TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Presentazione sul tema: "TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE"— Transcript della presentazione:

1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
ISOMETRIE Progetto Scuole Aperte Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

2 Le Trasformazioni del piano
Un nuovo modo di studiare la geometria Una geometria più vicina alla nostra realtà Tutto si muove e si trasforma Quali sono le proprietà delle figure che si conservano? Quali quelle che variano? S C O P R I A M O L O!!! Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

3 Proprietà delle figure
Continuità Convessità Parallelismo Forma misura Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

4 Definiamo la trasformazione
Si chiama trasformazione geometrica una relazione tra i punti di uno stesso piano che associa ad un elemento della prima figura, uno ed uno solo, elemento della seconda figura, che prende il nome di trasformato (immagine) Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

5 Classifichiamo le trasformazioni
Le trasformazioni vengono classificate in base alle proprietà della figura che restano invariate (invarianti) dopo la trasformazione stessa, esse sono: Trasformazioni isometriche (invarianti tutte le proprietà) Trasformazioni simili (continuità, convessità parallelismo e forma) Trasformazioni affini (continuità, convessità e parallelismo) Trasformazioni proiettive (continuità e convessità) Trasformazioni topologiche (continuità) Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

6 Simmetria Centrale e Identità
Topologie Trasformazioni geometriche Affinità Similitudini Isometrie Omotetie Simmetria Centrale e Identità Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

7 Isometrie piane Tra le principali trasformazioni geometriche del piano reale si annoverano le isometrie, cioè le particolari trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra punti. Le isometrie del piano si possono classificare in: traslazioni, rotazioni, simmetrie centrali, simmetrie assiali. Trasformazioni piane non isometriche Tra le molte trasformazioni geometriche del piano che non mantengono necessariamente le distanze, si ricordano, in particolare, l’omotetia e la similitudine nel piano, trasformazioni del piano che conservano i rapporti tra le distanze, e l’affinità, trasformazione geometrica che conserva il parallelismo di rette e congruenza tra segmenti. Dalle definizioni date segue che le isometrie sono particolari similitudini e che queste sono particolari affinità. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

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9 Isometrie le simmetrie centrali e assiali, le traslazioni,
Si dice ISOMETRIA una trasformazione geometrica che conserva le distanze ovvero, dati due punti A, B l'isometria fa corrispondere ad essi due punti A' e B' tali che: AB = A'B' Pertanto le figure trasformate risultano congruenti a quelle date e sono: le simmetrie centrali e assiali, le traslazioni, le rotazioni. è una trasformazione geometrica che conserva inalterate tutte le misure, sia lineari sia angolari. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

10 SIMMETRIA CENTRALE ISOMETRIE
Una simmetria centrale è una trasformazione che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato detto centro di simmetria. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

11 Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto O ( centro di simmetria ) quando questo e' punto medio del segmento che li unisce.  B O A Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

12 INVARIANTI DELLA SIMMETRIA CENTRALE
L’allineamento dei punti L’incidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli Direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela) Orientamento delle figure ALTRE PROPRIETA’ DELLA SIMMETRIA CENTRALE L’unico punto unito è O centro di simmetria Ogni retta passante per O è unita (ma non luogo di punti uniti) Ogni simmetria centrale è involutoria A ogni semiretta di origine O (centro di simmetria) corrisponde la sua opposta Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

13 Ecco alcuni esempi di figure simmetriche rispetto ad un loro punto:
Una figura e' simmetrica rispetto ad un centro se ogni suo punto ammette un simmetrico nella figura. Ecco alcuni esempi di figure simmetriche rispetto ad un loro punto: A B A O B1 A1 A1 Il centro di simmetria è il punto d'intersezione delle loro diagonali.   Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

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15 Esempi di simmetria centrale in arte
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16 Notre Dame- Paris Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

17 Lo splendido rosone del Duomo di Orvieto, realizzato dal fiorentino Andrea di Cione detto l'Orcagna.
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18 ISOMETRIE SIMMETRIE ASSIALI Una riflessione o simmetria assiale è una trasformazione che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

19 le simmetrie assiali (o ribaltamento)
Fissata una retta r nel piano, la simmetria assiale è una isometria del piano in se stesso che associa ad ogni punto A il punto A’, simmetrico di A rispetto a r. La retta r si chiama asse di simmetria. r r Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

20 INVARIANTI ALTRE PROPRIETA’ F F‘ L’allineamento dei punti.
L ’ incidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti L’ampiezza degli angoli F F‘ r ALTRE PROPRIETA’ L’asse è una retta unita formata da punti uniti Tutte e sole le rette perpendicolari all’asse sono unite (ma non luoghi di punti uniti) Ogni simmetria assiale è involutoria Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

21 ESEMPIO 180° D A A1 D1 B C1 B1 C Asse di simmetria
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22 Esempi di figure geometriche che ammettono assi di simmetria:
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23 Esempi di simmetria assiale nella natura
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26 Esempi di simmetria assiale nell’arte
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28 ISOMETRIE TRASLAZIONI Una traslazione è una trasformazione dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione mediante un vettore di traslazione. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

29 le traslazioni (Traslare significa ‘spostare, portare oltre, dal latino “trans-ferre”) Si definisce traslazione di vettore v , una isometria del piano in se stesso che associa ad ogni punto P del piano il punto P’ tale che abbia la stessa direzione, lo stesso verso lo stesso modulo di . P1 P v Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

30 INVARIANTI nella TRASLAZIONE
L’allineamento dei punti L’incidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli Direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela) Orientamento delle figure D1 C1 A1 B1 C D V ALTRE PROPRIETA’ della TRASLAZIONE In una traslazione non esistono punti uniti Ogni retta parallela a V è unita A B per verificare che due figure si corrispondono in una traslazione, basta controllare che i segmenti che uniscono due punti corrispondenti sono paralleli e congruenti. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

31 Esempi di traslazione in arte
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34 ISOMETRIE ROTAZIONI Una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto. I punti che restano fissi nella trasformazione si chiamano centro o asse della rotazione. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

35 le rotazioni INVARIANTI ALTRE PROPRIETA’ L’allineamento dei punti
L’incidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli Orientamento delle figure ALTRE PROPRIETA’ L’unico punto unito è il centro O di rotazione. Tutte e sole le rette passanti per O sono unite per verificare che due figure si corrispondono in una rotazione, basta controllare che ogni coppia di punti corrispondenti è equidistante dal centro di rotazione O, che si determina come intersezione degli assi di due segmenti che hanno per estremi due coppie qualsiasi di punti che si corrispondono. Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

36 P O Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

37 P1 P O Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

38 P2 P1 P O Prof.ssa Montella Rita - Modulo di Matematica -

39 Esempi di rotazione in arte
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