Hashing.

Presentazione sul tema: "Hashing."— Transcript della presentazione:

1 Hashing

2 argomenti Hashing Funzioni hash per file Tabelle hash
Funzioni hash e metodi per generarle Inserimento e risoluzione delle collisioni Eliminazione Funzioni hash per file Hashing estendibile Hashing lineare Hashing

3 Richiamo sul concetto di dizionario
Insieme di coppie del tipo <elemento, chiave> Le chiavi appartengono a un insieme totalmente ordinato Operazioni: insert(el, key) delete(key) search(key) Hashing

4 Tabelle hash Adatte per realizzare dizionari
Generalizzazione del concetto di array Importanti nell’accesso a dati su memoria secondaria Gli accessi avvengono a memoria secondaria Costo degli accessi predominante Indirizzamento diretto: si associa ad ogni valore della chiave un indice di un array – ricerca in tempo O(1) Problemi? Hashing

5 Indirizzamento diretto
Ogni possibile chiave corrisponde a el. diverso dell’array Può portare a spreco di memoria Es.: studenti e matr.= No. decimale a 5 cifre 1 No. chiavi N-1 Hashing

6 Obiettivi N ~ No. Chiavi effettivamente usate Tempo di ricerca O(1)
N ~ No. Chiavi effettivamente usate Tempo di ricerca O(1) D.: possibile? Nota: No. Chiavi possibili può essere >> N 1 No. chiavi N-1 Hashing

7 Tabella hash Dato l’insieme base di un dizionario: <T, h>
T è una tabella con N celle h: K  {0,...,N-1} K insieme delle possibili chiavi {0,...,N-1} insieme delle posizioni nella tabella, dette pseudochiavi Hashing

8 Funzioni hash perfette e collisioni
Funzione hash perfetta: k1!=k2  h(k1) != h(k2) Richiede N >= |K| Raramente ragionevole in pratica In generale N < |K| (spesso N << |K|) Conseguenza: k1!=k2 ma h(k1) == h(k2) è possibile  Collisione Paradosso del Compleanno Es.: proporre una funzione hash perfetta nel caso in cui le chiavi siano stringhe di lunghezza 3 sull’alfabeto {a, b, c} Hashing

9 Requisiti di una funzione hash
Uniformità semplice: Pr[h(k)=j] ~ 1/|K| La probabilità è calcolata rispetto alla distribuzione delle chiavi Intuitivamente, si desidera che gli elementi si distribuiscano nell’array in modo uniforme Difficile costruire funzioni che soddisfino la proprietà D.: perché? Hashing

10 Requisiti di una funzione hash/2
Esempio: sia |T|=5 e h(k)=k mod 5 {1, 7, 10, 14} {1, 6, 11, 16} 1 2 3 4 1 2 3 4 Non è nota la distribuzione delle chiavi Può aversi agglomerazione degli elementi In pratica: si cerca di avere indipendenza dai dati Hashing

11 Paradosso del compleanno
scelti 23 individui a caso, la probabilità che due di essi abbiano lo stesso compleanno è > ½ (50.7%) dimostrare! in termini di hashing, anche ipotizzando di avere le pseudochiavi a distribuzione uniforme, dopo 22 inserimenti in una tabella di 365 celle, ogni ulteriore inserimento avrà probabilità superiore a ½ di generare una collisione Hashing

12 Interpretazione delle chiavi
Tra gli elementi di K è definito un ordinamento totale ma: Le chiavi non sono necessariamente numeri naturali Es.: stringhe Soluzione: associare a ciascuna chiave un intero Modalità dipendono da insieme delle chiavi e applicazione Hashing

13 Esempio: stringhe Possibile metodo: associare a ciascun carattere il valore ASCII e alla stringa il numero intero ottenuto in una base scelta Esempio: base 2, posizioni meno significative a destra Stringa = “pt”  pseudochiave = 112*21+116*20=340 Ascii(‘p’)=112 Ascii(‘t’)=116 Hashing

14 Derivazione di funzioni hash
Molti metodi Divisione Ripiegamento Mid-square Estrazione Obiettivo: distribuzione possibilmente uniforme Differenze: Complessità Fenomeni di agglomerazione Hashing

15 Divisione h(k)=k mod |T| - Bassa complessità
Attenzione ai fenomeni di agglomerazione No potenze di 2: se m=2p allora tutte le chiavi con i p bit meno significativi uguali collidono No potenze di 10 se le chiavi sono numeri decimali (motivo simile) In generale, la funzione dovrebbe dipendere da tutte le cifre della chiave (comunque rappresentata) Scelta buona in pratica: numero primo non troppo vicino a una potenza di 2 (esempio: h(k)=k mod 701 per |K|=2048 valori possibili) Hashing

16 Ripiegamento Chiave k suddivisa in parti k1,k2,....,kn
h(k)=f(k1,k2,....,kn) Esempio: la chiave è un No. di carta di credito. Possibile funzione hash:  {477, 264, 537, 348} 2. f(477,264,537,348) = ( )mod 701 = 224 Hashing

17 Estrazione Si usa soltanto una parte della chiave per calcolare l’indirizzo Esempio: 6 cifre centrali del numero di carta di credito  Il numero ottenuto può essere ulteriormente manipolato L’indirizzo può dipendere da una porzione della chiave Hashing

