Verso un modello cosmico coerente con 11 parametri: la proposta di Tegmark, Zaldarriaga, Hamilton* E-MAIL * M. Tegmark, M. Zaldarriaga and A.J.S. Hamilton,

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2 Verso un modello cosmico coerente con 11 parametri: la proposta di Tegmark, Zaldarriaga, Hamilton* E-MAIL * M. Tegmark, M. Zaldarriaga and A.J.S. Hamilton, Towards a refined cosmic concordance model: Joint 11-parameter constraints from the cosmic microwave background and large-scale structure, «Phisical Review D», 63, 043007 (January 30, 2001), pp. 1-14. [On-line]: versione pubblicata e preprint (ps, pdf, html). Per ulteriori informazioni visitate il sito di Max Tegmark, dove troverete i grafici animati ed i preprint a colori (ps o pdf).versione pubblicataps, pdf, htmlMax Tegmarkpspdf Seminario, 8 gennaio 2003 Corso di Astrofisica, Prof. F. M ELCHIORRI D IPARTIMENTO DI F ISICA, Università di Roma La Sapienza R ICCARDO C OCCIOLI Last update: 07 / 05 / 2003

3 I n d i c e I. ObiettiviObiettivi II. Premessa sugli spettri di potenza 1.Radiazione di fondo cosmica (CMB)Radiazione di fondo cosmica 2.Strutture su larga scala delle galassie (LSS)Strutture su larga scala delle galassie III. Parametri cosmologici primariParametri cosmologici primari IV. Parametri cosmologici derivatiParametri cosmologici derivati V. Dati utilizzati 1.Radiazione di fondo cosmica (CMB)Radiazione di fondo cosmica 2.Struttura su larga scala delle galassie (LSS)Struttura su larga scala delle galassie 3.Nucleosintesi primordiale (BBN)Nucleosintesi primordiale 4.Costante di HubbleCostante di Hubble 5.NeutriniNeutrini VI. Funzione di verosimiglianzaFunzione di verosimiglianza VII. Metodo di analisi dei datiMetodo di analisi dei dati VIII. Dipendenza degli spettri dai parametri principaliDipendenza degli spettri dai parametri principali IX. Valori ottimali e limiti di confidenza dei parametriValori ottimali e limiti di confidenza dei parametri X. Funzioni di verosimiglianza 1.Limiti sui parametri dai dati CMB + LSSLimiti sui parametri dai dati CMB + LSS 2.Limiti sui parametri nel caso di concordanzaLimiti sui parametri nel caso di concordanza XI. Grafico nel caso di concordanzaGrafico nel caso di concordanza XII. Limiti su coppie di parametriLimiti su coppie di parametri XIII. BibliografiaBibliografia

4 CMB LSS Perfezionare un metodo che permetta di facilitare il calcolo degli spettri di potenza teorici della radiazione di fondo cosmico (CMB) e delle strutture su larga scala delle galassie (LSS) per una griglia di valori degli 11 parametri cosmologici scelti in questanalisi. CMBLSS Confrontare gli spettri teorici così ottenuti con i dati sperimentali del CMB e delle LSS, facendo unanalisi di verosimiglianza secondo il metodo bayesiano, per ricavare i valori ottimali ed i limiti di confidenza degli 11 parametri cosmologici. Obiettivi I INDICE

5 Premessa sugli spettri di potenza Radiazione di fondo cosmica (CMB) Per una rassegna consultare Qualsiasi funzione definita sulla superficie di una sfera, dipendente dalle coordinate angolari e, può essere espressa come somma di armoniche sferiche: dove i coefficienti a lm sono definiti da: II. 1 A INDICE

6 e le armoniche sferiche sono definite da: Le anisotropie della radiazione di fondo cosmico possono esprimersi in termini di armoniche sferiche: I modelli cosmologici fanno previsioni sulla varianza dei coefficienti a lm. II. 1 B INDICE

