APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA DELLA RETTA

Presentazione sul tema: "APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA DELLA RETTA"— Transcript della presentazione:

1 APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA DELLA RETTA
Prima parte

2 RETTE PARTICOLARI Rette orizzontali: hanno equazione
In particolare: asse X delle ascisse y=0 Rette del semipiano inferiore: y=k con k<0 (III e IV quadrante) Rette del semipiano superiore: y=k con k>0 (I e II quadrante) Rette verticali: hanno equazione In particolare: asse Y delle ordinate x=0 Rette del semipiano di sinistra: x=k con k<0 (II e III quadrante) Rette del semipiano di destra: x=k con k>0 (I e IV quadrante)

3 LUNGHEZZA DI SEGMENTI PARTICOLARI
Segmento verticale di estremi Differenza, in valore assoluto, fra le coordinate che cambiano valore (le ordinate dei due estremi) Nella formula, poiché i valori assoluti di un argomento o del suo opposto sono uguali… è indifferente l’ordine! Segmento orizzontale di estremi Differenza, in valore assoluto, fra le coordinate che cambiano valore (le ascisse dei due estremi) Nella formula, poiché i valori assoluti di un argomento o del suo opposto sono uguali… è indifferente l’ordine!

4 RETTE OBLIQUE L’equazione contiene entrambe le variabili in essa:
m è il COEFFICIENTE ANGOLARE e controlla l’inclinazione della retta corrispondente (è definito dal rapporto dove A e B sono due qualunque punti della retta) q è il TERMINE NOTO e rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta corrispondente interseca l’asse delle ordinate (infatti la coppia di valori (0,q) soddisfa l’equazione data)

5 Se m<0 l’equazione rappresenta una retta DECRESCENTE
Se m=0 l’equazione rappresenta una retta orizzontale N.B. non è possibile descrivere rette verticali con questa equazione Se m<0 l’equazione rappresenta una retta DECRESCENTE che forma, con la direzione X positiva UN ANGOLO OTTUSO Se m>0 l’equazione rappresenta una retta CRESCENTE che forma, con la direzione X positiva UN ANGOLO ACUTO

6 CONDIZIONE DI APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA
Un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate ne soddisfano l’equazione, cioè se,sostituite rispettivamente l’ascissa alla variabile x e l’ordinata alla variabile y, danno luogo ad un’identità (uguaglianza sempre vera) Es: data la retta 2x-y=4 nel piano, il punto appartiene alla retta, infatti: è un’identità, mentre il punto non le appartiene, per analogo motivo

7 Trovare l’equazione di una retta passante per un P assegnato e di m assegnato
Si deve usare la formula: Ad es. punto P(-1,8) e m=-3  la retta ha equazione: y-8=-3(x+1) cioè: y=-3x+5 Punto T(0,-6) e m=5  la retta ha equazione: y+6=5(x-0) cioè: y=5x-6 Punto S(0,2) e m=0  la retta ha equazione: (y-2)=0(x-0) cioè: y=2

8 Se q=0 la retta passa per l’origine degli assi cartesiani
Condizione di parallelismo fra rette: due rette parallele distinte hanno lo stesso coefficiente angolare e diverso termine noto Due rette parallele coincidenti hanno lo stesso coefficiente angolare e lo stesso termine noto Condizione di perpendicolarità fra rette: due rette sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono antireciproci

9 FASCIO IMPROPRIO E’ UN INSIEME DI INFINITE RETTE PARALLELE FRA LORO
La caratteristica comune a tali rette è la DIREZIONE quindi il coefficiente angolare Non vi sono punti in comune fra ogni retta e le altre L’equazione è: dove è una costante

10 esempio Un fascio di rette crescenti:
di cui alcune rappresentate sotto si possono calcolare i valori di q osservando il grafico

11 FASCIO PROPRIO E’ UN INSIEME DI INFINITE RETTE AVENTI UN PUNTO (il centro del fascio) IN COMUNE La caratteristica comune a tali rette è tale punto, mentre varia la DIREZIONE quindi il coefficiente angolare L’equazione è: dove è una costante

12 esempio Un fascio di rette di centro C(-4,2):
di cui alcune rappresentate sotto si può notare come i valori di q dipendano da m, esplicitando y

