Grafi.

Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie G=(V,E), |V|=n, |E|=m V: insieme di Vertici o Nodi E={{vi, vj}: vi, vj V} : insieme di Spigoli {vi, vj} = {vj, vi} Grafo semplice o non orientato E={(vi, vj): vi, vj  V} : insieme di Archi (vi, vj)  (vj, vi) Grafo diretto o orientato spesso i termini spigolo ed arco vengono usati come sinonimi giugno 2002 ASD - Grafi

Esempi Relazioni di parentela Relazioni tra classi nei linguaggi OO
Alberi genealogici Relazioni tra classi nei linguaggi OO Grafo del Web Assetti societari Reti di trasporto giugno 2002 ASD - Grafi

Definizioni/2 Multigrafo: E è un multinsieme
Pseudografo: E contiene anche coppie (vi, vi)  cappi Circuito in un grafo: v1, v2,….., vk: (vi, vi+1)  E, v1= vk (senza archi ripetuti) Ciclo in un grafo: Circuito con vi  vj, per i  j Grafo pesato: valore reale wk associato ad ogni arco ek giugno 2002 ASD - Grafi

Definizioni/3 Kn: Grafo semplice in cui sono presenti tutti gli archi.
numero di archi in Kn : G’=(V’,E’) sottografo di G=(V,E) se e solo se V’V ed E’  E grado(v): # di archi incidenti in v (vi, vj)  E: vi adiacente a vj giugno 2002 ASD - Grafi

Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4; (e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato giugno 2002 ASD - Grafi

Rappresentazioni Lista di adiacenza: ogni vertice è associato con la lista dei vertici adiacenti. Lista di adiacenza può essere una tabella o una lista concatenata Matrice di adiacenza: aih=1 se (vi, vh)  E, aih=0 altrimenti Matrice di Incidenza: aih=1 se vi  eh, aih=0 altrimenti giugno 2002 ASD - Grafi

Rappresentazioni di grafi
Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato con una lista di adiacenze (b-c), giugno 2002 ASD - Grafi

Rappresentazioni di grafi
Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice di adiacenze (d) e come una matrice d’incidenza (e) giugno 2002 ASD - Grafi

Vantaggi e Svantaggi Lista di adiacenza: memoria O(m)
Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(grado(v)) Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste concatenate in O(grado(v)) Matrice di adiacenza: memoria O(n2) Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1) Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(n) D.: matrice di incidenza ? giugno 2002 ASD - Grafi

Visita di un Grafo Obiettivo: visitare una sola volta tutti i nodi del grafo. Es.: visitare un porzione del grafo del Web Difficoltà: Presenza di cicli: marcare i nodi visitati Presenza di nodi isolati: la visita termina quando sono state considerate tutte le componenti isolate del grafo giugno 2002 ASD - Grafi

Visita in profondità - DFS
La visita procede da tutti gli archi uscenti da un nodo. Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati allora si torna al nodo “predecessore”. Una volta tornati al nodo di partenza si prosegue da un nodo qualsiasi non visitato. I nodi vengono rinumerati secondo l’ordine di visita. giugno 2002 ASD - Grafi

Esempio di applicazione dell’algoritmo depthFirstSearch ad un grafo
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L’algoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato

Implementazione della DFS/1
I nodi sono inizialmente marcati con 0, i=1. Assumi la visita sia arrivata ad un nodo v. La visita prosegue da un nodo u adiacente a v se marcato 0. Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile torna al nodo da cui si è raggiunto v oppure termina se v è il nodo iniziale. Ogni volta che un nodo mai visitato è raggiunto, questo viene marcato con i++ Viene marcato sia l’nizio che la fine della visita di un nodo v, risp. num(v) e fin(v) giugno 2002 ASD - Grafi

depthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v)=fin(v)=0; // Vedi slide succ. edges = null; i=j=1; // per aggiornare num(v) e fin(v) while (<esiste v tale che num(v)==0>)//main loop DFS(v); <visualizza edges> } giugno 2002 ASD - Grafi

DFS(v) { num(v)=i++; //prima visita di v for (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) { <inserisci lato (v,u) in edges> DFS(u); } fin(v)=j++; // ultima visita di v giugno 2002 ASD - Grafi

implementazione della DFS/4
l’implementazione iterativa della DFS utilizza una pila per memorizzare gli archi uscenti da un nodo visitato ad ogni passo si estrae l’arco sulla cima della pila la visita prosegue dal nodo adiacente se marcato 0 giugno 2002 ASD - Grafi

