QUALCHE LUCIDO DI RIPASSO… 1. Esperimento casuale ( e. aleatorio) risultato Esperimento condotto sotto leffetto del caso: non è possibile prevederne il.

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1 QUALCHE LUCIDO DI RIPASSO… 1

2 Esperimento casuale ( e. aleatorio) risultato Esperimento condotto sotto leffetto del caso: non è possibile prevederne il risultato a priori, ossia prima di effettuare lesperimento. i possibili esiti Di un esperimento casuale è possibile solo elencare a priori i possibili esiti. Evento elementare Ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale 2

3 Spazio campionario Ω Linsieme di tutti i possibili eventi elementari Evento casuale E Sottoinsieme dello spazio campionario È un insieme di eventi elementari (nessuno, uno, alcuni, tutti) E Ω Un evento si verifica quando il risultato dellesperimento casuale è uno degli eventi elementari che lo costituiscono 3

4 Esempio: Esperimento casuale Esperimento casuale: lancio di un dado Evento elementare Evento elementare: faccia con il numero 3 (o qualunque altra faccia) Spazio campionario Spazio campionario: = 1,2,3,4,5,6 Evento casuale Evento casuale: = «esce un numero pari» = 2,4,6 Ω Se esce la faccia con il 2 (o il 4 o il 6) si è verificato 4

5 Variabile casuale ( o v. aleatoria) Regola che associa ad ogni evento un unico numero reale Funzione misurabile a valori reali definita sullo spazio campionario Per ogni Ω la v.c. X( ) assume un valore reale x La v.c. trasforma gli eventi in numeri e permette di associare a questi le probabilità Spesso è traduzione numerica immediata degli eventi elementari, ma può essere anche una funzione più complicata definita sugli eventi di Ω. 5

6 Esempio: Esperimento casuale Esperimento casuale: lancio di due monete Eventi elementari Eventi elementari: coppie di teste e croci (T e C) Spazio campionario Spazio campionario: = TT, TC, CT, CC I quattro eventi elementari sono equiprobabili: P(TT)=P(TC)=P(CT)=P(CC)=1/4 Definiamo X come «numero di teste nel lancio di due monete» e associamo le probabilità alle sue determinazioni: Eventi di XP(X=x) TT TC CT CC 21102110 P(X=2)=1/4=0.25 P(X=1)=2/4=0.5 P(X=0)1/4=0.25 6

7 Funzione di probabilità P(X=x) (caso discreto) Esprime la probabilità che X assuma valore x, come funzione di x: P(x)=P(X=x) Descrive completamente la probabilità della v.c. e 0 P(x) 1 x P(x)=1 La funzione di probabilità fornisce tutte le informazioni sulle proprietà di una v.c. 7

8 Funzione di ripartizione F(x 0 ) (caso discreto) Esprime la probabilità che X non superi il valore x 0 F(x 0 )=P(X x 0 ) - < x 0 < + Se X è una v.c. con funzione di probabilità P(x) e funzione di ripartizione F(x 0 ) si può dimostrare che F(x 0 )= x x0 P(x) 8

9 Valori attesi Una v.c. è nota se è nota la sua distribuzione di probabilità o la sua funzione di ripartizione. Ma spesso si usano anche indicatori sintetici che tengono conto sia dei valori assunti dalla v.c. che delle rispettive probabilità. 9

10 Valor medio o valore atteso (E=expectation) Data una v.c. discreta X con funzione di probabilità P(x) E(X)= = x x P(x) Varianza Var(X)=E(X- ) 2 = x (x- ) 2 P(x) 10

11 E( ) è un operatore lineare: E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(aX)=aE(X) E(a)=a Mentre: Var(a+bX)=b 2 Var(X) 11