18 Risoluzione delle collisioni
I metodi si distinguono per la collocazione degli elementi che danno luogo alla collisione Concatenazione: alla i-esima posizione della tabella è associata la lista degli elementi tali che h(k)=i Indirizzamento aperto: tutti gli elementi sono contenuti nella tabella Hashing

19 Concatenazione h(k1)= h(k4)=0 h(k5)= h(k7)=h(k2)=4 1 2 3 4
1 2 3 4 k1 k4 k2 k5 k7 k2 Es.: h(k)=k mod 5 k1=0, k4=10 k5=9, k7=14, k2=4 Hashing

20 Concatenazione/2 insert(el, k): inserimento in testa alla lista associata alla posizione h(k) – costo O(1) search(k): ricerca lineare nella lista associata alla posizione h(k) – costo O(lungh. lista associata a h(k)) delete(k): ricerca nella lista associata a h(k), quindi cancellazione – costo O(lungh. lista associata a h(k)) Hashing

21 Indirizzamento aperto
Tutti gli elementi sono memorizzati nella tabella Le collisioni vanno risolte all’interno della tabella Se la posizione calcolata è già occupata occorre cercarne una libera I diversi metodi ad indirizzamento diretto si distinguono per il metodo di scansione adottato La funzione hash può dipendere anche dal numero di tentativi effettuati Indirizzo=h(k, i) per l’i-esimo tentativo Hashing

22 Inserimento insert (el, k) { /* T denota la tabella */ i=0;
while (h(k, i) <occupata> && (i<|T|)) i++; if (i < |T|) <inserisci el in pos. i> else <overflow> } Hashing

23 Ricerca search (k) { /* T denota la tabella */ i=0;
while ((k!=key(T[h(k, i)])) && (i<|T|)) i++; if (i < |T|) <restituisci T[h(k, i)]> else <elemento assente> } Hashing

24 Cancellazione delete (k) { /* T denota la tabella */ search(k);
if (<trovato>) <elimina elemento con chiave k> } Hashing

25 Scansione La funzione h(k, i) deve essere tale che tutte le posizioni della tabella siano esaminate Sono possibili diverse forme per la funzione h(k,i) Scansione lineare Scansione quadratica Hashing doppio Si differenziano per complessità e comportamento rispetto a fenomeni di agglomerazione Hashing

26 Scansione lineare h(k, i) = (h’(k)+i) mod |T|, dove h’(k) è una funzione di hashing Si scandiscono tutte le posizioni nella sequenza T[h’(k)], T[h’(k)]+1, .... T[|T|], 0, 1, ...., T[h’(k)]-1 Possibilità di agglomerazione primaria: gli elementi si agglomerano per lunghi tratti agglomerazione primaria = due sequenze di scansione che hanno una collisione rimangono collidenti Hashing

27 Agglomerazione primaria
h(k, i) = (h’(k)+i) mod 101, h’(k)=k mod 101 1 2 {2, 103, 104, 105,....} Caso estremo, ma il problema esiste 100 Hashing

28 Scansione quadratica h(k, i) = (h’(k)+c1i+c2i2) mod |T|, dove h’(k) è una funzione di hashing, c1 e c2 sono costanti es. indirizzi scanditi: h’(k), h’(k)+1, h’(k)+2,h’(k)+3… Es.: h(k, i) = h’(k)+i2, h(k, i+1) = h’(k)+(i+1)2, i=1,..., (|T|-1)/2 Possibilità di agglomerazione secondaria: se h’(k1)= h’(k2)  h’(k1,i)= h’(k2,i) Descrivere h(k, i) quando h’(k)=k mod |5| Hashing

29 Hashing doppio h(k, i) = (h1(k)+ih2(k)) mod |T|, dove h1(k) e h2(k) sono funzioni di hashing Anche la modalità di scansione dipende dalla chiave L’hashing doppio riduce i fenomeni di agglomerazione secondaria esente da quelli di agglomerazione primaria Hashing

30 Hashing estendibile E’ usato nella gestione di file, la cui dimensione può variare. Es.: file ad accesso diretto Il file è organizzato in bucket, ciascuno dei quali ha una dimensione fissa Gli indirizzi sono associati ai bucket La funzione hash restituisce in questo caso un puntatore al bucket Hashing

31 Hashing estendibile/2 File h(k) restituisce una stringa binaria b
I bit più significativi di b sono usati per determinare l’indirizzo del bucket 2 Lungh. locale Bucket 00 Lungh. globale h(k)=11001 2 2 Bucket 01 00 01 10 1 Bucket 1 11 Indice Hashing

32 Esempio File File Dim. Bucket = 4 01100 00001 h(k)=00101 00101 00001
2 Bucket 0 Bucket 00 01100 00001 00001 00101 h(k)=00101 1 2 2 00 Bucket 01 1 01 01100 1 10 Indice Bucket 1 10010 11 Indice 1 10010 Bucket 1 Dim. Bucket = 4 Hashing

33 H. estendibile - Inserimento
extHashInsert (el, k) { /* L=lunghezza globale */ str=h(k); /* LS= lunghezza str */ p=indice[pattern[LS-1...LS-L]]; if (<Bucket puntato da p non pieno) <inserisci el> else { <suddividi bucket> /* l=lunghezza locale bucket*/ l++; } if (l > L) <Raddoppia indice> L++; Hashing