1 Università della Liberetà 2007-08 mbassi. 2 DEFINIZIONE Unadisequazioneè unaformula apertacostituita da uno dei seguenti predicati: Una disequazione.

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1 1 Università della Liberetà 2007-08 mbassi

2 2 DEFINIZIONE Unadisequazioneè unaformula apertacostituita da uno dei seguenti predicati: Una disequazione è una formula aperta, costituita da uno dei seguenti predicati: < (essere minore) < (essere minore) (essere minore o uguale) (essere minore o uguale) > (essere maggiore) > (essere maggiore) (essere maggiore o uguale) (essere maggiore o uguale) formula aperta : frase che contiene una variabile

3 3 I predicati essere minore o essere maggiore non sono simmetrici Il predicato essere minore (o essere maggiore) è antisimmetrico: se a è minore di b allora b è maggiore di a: è antisimmetrico: se a è minore di b allora b è maggiore di a: a a (con a b) ogni numero reale è minore (o maggiore) di altri INFINITI numeri realiogni numero reale è minore (o maggiore) di altri INFINITI numeri reali OSS. Il predicato = è simmetrico cioè se a è uguale a b, anche b è uguale ad a: a = b b = a

4 4 a) 4 > 2 2 … 4 b)- 2 < 0 0 … - 2 c)- 3 < 0 3 … 0 d) 2 < 4 - 2 … - 4 e) 3 > 1 - 3 … - 1 Completare le seguenti formule con il predicato in modo da ottenere proposizioni vere: f) - 2 > - 4 4 … 2 g) a < 0 - a … 0 h) a < 2 - a … - 2 i) - a < 3 a … - 3 j)- 2 < 1 < 4 4 … 1 … - 2 Scrivi in formule, le negazioni delle seguenti frasi: il numero a è minore di b il numero a è minore di b il numero a è maggiore o uguale a b il numero a è maggiore o uguale a b il numero a è maggiore di b il numero a è maggiore di b il numero a non è maggiore di b il numero a non è maggiore di b a b a < b a b a > b

5 5 Analizza le seguenti affermazioni: pensi che siano SEMPRE VERE ? se a Q allora – a indica un numero minore di zero se a N allora a 2 è maggiore di a se a Q allora a 2 è maggiore di a FVF Nota: V- vero; F- falso

6 6 R I C O R D A R E L' ambiente dei numeri naturali N, fortemente radicato nell'esperienza, è di ostacolo al passaggio ai numeri razionali Q Riflettere sul fatto che il quadrato di un numero non è sempre maggiore del numero di partenza e che l'equivalenza di frazioni non include il prodotto di una frazione per se stessa. l'equivalenza di frazioni non include il prodotto di una frazione per se stessa.

7 7 a) si addiziona (o si sottrae) lo stesso numero reale sia a sinistra sia a destra del predicato; b)si moltiplica (o si divide) per lo stesso numero reale positivo sia a sinistra sia a destra del predicato; c)si moltiplica (o si divide) per lo stesso numero reale negativo sia a sinistra sia a destra del predicato, ma si inverte il predicato stesso a b a b Una disequazione si trasforma in una disequazione equivalente se:

8 8 Esempio di risoluzione di una 3(x – 1) < 4x + 5 3x – 3 < 4x + 5 3x – 4x -1 8 x > -8 Principio di equivalenza delle disequazioni Rappresentazione grafica dellinsieme di soluzioni -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 +5 +6 … … X > - 8

9 9 Con 108 euro in suo possesso, il signor H deve acquistare un libro al prezzo di 19 euro, e con la rimanenza, alcuni dischi, ciascuno dei quali costa 17 euro. Ne deve acquistare almeno 2, per un regalo che ha deciso di fare. Quanti dischi può comprare? formalizziamo il problema 17x+19 108 17x+19 108 la spesa non può superare i 108 euro x 2 x 2 deve acquistare almeno due dischi X N X N il numero dei dischi è un numero naturale La prima formula è vera per x 89/17 ( 5,24) Rappresentiamo graficamente, sulla retta, linsieme delle soluzioni di ciascuna formula

10 10 0 1 2 3 4 5 5,24 6 … … 2 0 L insieme delle soluzioni è l intersezione di questi tre insiemi 0 Il signor H acquister à 2, 3, 4 oppure 5 dischi

11 11 PROBLEMA Un associazione offre una tessera annuale dal costo di 30 euro che permette di pagare 4 euro il biglietto in tutti i cinema dove il biglietto costa 9 euro. Quante volte si deve andare al cinema in un anno perch é la tessera sia conveniente? risoluzione Indichiamo con n il numero di volte che si può andare al cinema in un anno e formalizziamo il problema: 30 + 4n 9 n 30 9 n – 4 n ( pr.di equivalenza) 30 + 4n 9 n 30 9 n – 4 n ( pr.di equivalenza) 30 5 n n > 6 30 5 n n > 6