7 Assumendo linvarianza rotazionale e la gaussianità per questi coefficienti, possiamo legare la loro media, fatta sullinsieme, ai multipoli elle: Se poi facciamo modelli di universo che prevedano per le perturbazioni di densità primordiali una distribuzione gaussiana, gli a lm avranno media nulla e varianza C l ; e quindi questi modelli permettono di fare previsioni direttamente per i coefficienti C l. Ogni strumento coprirà con le sue misure una zona della volta celeste, a cui corrisponde un particolare angolo solido sotteso. II. 1 C INDICE

8 Quindi queste misurazioni saranno sensibili ai vari termini di multipolo elle in modo diverso, in particolare potranno rivelare solo le anisotropie con scale angolari minori dellangolo solido spazzato dallo strumento. La potenza ricevuta da uno strumento è: dove W l è chiamata window function e rappresenta proprio la sensibilità dello strumento ai vari multipoli. COBE Solitamente si normalizza il tutto rispetto ai dati forniti dal satellite COBE II. 1 D INDICE

9 Per poter confrontare teoria ed esperimenti bisogna conoscere la window function degli strumenti, necessaria per poter convertire in variazioni di temperatura sia le misure di potenza sperimentali che le previsioni teoriche sui coefficienti C l. CMB In letteratura i dati del CMB sono normalmente espressi in funzione dei multipoli elle mediante la seguente funzione: II. 1 E INDICE

10 Premessa sugli spettri di potenza Per una rassegna consultare Strutture su larga scala delle galassie (LSS) Le misure astrofisiche ci permettono di ricostruire la distribuzione delle galassie nello spazio tridimensionale. Considerando la funzione di correlazione a due punti di questa distribuzione, e calcolandone la trasformata di Fourier, si ottiene lo spettro di potenza P(k) delle galassie. Lo spettro è espresso in funzione del numero donda k. Un picco nello spettro di potenza ad un certo k * indica che le galassie creano strutture con distanze tipiche dellordine di k *. II. 2 INDICE

11 Parametri cosmologici primari 1. profondità ottica di reionizzazione A S 2. A S ampiezza primordiale delle fluttuazioni scalari A T 3. A T ampiezza primordiale delle fluttuazioni tensoriali n S 4. n S inclinazione delle fluttuazioni scalari n T 5. n T inclinazione delle fluttuazioni tensoriali b 6. b bias delle galassie K 7. K contributo di curvatura alla densità totale ( ) 8. contributo dellenergia del vuoto ad B 9. B densità fisica dei barioni DM 10. DM densità fisica della materia oscura 11. frazione calda della materia oscura III INDICE

12 Parametri cosmologici derivati H 1. H costante di Hubble 2. parametro di distorsione spaziale del redshift z ION 3. z ION redshift della reionizzazione t 0 4. t 0 età delluniverso [Gy] m 5. m somma delle masse dei neutrini [eV] IV INDICE

13 Dati utilizzati Radiazione di fondo cosmica (CMB) Tutti i dati disponibili al momento dellanalisi (prima del 2000). V. 1 INDICE

14 Dati utilizzati Strutture su larga scala delle galassie (LSS) I dati del Point Source Catalogue Redshift Survey del satellite IRAS. V. 2 INDICE

15 Dati utilizzati Nucleosintesi primordiale (BBN) I risultati delle ultime misurazioni (del 1999) della densità di materia barionica dal rapporto deuterio - idrogeno (D/H) nelle nubi molecolari ad alto redshift. V. 3 INDICE

16 Dati utilizzati Costante di Hubble Neutrini I risultati finali (2000) delle misurazioni della costante di Hubble da parte del telescopio spaziale Hubble a. Si assume che il contributo cosmologico dei neutrini sia trascurabile, accettando la duplice ipotesi che la degenerazione tra le masse dei vari neutrini sia piccola, e che le misure sui neutrini atmosferici da parte di Super Kamiokande comportino. Si è così scelto di non considerare i risultati di misure di tipo astrofisico che danno una più alta stima della densità dei neutrini. V. 4 INDICE

17 Funzione di verosimiglianza Data una funzione di distribuzione x della variabile casuale X dipendente dal vettore dei parametri, se considero un insieme di n valori assunti dalla variabile casuale, definisco come funzione di verosimiglianza: che rappresenta una quantità proporzionale alla probabilità che gli n valori della variabile casuale si presentino allosservazione. La stima delle componenti di col metodo di massima verosimiglianza, dato un insieme di n punti, è il valore per il quale la funzione L x è massima. VI INDICE