13 Se si tiene l’equazione in forma implicita : ax+by+c=0 a,b,c numeri reali
Se è nullo il coefficiente di y: b=0 => si ottiene l’equazione di una retta verticale Se è nullo il coefficiente di x: a=0 => si ottiene l’equazione di una retta orizzontale Se è nullo solo il termine noto c=0 => si ottiene una retta passante per l’origine Se i tre coefficienti sono diversi da zero => si ottiene una generica retta obliqua non passante per l’origine N.B. quest’equazione descrive tutti i tipi di rette del piano, al variare del valore dei coefficienti a, b, c

14 Dato un sistema lineare di due equazioni in due incognite
Se allora le rette corrispondenti alle due equazioni del sistema sono incidenti (o secanti) e il sistema è DETERMINATO Se allora le rette corrispondenti alle due equazioni del sistema sono parallele distinte e il sistema è IMPOSSIBILE Se allora le rette corrispondenti alle due equazioni del sistema sono parallele COINCIDENTI (SOVRAPPOSTE) e il sistema è INDETERMINATO

15 sistema determinato: rette incidenti nel punto P

16 sistema impossibile: rette parallele distinte (nessun punto in comune)

17 sistema indeterminato: rette parallele sovrapposte (tutti i punti in comune)

18 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento AB le coordinate del punto medio M si trovano così: Se è noto l’estremo A e il punto medio M, è possibile determinare le coordinate dell’estremo incognito B con la formula: (naturalmente è analogo se l’estremo noto è B e quello incognito è A!)

19 ASSE DI UN SEGMENTO Per determinare l’asse di un segmento di cui siano noti gli estremi, è possibile procedere con la definizione. (vedi oltre: metodo 1) ASSE DI UN SEGMENTO è LA RETTA PERPENDICOLARE AL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO Oppure considerare l’asse come un luogo di punti. (vedi oltre: metodo 2) ASSE DI UN SEGMENTO è IL LUOGO DI TUTTI E SOLI I PUNTI EQUIDISTANTI DAGLI ESTREMI DEL SEGMENTO

20 Metodo 1: Usando la definizione
Si trova il punto medio M del segmento (vedi diapo n.18) Si trova la pendenza del segmento (attenzione: non interessa l’equazione completa del segmento, ma basta la sua inclinazione!) Si scrive l’equazione della retta perpendicolare (vedi diapo n.8) al segmento AB e passante per il suo punto medio M (retta per un punto assegnato e di coefficiente angolare noto, vedi diapo n.7)

21 esempio Trova l’asse della segmento di estremi A=(-2,3) e B=(4,-6)
Punto medio di AB: M=((-2+4)*1/2;(3-6)*(1/2))=(1;-3/2)

22 Pendenza di AB: vedi diapo n.4
m=(-6-3)/(4+2)=-9/6=-3/2 (infatti è decrescente; si può controllare contando i quadretti!!) Pendenza m della retta perpendicolare (m antireciproco, vedi diapo n. 8) m asse=2/3 Formula della retta per un punto e di m dato: y-(-3/2))=2/3(x-1) e cioè: y=2/3x-13/6 che è l’equazione dell’asse di AB

23 Disegno

24 Metodo 2: Usando la definizione
Si utilizza il fatto che, se P(x,y) è un generico punto dell’asse di AB, allora la distanza PA è uguale alla distanza PB. È questo è vero anche per i loro quadrati:

25 Si scrive la distanza punto-punto fra P(x,y) e A, al quadrato
Si scrive la distanza punto-punto fra P(x,y) e B, al quadrato Si eseguono i calcoli che permettono di eliminare “i quadrati” delle variabili Si ottiene l’equazione di una retta che rappresenta l’asse del segmento AB

26 esempio Distanza al quadrato fra P e A:
Trova l’asse della segmento di estremi A=(-2,3) e B=(4,-6) Distanza al quadrato fra P e A: Distanza al quadrato fra P e B: Eguagliando le distanze e sviluppando i quadrati: semplificando si trova: y=2/3x-13/6 che è l’equazione dell’asse di AB

27 BISETTRICE DI UN ANGOLO
Sapendo che la bisettrice di un angolo è il luogo di tutti e soli i punti equidistanti dai lati dell’angolo (dimostrare per esercizio!!) se sono note le equazioni delle rette lati di tale angolo, è possibile, mediante la formula della distanza punto- retta, scrivere l’equazione per trovare la bisettrice; Il punto è il generico punto P(x,y) della bisettrice e le rette da cui si calcola la distanza sono, appunto, i lati. È utile ricordare che Il modo in cui “si tolgono” i simboli di valore assoluto, è strettamente legato a quale delle due bisettrici si deve trovare: infatti, poiché due rette incidenti formano 4 angoli (opposti al vertice ed uguali a coppie fra loro), le bisettrici sono due!