B-alberi dizionari in memoria secondaria. giugno 2002ASD - B-tree3 dizionari su memoria secondaria la memorizzazione su memoria secondaria risponde.

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1 B-alberi dizionari in memoria secondaria

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3 giugno 2002ASD - B-tree3 dizionari su memoria secondaria la memorizzazione su memoria secondaria risponde a due esigenze –permanenza dellinformazione la RAM è volatile –grande quantità di dati la RAM è limitata memoria secondaria: disco

4 giugno 2002ASD - B-tree4 modello di costo il costo in termini di tempo per accedere al disco (scrittura/lettura) domina in maniera sostanziale il costo di elaborazione in RAM –parti meccaniche in movimento con costanti di tempo dellordine delle decine di millisecondi –una CPU esegue unistruzione elementare in pochi colpi di clock –ad es., copia di un dato dalla RAM a un registro supp. 10 colpi di clock, CPU a 1GHz 10 ns per copia RAM->registro 20 ns per unassegnazione

5 giugno 2002ASD - B-tree5 modello di costo/2 non ha più senso attribuire un costo approssimativamente costante ad ogni operazione eseguita il modello basato sulloperazione dominante è inadeguato

6 giugno 2002ASD - B-tree6 modello di costo/3 laccesso al disco avviene per blocchi (o pagine fisiche ) –tutti i blocchi hanno la stessa dimensione (da 512B ad alcuni KB) –ciascun blocco è definito da tre coordinate: cilindro (o traccia ), settore, faccia cilindro settoretraccia faccia

7 giugno 2002ASD - B-tree7 modello di costo/4 tempo di accesso al disco = somma di tre componenti –seek time per posizionare la testina sul cilindro corretto –latency time attesa necessaria affinché il settore desiderato transiti sotto la testina –tempo di trasferimento dati scambiati fra RAM e disco

8 giugno 2002ASD - B-tree8 esempio seek time –~15-20ms latency time –valore atteso: 50% del tempo di rotazione in un disco a 7200rpm, poco più di 4ms tempo di trasferimento –velocità: alcuni MB/s blocco di 4KB, seek 15 ms, 10000rpm, velocità di trasferimento 2MB/s tempo (ms) di accesso al blocco 15 + 3 + 2 ms/blocco = 20ms/blocco costo (ammortizzato) per byte 20ms/4096B 4.9µs/B

9 giugno 2002ASD - B-tree9 esempio/2 nel caso di accesso a più blocchi contigui vengono pagati un solo seek e un solo latency la convenienza aumenta allaumentare del numero di blocchi contigui –bulk access vs. random access blocco di 4KB, seek 15 ms, 10000rpm, velocità di trasferimento 2MB/s tempo (ms) di accesso a due blocchi contigui 15 + 3 + 2·2 ms/blocco = 22ms/blocco costo (ammortizzato) per byte 22ms/8192B 2.7µs/B

10 giugno 2002ASD - B-tree10 esempio/3

11 giugno 2002ASD - B-tree11 ammortizzazione la contiguità premia

12 giugno 2002ASD - B-tree12 modello di costo/5 costo (tempo): # di I/O su disco –blocco ha dimensione B –RAM ha dimensione M –disco ha dimensione tempo di CPU trascurabile –buona approssimazione in molti casi

13 giugno 2002ASD - B-tree13 1 dizionari in memoria secondaria 81319243540515862677478838898 417284660708091 11376486 2277 54 idea: paginare un albero di ricerca

14 giugno 2002ASD - B-tree14 BST paginato lalbero non è più binario si può definire un albero di ricerca m -ario?

15 giugno 2002ASD - B-tree15 B-tree di ordine m radice con 0 o 1 < p m figli ogni nodo interno (non radice) con k – 1 chiavi e k figli, m /2 k m –non lo stesso k per ciascun nodo! foglie con k-1 chiavi, m /2 k m e tutte allo stesso livello albero di ricerca –ad ogni chiave è associato un sottoalbero destro di chiavi inferiori ed uno sinistro di chiavi superiori m è il max numero di figli

16 giugno 2002ASD - B-tree16 B-tree di ordine 4 56 22416687 214263459617177909298465144 è anche un B-tree di ordine 3?