18 Metodo di analisi dei dati Metodo di analisi dei dati Per maggiori dettagli sul metodo consultare CMB LSS 1.Calcolo degli spettri di potenza teorici del CMB ( C l ) e delle LSS ( P(k) ) per una griglia di modelli nello spazio dei parametri, usando le seguenti espressioni: In questo modo si sono poi calcolati tre diversi spettri separatamente, che singolarmente dipendono da soli 6 o 7 parametri ciascuno, velocizzando molto tutto il processo di calcolo. VII A INDICE 2.Calcolo della funzione di verosimiglianza per quantificare laderenza di ciascun modello teorico ai dati sperimentali;

19 Metodo di analisi dei dati 3.Interpolazione della funzione di verosimiglianza nello spazio dei parametri per creare una funzione continua. 4.Massimizzazione di questultima per ottenere i valori ottimali dei vari parametri, sia singolarmente che a coppie. 5.Calcolo dei limiti di confidenza al per i valori ottimali dei vari parametri. VII B INDICE Luso del metodo bayesiano comporta una scelta a priori delle funzioni di distribuzione da attribuire ai vari parametri, in modo che i valori più attendibili del parametro contino di più nellanalisi statistica rispetto ai valori più strani. Questo permette di restringere gli errori sulla determinazione dei parametri se le assunzioni a priori sono esatte, altrimenti può introdurre degli errori sistematici. WMAP Nonostante i rischi dovuti al tipo di analisi, i risultati sono in buon accordo con i più recenti dati del satellite WMAP, ottenibili qui.qui

20 Dipendenza degli spettri da Dipendenza degli spettri da VIII A INDICE

21 Dipendenza degli spettri da A S VIII B INDICE

22 Dipendenza degli spettri da A T VIII C INDICE

23 Dipendenza degli spettri da n S VIII D INDICE

24 Dipendenza degli spettri da b VIII E INDICE

25 Dipendenza degli spettri da K VIII F INDICE

26 Dipendenza degli spettri da Dipendenza degli spettri da VIII G INDICE

27 Dipendenza degli spettri da B VIII H INDICE

28 Dipendenza degli spettri da DM VIII I INDICE

29 Dipendenza degli spettri da Dipendenza degli spettri da VIII L INDICE

30 Valori ottimali e limiti di confidenza dei parametri IX INDICE SOLO CMB CMB LSS CMB LSS BBN h ƒ DATI UTILIZZATI :

31 Funzioni di verosimiglianza CMBLSS Limiti sui singoli parametri nel caso CMB + LSS X. 1 INDICE

32 Funzioni di verosimiglianza concordanza Limiti sui singoli parametri nel caso di concordanza X. 2 INDICE

33 X. 1-2 INDICE

34 Grafico del caso di concordanza CMB CMB: punti LSS LSS: punti TOT TOT: punti Parametri Parametri: / / XI INDICE

35 Limiti nel piano n S B XII A INDICE

36 Limiti nel piano DM B XII B INDICE

37 Limiti nel piano DM Limiti nel piano DM XII C INDICE

38 Limiti nel piano M Limiti nel piano M XII D INDICE

39 Bibliografia Gawiser, E., Silk, J.: Phys. Rep., Hu, W., Dodelson, S.: Annu. Rev. Astron. and Astrophys. Refriger, A.: http:// xxx.lanl.gov /abs/astro-ph/9904235 http:// xxx.lanl.gov /abs/astro-ph/9904235 Einasto, J.: http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0011332 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0011332 Vogeley, M.: http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9805160 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9805160 Hamilton, A. J. S., Tegmark, M., Padmanabhan, N.: Mon. Not. R. Astron. Soc. Burles, S. et al.: Phys Rev. Lett. Freedman, W. et al.: http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0012376 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0012376 Scholberg, K. et al.: http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ex/9905016 http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ex/9905016 Croft, R. A. C., Hu, W., Davé, R.: Phys Rev. Lett. Tegmark, M., Zaldarriaga, M.: Astrophys. J. XIII INDICE