12 12 UN PROBLEMA CHE CONDUCE A DISEQUAZIONI DI 1° GRADO Di un auto sono in vendita due modelli: a benzina, che ha un costo di utilizzo di circa 0,25 euro ogni chilometro e il costo iniziale è di 12000 euro a benzina, che ha un costo di utilizzo di circa 0,25 euro ogni chilometro e il costo iniziale è di 12000 euro a gasolio, che ha un costo di utilizzo di circa 0,15 euro ogni chilometro e il costo iniziale è di 13500 euroa gasolio, che ha un costo di utilizzo di circa 0,15 euro ogni chilometro e il costo iniziale è di 13500 euro Quale dei due modelli conviene comperare se deve essere rivenduto alla fine dell anno ? risoluzione Indicando con x il numero di chilometri che si potrebbero percorrere in un anno si ha: Costo annuo dell auto a gasolio: 0,15 x + 13500 Costo annuo dell auto a benzina: 0,25 x + 12000 L auto a gasolio è conveniente se: 0,15 x + 13500 < 0,25 x + 12000 (pr. di equivalenza) 1500 0,10 x x > 15000 1500 0,10 x x > 15000 L acquisto è conveniente solo se si percorreranno pi ù di 15000 km.

13 13 e ancora … e ancora … x + y 3 disequazione di 1° grado a due incognite consideriamo nel piano cartesiano x + y = 3: equazione di una retta consideriamo nel piano cartesiano x + y = 3 : equazione di una retta Il semipiano tratteggiato è l insieme di punti che soddisfano la disequazione x + y 3 (0;3) (3;0) x y (3;2) Es. Il punto (3;2) verifica la disequazione

14 14 Un problema di programmazione economica Una ditta produce calcolatori di due tipi A, B. Per soddisfare le richieste, l industria sa che deve produrre ogni giorno: almeno 200 calcolatori di tipo A, ma non pi ù di 1000 almeno 200 calcolatori di tipo A, ma non pi ù di 1000 non pi ù di 500 calcolatori di tipo B non pi ù di 500 calcolatori di tipo B Ma la ditta non ha la possibilit à di produrre, in tutto pi ù di 1200 calcolatori al giorno. Inoltre si sa che: si ricavano 2000 euro per ogni calcolatore di tipo A si ricavano 2000 euro per ogni calcolatore di tipo A si ricavano 5000 euro per ogni calcolatore di tipo B si ricavano 5000 euro per ogni calcolatore di tipo B Qual è il ricavo massimo che l industria può realizzare? Qual è il ricavo massimo che l industria può realizzare? Indico con x: il numero dei calcolatori di tipo A y: il numero dei calcolatori di tipo B y: il numero dei calcolatori di tipo B

15 15 Si producono almeno 200 calcolatori di tipo A x 200 Si producono almeno 200 calcolatori di tipo A x 200 a e non più di 1000 x 1000 e non più di 1000 x 1000 b Si producono non pi ù di 500 calcolatori di tipo B y 500 Si producono non pi ù di 500 calcolatori di tipo B y 500 c Non si producono in tutto più di 1200 calcolatori x + y 1200 Non si producono in tutto più di 1200 calcolatori x + y 1200 d Il numero di calcolatori di tipo B è positivo y 0 Il numero di calcolatori di tipo B è positivo y 0 e x y 200 500 1000 d b c a zona di produzione

16 16 parte ECONOMICA manca ancora la parte ECONOMICA R = 2000 x + 5000 y funzione obiettivo R = 2000 x + 5000 y viene detta funzione obiettivo ottimizzare descrive il ricavo R che si vuole ottimizzare, cio è rendere il migliore possibile Si può procedere in questo modo: 5000 y = R - 2000 x y = 0,005 R – 0,4 x ricaviamo y 5000 y = R - 2000 x y = 0,005 R – 0,4 x Ora si può ragionare cos ì : se R = 0 y = – 0,4 x se R = 0 y = – 0,4 x equazione che ha come grafico una retta passante per l origine degli assi cartesiani x,y NOTA NOTA D appartiene alla retta x + y =1200, se y = 500 allora x = 700 Il punto D ha coordinate (700,500)

17 17 zona di produzione x y 200 500 1000 situazione in cui il ricavo e massimo D A y = – 0,4 x Il ricavo è massimo proprio quando la retta passa per D R = 2000 700 + 5000 500 ; R = 3.900.000 y = – 0, 4 x + R R = 0 R > 0