Proprietà della DFS l’algoritmo DFS visita l’intera componente del grafo raggiungibile dal nodo di partenza se collezioniamo gli archi (edges) che portano alla scoperta di nuovi nodi, otteniamo una collezione di alberi che coprono l’intero grafo dipende dal fatto che un arco viene seguito solo se il nodo adiacente non è mai stato raggiunto. gli archi seguiti connettono un nodo con marca inferiore ad un nodo con marca superiore (forward edges) gli archi che non vengono seguiti al contrario connettono nodi con marca superiore a nodi con marca inferiore (back edges) giugno 2002 ASD - Grafi

Complessità della DFS O(n) per inizializzare marcatura dei nodi
Test degli archi uscenti da un nodo v: O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di adiacenza. O(n) nella rappresentazione con matrice di adiacenza. Ogni arco viene testato al più due volte, una volta per ogni estremo Complessivamente O(n + m), O(n2) (grafo denso) giugno 2002 ASD - Grafi

Visita in ampiezza - BFS
La visita in ampiezza fa uso di una coda per memorizzare tutti gli archi incidenti nel nodo v visitato che portano ad un nodo marcato 0 I nodi raggiungibili marcati 0 vengono quindi marcati La visita procede dall’arco (v,u) in testa alla coda giugno 2002 ASD - Grafi

implementazione della BFS
breadthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v)=0; edges = null; i = 1; while (<esiste v tale che num(v)==0>) { num(v) = i++; enqueue(v); while (<la coda non è vuota>) { v = dequeue(); giugno 2002 ASD - Grafi

implementazione della BFS/2
for(<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) { num(u) = i++; enqueue(u); <inserisci arco (v,u) in edges> } <visualizza edges> giugno 2002 ASD - Grafi

Un esempio di applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo

Applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato

Ordinamento Topologico/1
Grafi diretti aciclici (DAG) possono rappresentare ordinamenti parziali. Ordinamento parziale: Ogni elemento i è rappresentato da un nodo vi i<j sse esiste un cammino diretto da vi a vj. Se esiste un ciclo non è possibile rappresentare un ordine parziale. Perché? giugno 2002 ASD - Grafi

Ordinamento parziale Possono esistere coppie tra le quali non è definito alcun ordine Es.: classi sorelle in linuaggi OO Modellano molte situazioni di interesse pratico Ereditarietà tra classi Java Vincoli di precedenza in progetti complessi giugno 2002 ASD - Grafi

Determinare un ordinamento dei vertici vp(1), vp(2),….., vp(n) tale che se esiste un cammino da vp(i) a vp(j) allora p(i)>p(j). L’ordinamento topologico secondo la relazione < è ottenuto considerando la sequenza in ordine inverso Per determinare l’ordinamento topologico occorre che ogni nodo nell’ordine sia seguito da tutti i suoi predecessori. Un vertice pozzo è un vertice che non ha archi uscenti. In un DAG esiste sempre tale vertice. Perché? giugno 2002 ASD - Grafi

TopologicalSort() { for i = 1 to n { <trova un vertice pozzo v> num(v)=i; <elimina dal DAG tutti gli archi incidenti in v> } giugno 2002 ASD - Grafi

Ordinamento topologico: g,e,b,f,d,c,a

In pratica un ordinamento topologico si ottiene se nella sequenza ogni nodo è seguito dai suoi predecessori. Si esegue una DFS e si ordinano i vertici secondo il valore fin(v). Il valore fin(v) è inferiore a quello dei suoi predecessori. L’ordinamento topologico si ottiene dalla sequenza ordinata secondo fin(v) scandita in ordine inverso. Come si dimostra? giugno 2002 ASD - Grafi

TS(v) num(v)=i++; per tutti i vertici u adiacenti a v if (num(u) == 0) TS(u); else if (fin(u)==0) errore; // identificato un ciclo /* dopo avere esaminato tutti i predecessori, assegna a v un numero maggiore di quelli assegnati a qualsiasi predecessore */ fin(v) = j++; giugno 2002 ASD - Grafi

topologicalSorting(digraph) per tutti i vertici v num(v)= fin(v) = 0; i = j = 1; while (esiste v tale che num(v) == 0) TS (v); Visualizza vertici in ordine inverso secondo fin(v); giugno 2002 ASD - Grafi

Connettività in Grafi diretti
Due nodi u,v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v. Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v e da v ad u. Un grafo è debolmente connesso se ogni coppia di nodi è connessa da un cammino quando gli archi orientati si sostituiscono con gli archi non orientati. giugno 2002 ASD - Grafi