17 giugno 2002ASD - B-tree17 altezza di un B-tree quali sono le altezze minime e massime di un B-tree di ordine m con n chiavi? –altezza max ottenuta quando ogni nodo interno ha il min numero di figli (albero spoglio) la radice ha 2 figli ed ogni altro nodo interno ha m /2 figli –altezza min quando ogni nodo interno ha il max numero (m ) di figli (albero frondoso)

18 giugno 2002ASD - B-tree18 altezza di un B-tree spoglio sia q = m /2 1 chiave nella radice q - 1 chiavi in ogni altro nodo livello 2: 2 nodi livello 3: 2q nodi livello 4: 2q 2 nodi livello i : 2q i –2 nodi

19 giugno 2002ASD - B-tree19 altezza di un B-tree spoglio/2 # chiavi in un B-tree spoglio di altezza h D.: qual è laltezza di un B-tree frondoso?

20 giugno 2002ASD - B-tree20 scelte progettuali un nodo = un blocco chiave c bit riferimento a sottoalbero r bit in ogni nodo rm + c (m - 1) bit m = (B + c )/(r + c ) –se B = 4KB, c = r = 32 bit m 64 –con n = 10ML chiavi h 6 –radice spesso mantenuta in RAM

21 giugno 2002ASD - B-tree21 rappresentazione nodi (RAM) class BTreeNode { int m; boolean leaf; int keyTally; int keys = new int[m-1]; BTreeNode references[] = new BTreeNode[m]; BtreeNode(int key) {…} }

22 giugno 2002ASD - B-tree22 cenno alla rappresentazione dei nodi su disco file a sé stanti, ciascuno di un blocco –più semplice da realizzare –i riferimenti ai sottoalberi sono nomi di file –overhead per il sistema operativo tutti in un unico file –soluzione compatta, ma più complessa –riferimenti ai sottoalberi offset relativi allinizio di un file (file frammentato, solo accessi random) indirizzi assoluti (cilindro+settore+faccia, file non portatili)

23 giugno 2002ASD - B-tree23 operazioni su un B-tree le tre operazioni dei dizionari –membership, inserimento, cancellazione interrogazioni di range –dato un intervallo (range), elencare o contare le chiavi che appartengono allintervallo

24 giugno 2002ASD - B-tree24 ricerca in un B-tree si percorre un ramo partendo dalla radice, scendendo nei sottoalberi –come in un normale BST –costo logaritmico Algorithm BTreeSearch(key, node) { if(node != null) { int i = 1; for(; i <= node.keyTally && node.keys[i-1] < key; i++); if((i > node.keyTally) || node.keys[i-1] > key) return BTreeSearch(key, node.references[i-1]); else return node; } else return null; }

25 giugno 2002ASD - B-tree25 inserimento in B-tree come nei BST, si effettua una ricerca della chiave da inserire si tenta dapprima di inserire la chiave in una foglia (appropriata) –se la foglia non è piena il processo termina –se la foglia è piena (ha già m – 1 chiavi) abbiamo una situazione di overflow e possiamo scinderla in due la scissione può determinare altre scissioni

26 giugno 2002ASD - B-tree26 gestione degli overflow gestione delloverflow tramite scissione (o divisione o split) –allocazione di un nuovo nodo (foglia) –le m chiavi vengono così ripartite: (m – 1) / 2 nella foglia in overflow, (m – 1) / 2 nella nuova e una (la mediana fra le m ) viene inserita nel genitore per separare le due foglie se il genitore va in overflow si usa la stessa tecnica

27 giugno 2002ASD - B-tree27 gestione degli overflow/2 gli overflow si possono propagare verso lalto fino a coinvolgere la radice se la radice va in overflow questa deve venire scissa ed occorre creare una nuova radice, che conterrà la chiave mediana fra le m coinvolte nelloperazione –in questo caso lalbero aumenta la propria altezza dimostrazione (tratta da http://shell.uriel.net/~mozart/File/btree.h tml)dimostrazione http://shell.uriel.net/~mozart/File/btree.h tml

28 giugno 2002ASD - B-tree28 algoritmo di inserimento Algorithm BTreeInsert(k) { trova foglia f in cui inserire k while(true) { trova posizione adeguata per k in keys if(f non è piena) { inserisci k ed incrementa keyTally return } else { suddividi f in f1 e f2 distribuisci le chiavi ed i riferimenti in modo eguale fra f1 e f2