18 18 1.Aggiungendo 7 al doppio di un numero reale si ottiene come risultato un numero maggiore di 3 2.La somma di un numero e della met à di un numero naturale non è inferiore a 9 3.La differenza tra 10 e la quinta parte di un numero reale non supera 11 4.Moltiplicando 1/3 per il quadruplo di un numero naturale, si ottiene un numero non inferiore alla quarta parte del suo doppio 5.Il triplo prodotto di un numero reale per il quadrato di -2 è uguale al pi ù al numero stesso aumentato di 1 6.3x – 1 x + 1 11x – 5 7.0,2x 7,3x + 1,7 ; 5.5 x - 0,8 x 6,4x 236 +>

19 19 e … ancora PROBLEMA Un gruppo di 6 amici deve organizzare un viaggio estivo che prevede almeno 10 giorni in Francia e non pi ù di 20 giorni in Spagna, spendendo per l alloggio non pi ù 2500 euro; Le informazioni disponibili sono: - un giorno in campeggio in Francia costa circa 10 euro a persona - un appartamento per 6 persone in Spagna costa circa 350 euro la settimana Organizzare il viaggio che realizza il massimo numero di giorni di vacanza

20 20 Un problema curioso Un artistastra-va-gante decide di costruire una piramide: Un artista stra-va-gante decide di costruire una piramide: Su un cubo che ha lato lungo 1 m. si dispone un cubo che ha un lato lungo la metà, poi, sopra a questo, un cubo che ha il lato 3 volte più piccolo … … 1 m. 1 2 m. 1 3 m. 1 4 m. Pensando al suo progetto, l artista sa che l altezza della piramide sar à : ( 1+1/2+1/3+1/4+1/5 … ) m. Il laboratorio in cui la piramide viene costruita ha un soffitto alto 3 m. perciò lo scultore si chiede se la piramide raggiunger à mai l altezza di 3 m. Per valutare l altezza scriviamo cos ì i termini dell addizione 1 1/2 1/3+1/4 > 1/4+1/4 1/3+1/4 > 1/2 quindi si ha

21 21 1+1/2+ 1/3+1/2 2 > 1+1/2+ 1/4 +1/4 = 1+ 1/2 + 1/2 = 1 + 2/2 1+1/2+ 1/3+1/2 2 > 1+1/2+ 1/4 +1/4 = 1+ 1/2 + 1/2 = 1 + 2/2 1/5+1/6+1/7+1/2 3 > 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 1/2 1/5+1/6+1/7+1/2 3 > 1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 1/2 1+1/2+ … + 1/5+1/6+1/7+1/2 3 > 1+2/2+1/2 =1 +3/2 (con 8 cubi) 1+1/2+ … + 1/5+1/6+1/7+1/2 3 > 1+2/2+1/2 = 1 +3/2 (con 8 cubi) In generale 1+1/2+ 1/3+1/4+1/5+ … … + 1/2 n > 1 + n/2 Se n = 4 1+1/2+ 1/3+1/4+ … + 1/2 4 > 1 + 4/2 = 3 (con 16 cubi) 1+1/2+ 1/3+1/4+ … + 1/2 4 > 1 + 4/2 = 3 (con 16 cubi) Per superare laltezza di 3 m. occorre un numero n di cubi Per superare laltezza di 3 m. occorre un numero n di cubi con 8 < n < 16 1/2 basteranno 11?

22 22 Per rendere la piramide pi ù bella, l artista decide di verniciare, alternativamente, una faccia con vernice argentata Lo stra-va-gante dispone di vernice sufficiente per dipingere 3 m 2 BASTERA ? Dobbiamo valutare la somma: (1 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + 1/5 2 + … ) m 2. Osserviamo: 1/2 2 < 1 /(21) = 1/2 1/2 = 1 -1/2 1/2 2 < 1 /(21) = 1/2 1/2 = 1 -1/2 1/3 2 < 1 /(3 2) = 1/6 1/6 = 1/2-1/3 1/3 2 < 1 /(3 2) = 1/6 1/6 = 1/2-1/3 1/4 2 < 1 /(4 3) = 1/12 … … … … … 1/4 2 < 1 /(4 3) = 1/12 … … … … … 1/5 2 < 1 /(5 4) = 1/20 1/20 = 1/4 – 1/5 1/5 2 < 1 /(5 4) = 1/20 1/20 = 1/4 – 1/5 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + 1/5 2 < 1 + (1 – 1/2) + (1/2-1/3) +...... = 2- 1/5 In generale 1 + 1/2 2 +!/3 2 +...... + 1/n 2 < 2 – 1/n la superficie si mantiene sempre inferiore a 2 m 2

23 23 Maraschini – PalmaMaraschini – Palma multi FORMAT multi FORMAT moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore Castelnuovo – G. Giorgi - ValentiCastelnuovo – G. Giorgi - Valenti la MaTeMaTiCa nella realtà 1 e altro … … e altro … … tratte liberamente da…..

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