Componenti fortemente connesse - SCC/1
Un grafo diretto può essere decomposto in componenti fortemente connesse, V1 , V2 ,… , Vk, tale che u connesso a v e v connesso ad u Vj è un insieme massimale GT=(V, ET) ET : giugno 2002 ASD - Grafi

SCC / 2 Strongly ConnectedComponent(G) Esegui DFS(G) per calcolare fin(v) per ogni vertice v; Calcola GT ; Calcola DFS(GT) considerando i nodi nel Main Loop in ordine decrescente di fin(v) ; Output ogni albero di DFS(GT ) come una componente fortemente connessa separata Complessità: O(m+nlog n). DFS più ordinamento in ordine decrescente rispetto a fin. giugno 2002 ASD - Grafi

Radici Alberi DFS: b, c, g, h
GT a b c d a b c d 8/6 6/8 1/5 5/4 2 1 4 5 e f g h e f g h 7/7 3/1 2/3 4/2 3 7 6 8 num/fin num Radici Alberi DFS: b, c, g, h SCC: {a,b,e} {c,d} {f,g} {h} Esempio di esecuzione dell’algoritmo per SCC giugno 2002 ASD - Grafi

Il Problema dei Cammini Minimi
G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi d(u,v), (u,v) E: peso sull’arco (u,v) Cammino dal nodo s al nodo t: v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E, v1= s, vk=t Lunghezza del cammino: Il cammino di lunghezza minima non contiene cicli ……se le distanze sugli archi sono positive. Come si dimostra? giugno 2002 ASD - Grafi

Il problema dei Cammini Minimi/2
Determinare il cammino di lunghezza minima dal nodo s al nodo t dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP) tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP) Numerose applicazioni: reti stradali, reti di comunicazione, scheduling di progetti, progetto di circuiti,…. giugno 2002 ASD - Grafi

Single Source Shortest Paths/1
Consideriamo un grafo pesato con pesi non negativi. Determinare il cammino minimo da un nodo s a tutti i nodi V del grafo Ogni sottocammino di un cammino minimo è esso stesso un cammino minimo. Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v i,…,j è un cammino minimo da i a j. Come si dimostra? giugno 2002 ASD - Grafi

Single Source Shortest Paths/2
La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi V può essere sempre posta nella forma di un albero. Come si dimostra? Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante delle etichette sui nodi. Etichette rappresentano delle approssimazioni delle distanze dalla sorgente. Vi sono algoritmi che ad ogni passo fissano alcune etichette ai loro valori finali, ex Dijkstra. Altri algoritmi, ex: Bellmann & Ford, possono modificare tutte le etichette lungo l’intera esecuzione dell’algoritmo. giugno 2002 ASD - Grafi

Dijkstra/1 Due insiemi di nodi Q ed R. Inizialmente Q= {}, R={1,..,n}
Ad ogni passo estrai il nodo v in R con min dist(v) ed inserisci v in Q Per ogni u adiacente a v aggiorna la distanza da s ad u attraverso nodi in Q: giugno 2002 ASD - Grafi

Un’esecuzione di DijkstraAlgorithm

Dijkstra/2 Ad ogni passo si determina la distanza minima di un nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q. Dijkstra termina in n passi. Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in R con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap per la coda di priorità. Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed eventualmente aggiornare la priorità. Complessivamente O(m log n) Complessità di Dijkstra O((n + m )log n). giugno 2002 ASD - Grafi

Dijkstra/3 Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza minima d(v) da s a v quando v è incluso in Q. Per assurdo, considera il primo nodo v inserito in Q per cui dist(v) > d(v) Esiste un cammino da s a v alternativo più breve che contiene almeno un nodo in R. Sia v’ il primo nodo in R sul cammino da s a v. v’ è connesso ad s con un cammino formato di soli nodi in Q, con dist(v’) < dist(v). Una contraddizione poiché v’ sarebbe stato selezionato in luogo di v. giugno 2002 ASD - Grafi

Dijkstra/4 DijkstraAlg(grafo digraph, vertice source)
for tutti i vertici v dist(v)= ; dist(source)=0; R = tutti i vertici; while (R!=0) v = vertice in R con minimo dist(v); for tutti i vertici u in R adiacenti a v if dist(u) > dist(v) + d(v,u) dist(u) = dist(v) + d(v,u); pred(u) = v; giugno 2002 ASD - Grafi

Dijkstra/5 La collezione dei pred(u) forma l’albero dei cammini minimi con sorgente s. Si può risolvere il problema APSP eseguento n volte Dijkstra a partire da n sorgenti. Complessità:O(n (m +n) log n). giugno 2002 ASD - Grafi