29 giugno 2002ASD - B-tree29 algoritmo di inserimento/2 inizializza i loro keyTally k = ultima chiave di f1 if(f era radice) { crea nuova radice, genitore di f1 e f2 inserisci k e i riferimenti a f1 e f2 in radice imposta keyTally di radice a 1 return } else f = genitore(f) } // fine while(true) }

30 giugno 2002ASD - B-tree30 costo inserimento discesa radice – foglia –O(log n ) I/O (log in base m /2) split –O(1) I/O (3 o 4) #split –O(log n ) costo totale: O(log n )

31 giugno 2002ASD - B-tree31 eliminazione da un B-tree si effettua una ricerca della chiave da inserire se la chiave è in una foglia, la si elimina dalla stessa e si verifica se il numero di chiavi rimanenti sia comunque non inferiore a m / 2 - 1 –se rimangono troppe poche chiavi si ha underflow, che richiede una gestione specifica se la chiave è in un nodo interno la si sostituisce con il predecessore (o il successore), che è in una foglia, e ci si riconduce al caso precedente –simile alla tecnica usata nei BST

32 giugno 2002ASD - B-tree32 gestione degli underflow un nodo in underflow ha m / 2 - 2 chiavi si tenta dapprima una ridistribuzione delle chiavi fra nodo e un fratello, coinvolgendo la chiave che li separa nel genitore –occorre un fratello con almeno m / 2 chiavi se non è disponibile un fratello per operare la ridistribuzione occorre effettuare la fusione (o merge) fra nodo in underflow e un fratello –richiede una gestione specifica

33 giugno 2002ASD - B-tree33 fusione di nodi due nodi fratelli possono essere fusi se uno di essi è in underflow e laltro ha il numero di chiavi minimo m / 2 - 1 la fusione consiste nellinserire in un solo nodo tutte le chiavi presenti nei due nodi, oltre a quella del genitore che separava i due nodi –la fusione permette di liberare risorse precedentemente allocate a un nodo –richiede leliminazione di una chiave dal genitore, che a sua volta, può andare in underflow, divenendo oggetto di attenzione da parte del gestore dellunderflow

34 giugno 2002ASD - B-tree34 fusione di nodi/2 se i nodi oggetto di fusione sono i due unici figli della radice, questa scompare e il risultato della fusione diviene la nuova radice –in tal caso vengono liberate risorse allocate a due nodi –lalbero diminuisce laltezza dimostrazione (tratta da http://shell.uriel.net/~mozart/File/btree.h tml)dimostrazione http://shell.uriel.net/~mozart/File/btree.h tml

35 giugno 2002ASD - B-tree35 algoritmo di eliminazione Algorithm BTreeDelete(k) { node = BTreeSearch(k, root) if(node != null) { if(node non è foglia) { trova foglia con successore s di k copia s su k in node node = foglia contenente s elimina s da node } else elimina k da node

36 giugno 2002ASD - B-tree36 algoritmo di eliminazione/2 while(true) { if(node non in underflow) return else if (cè un fratello di node con abbastanza chiavi) { ridistribuisci chiavi fra node e fratello return } else if (genitore(node) è radice) { if radice ha una chiave fondi node, fratello e genitore, formando nuova radice

37 giugno 2002ASD - B-tree37 algoritmo di eliminazione/3 else fondi node e suo fratello return else { fondi node e suo fratello node = genitore(node) }

38 giugno 2002ASD - B-tree38 costo eliminazione discesa radice – foglia –O(log n ) I/O (log in base m /2) ridistribuzione –O(1) I/O (3 o 4) fusione –O(1) I/O (3 o 4) #fusioni –O(log n ) costo totale: O(log n )

39 giugno 2002ASD - B-tree39 B + -tree chiavi solo nelle foglie nodi interni contengono solo informazioni di branching e costituiscono un vero e prorpio indice le foglie sono collegate orizzontalmente algoritmi di gestione simili a quelli per il B- tree –una differenza notevole è nello split di una foglia: la chiave separatrice viene copiata (e non spostata) nel genitore