoluzione del problema
Si parte con la risoluzione per via grafica del sistema di disequazioni: x ≥ 0 y ≥ 0 2 x + y ≤ 8 x + y ≤ 6

34 Risoluzione del problema
Si parte con la risoluzione per via grafica del sistema di disequazioni: x ≥ 0 y ≥ 0 2 x + y ≤ 8 x + y ≤ 6 y ≤ - 2 x + 8 y ≤ - x + 6 x ≥ 0 y ≥ 0

35 Risoluzione del problema
Si rappresentano le rette corrispondenti alle equazioni associate: y ≤ - 2 x + 8 y = - 2 x + 8 y ≤ - x + 6 y = - x + 6 x ≥ 0 y ≥ 0 x = 0 y = 0

36 8 7 6 5 4 3 2 1 x y

37 8 7 6 5 4 3 2 1 x y y = - 2 x + 8

38 8 7 6 5 4 3 2 1 x y y = - 2 x + 8 y = - x + 6

39 8 7 6 5 4 3 2 1 x y x = 0 y = - 2 x + 8 y = - x + 6

40 8 7 6 5 4 3 2 1 x y x = 0 y = - 2 x + 8 y = - x + 6 y = 0

41 8 7 6 5 4 3 2 1 x y y ≤ - 2 x + 8 y ≤ - x + 6 y ≥ 0 x ≥ 0

42 REGIONE AMMISSIBILE y y ≤ - 2 x + 8 x x ≥ 0 8 7 6 5 4 3 2 1
x y REGIONE AMMISSIBILE y ≤ - 2 x + 8 y ≤ - x + 6 y ≥ 0 x ≥ 0

43 Il massimo della funzione z si trova su uno dei vertici del poligono
8 7 6 5 4 3 2 1 x y Il massimo della funzione z si trova su uno dei vertici del poligono y ≤ - 2 x + 8 y ≤ - x + 6 y ≥ 0 x ≥ 0

44 In questo caso il poligono è un quadrilatero
8 7 6 5 4 3 2 1 x y In questo caso il poligono è un quadrilatero A(0; 6) B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

45 Teorema della programmazione lineare
8 7 6 5 4 3 2 1 x y Teorema della programmazione lineare A(0; 6) B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

46 8 7 6 5 4 3 2 1 x y ZA = 600 * * 6 = 2.400 A(0; 6) B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

47 8 7 6 5 4 3 2 1 x y ZA = 600 * * 6 = 2.400 ZB = 600 * * 4 = 2.800 A(0; 6) B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

48 8 7 6 5 4 3 2 1 x y ZA = 600 * * 6 = 2.400 ZB = 600 * * 4 = 2.800 A(0; 6) ZC = 600 * * 0 = 2.400 B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

49 8 7 6 5 4 3 2 1 x y ZA = 600 * * 6 = 2.400 ZB = 600 * * 4 = 2.800 A(0; 6) ZC = 600 * * 0 = 2.400 ZO = 600 * * 0 = 0 B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

50 8 7 6 5 4 3 2 1 x y ZA = 600 * * 6 = 2.400 ZB = 600 * * 4 = 2.800 A(0; 6) ZC = 600 * * 0 = 2.400 ZO = 600 * * 0 = 0 B(2; 4) O(0; 0) C(4; 0)

51 8 7 6 5 4 3 2 1 x y ZA = 600 * * 6 = 2.400 ZB = 600 * * 4 = 2.800 A(0; 6) ZC = 600 * * 0 = 2.400 ZO = 600 * * 0 = 0 B(2; 4) Il massimo ricavo (€ 2.800) si ha con una produzione giornaliera di 2 divani e 4 poltrone. O(0; 0) C(4; 0)

52 Teorema della programmazione lineare
Quando l’ insieme delle soluzioni ammissibili di un problema di programmazione lineare è un poligono convesso, allora la soluzione ottimale (ossia il punto di massimo o di minimo della funzione obiettivo), esiste sempre e si trova in uno dei vertici del poligono.