Minimo Albero Ricoprente – MST
Si desidera selezionare un sottografo di un grafo che mantenga la connettività tra tutti i nodi al minore costo possibile. Ex: selezionare un sottoinsieme di tratte aeree che permettono di raggiungere tutte le destinazioni con costo minimo. Assumiamo un grafo semplice e pesi non negativi d(u,v) sugli archi. La rete ottima è un albero. Perché? giugno 2002 ASD - Grafi

A Graph and its MST 8 7 b c d 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 2 10 1 h g f

MST / 2 Strategie Greedy: procedi attraverso una sequenza di scelte ottime locali. in generale portano alla soluzione ottima solo in casi particolari. Per il MST, consideriamo algoritmi che mantengono la seguente proprietà: P1. Ad ogni passo l’insieme degli archi selezionati è un sottoinsieme del MST finale. Ad ogni passo un nuovo arco viene aggiunto alla soluzione mantenendo P1 giugno 2002 ASD - Grafi

MST / 3 Definiamo un arco “safe” se può essere aggiunto ad un MST mantenendo P1 Il generico algoritmo Greedy: Algorithm_MST(G,d) A={} while A non è uno Spanning Tree trova un arco (u,v) safe per A; Inserisci (u,v) in A; return A Diversi algoritmi differiscono per la strategia di ricerca di un arco safe. Questo algoritmo ha n-1 iterazioni giugno 2002 ASD - Grafi

archi “safe” un taglio (S, V\S) è una partizione dei vertici negli insiemi S e V\S un arco (u,v) attraversa il taglio se uS e v V\S (o viceversa) un taglio rispetta un insieme di archi A se nessun arco di A attraversa il taglio l’arco (u,v) di peso minimo che attraversa il taglio è safe per A è ok un qualsiasi taglio che rispetti A dimostrazione? giugno 2002 ASD - Grafi

Algoritmo di Boruvka L’insieme A forma un insieme di componenti connesse Safe: Determina l’arco di costo minimo che connette due componenti connesse in A. I pesi degli archi vengono memorizzati in una coda di priorità. Ad ogni passo si estrae il minimo e si eliminano anche tutti gli archi tra due componenti che vengono unite. Complessità? giugno 2002 ASD - Grafi

Esecuzione dell’Algoritmo di Boruvka
8 7 b c d Esecuzione dell’Algoritmo di Boruvka 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 1 2 10 h g f La numerazione indica l’ordine di selezione degli archi del MST 7 6 b c d 9 4 3 5 a i e 2 1 h g f giugno 2002 ASD - Grafi

Algoritmo di Kruskal Ordina gli archi secondo peso crescente
Safe: Determina l’arco di peso minimo che non determina cicli in A. Complessità: Ordinamento degli archi in O(m log m). Verifica m volte se si ha un ciclo. Determinare l’esistenza di un ciclo può essere svolto in O(log n) In totale O(m log m) = O(m log n) L’esecuzione è identica all’algoritmo di Boruvska giugno 2002 ASD - Grafi

Algoritmo di Prim / 1 L’insieme A forma ad ogni passo una singola componente connessa Inizialmente A contiene {u,v} tale che (u,v) è l’arco di costo minimo. Ad ogni passo si inserisce in A l’arco di costo minimo che attraversa il taglio indotto da A. giugno 2002 ASD - Grafi

Algoritmo di Prim /2 L’implementazione di Prim è simile a Dijkstra con Q=A. Un Heap R memorizza il peso minimo di un arco che connette un nodo di R ad un nodo di A. Ad ogni passo un nodo v di minima priorità è inserito in A (e rimosso dall’Heap R) Per tutti i nodi u in R adiacenti a v si aggiorna la priorità di u se d(v,u) è minore della priorità corrente di u. Complessità: O(m log n) per l’aggiornamento della priorità che può essere svolto m volte. giugno 2002 ASD - Grafi

Algoritmo di Prim / 3 PrimAlg(grafo graph, vertice s) A = {s};
R = tutti i vertici/s; for tutti i vertici v rank(v)=min{d(s,v), }; while R!=0 estrai vertice v in R con minimo rank(v)=d(r,v) ; A = A v; pred(u) = v; for tutti i vertici u in R adiacenti ad v if rank(u)>d(v,u) rank(u) = d(v,u); giugno 2002 ASD - Grafi

Esecuzione dell’Algoritmo di Prim
8 7 Esecuzione dell’Algoritmo di Prim b c d 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 1 2 10 h g f La numerazione indica l’ordine di selezione degli archi del MST 6 5 b c d 8 7 4 3 a i e 2 1 h g f giugno 2002 ASD - Grafi

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