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PITAGORA GENERALIZZATO
A.Martini IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO
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Consideriamo un triangolo scaleno
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Consideriamo un triangolo scaleno
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Consideriamo un triangolo scaleno
a b B A H c
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Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di operazioni su questo triangolo scaleno
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Non chiedertene il motivo.
Lo so che sembrano operazioni inutili o comunque gratuite 23
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Ne capirai il significato solo alla fine della dimostrazione.
Abbi pazienza: è così che si procede di solito. 23
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Io non ti spiegherò ogni singolo passaggio: per esercizio cerca di capirlo da solo,
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i passaggi che non comprendi segnateli sul quaderno delle domande e poi chiedi spiegazione al prof.
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C a b B A H c
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C a b B A H c AB =AH + HB
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C a b B A H c AB =AH + HB AH = b cos
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C a b B A H c AB =AH + HB AH = b cos HB = a cos
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C a b B A H c AB =AH + HB AH = b cos HB = a cos AB = c
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C a b B A H c c = b cos + a cos AB =AH + HB AH = b cos HB = a cos AB = c
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C a b B A H c c = b cos + a cos
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C E’ possibile, come ci insegna la trigonometria, passare da questa ad altre formule corrette sostituendo ad ogni lettera quella corrispondente successiva, seguendo una rotazione in senso antiorario (o orario). a b B A H c c = b cos + a cos
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C a b B A H c c = b cos + a cos a =
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C a b B A H c c = b cos + a cos a = c
20
C a b B A H c c = b cos + a cos a = c cos
21
C a b B A H c c = b cos + a cos a = c cos + b
22
C a b B A H c c = b cos + a cos a = c cos + b cos
23
C a b B A H c c = b cos + a cos a = c cos + b cos b = a cos + c cos
24
C a b B A H c c = b cos + a cos a = c cos + b cos b = a cos + c cos
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C a b B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c = b cos + a cos -a a = c cos + b cos b b = a cos + c cos
26
C a b B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c2 = bc cos + ac cos -a a = c cos + b cos b b = a cos + c cos
27
C a b B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c2 = bc cos + ac cos -a -a2 = -ac cos - ab cos b b = a cos + c cos
28
C a b B A moltiplichiamo ambo i membri per: H c c c2 = bc cos + ac cos -a -a2 = -ac cos - ab cos b b2 = ab cos + bc cos
29
C a b B A sommiamo membro a membro: H c c2 = bc cos + ac cos -a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
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C a b B A sommiamo membro a membro: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A sommiamo membro a membro: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
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C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos -a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos
38
C a b B A semplifichiamo: H c c2 = bc cos + ac cos -a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos = 2bc cos
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C a b B A H c c2 -a2 + b2 = 2bc cos
40
C a b B A H c c2 -a2 + b2 = 2bc cos -a2 = - b2 - c2 + 2bc cos
41
C a b B A H c c2 -a2 + b2 = 2bc cos -a2 = - b2 - c2 + 2bc cos a2 = b2 + c2 - 2bc cos
42
C a b B A H c a2 = b2 + c2 - 2bc cos
43
C a b B A H c a2 = b2 + c2 - 2bc cos
44
C a b B A H c a2 = b2 + c2 - 2bc cos
45
C a b B A c H a2 = b2 + c2 - 2bc cos
46
C a b B A c H a2 = b2 + c2 - 2bc cos
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C a b B A c H a2 = b2 + c2 - 2bc cos
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a c a2 = b2 + c2 - 2bc cos b C B A H
Teorema di Pitagora generalizzato: Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo fra essi compreso.
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con il teorema di Pitagora generalizzato
La SOMMA DI DUE VETTORI con il teorema di Pitagora generalizzato
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Adesso applichiamo questo teoria matematico ad un caso particolarmente utile:
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Consideriamo due vettori qualsiasi e sommiamoli graficamente, come sappiamo già fare.
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n m
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n m
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n m
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V n m
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V n h m
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V n h m
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V n h h m
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V n h n h m
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Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V n h n h m
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Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V n h n h m V2 = m2 + n2 - 2mn cos
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V2 = m2 + n2 - 2mn cos
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h m V2 = m2 + n2 - 2mn cos poiché è:
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V2 = m2 + n2 - 2mn cos coscos
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h m V2 = m2 + n2 - 2mn cos poiché è: coscos si ha:
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V2 = m2 + n2 + 2mn cos coscos
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo V n h n h m V2 = m2 + n2 + 2mn cos poiché è: coscos si ha:
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Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V n m V2 = m2 + n2 + 2mn cos
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Come vedi, si può calcolare l’intensità del vettore risultante tra due vettori senza fare disegni
23
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l’intensità dei due vettori e l’angolo fra essi compreso
conoscendo l’intensità dei due vettori e l’angolo fra essi compreso 23
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Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V n m V = m2 + n2 + 2mn cos
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V2 = m2 + n2 + 2mn cos Determiniamo la direzione di V V n h n h
m
71
V2 = m2 + n2 + 2mn cos Determiniamo la direzione di V V n h n h
m h = n sen
72
V2 = m2 + n2 + 2mn cos Determiniamo la direzione di V V n h n h
m h = n sen h = V sen
73
V2 = m2 + n2 + 2mn cos Determiniamo la direzione di V V n h n h
m h = n sen h = V sen n sen = V sen
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V2 = m2 + n2 + 2mn cos Determiniamo la direzione di V m n V h
h = n sen h = V sen n sen = V sen sen = (n/V) sen
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Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti 23
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Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti V n m sen = (n/V) sen 23
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Esercizio Esperienze
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Teoria: la reazione vincolare
La 1^ condizione di equilibrio Come pesare un carrello “senza” bilancia
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ESERCIZIO
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S2=30m 70° S1=46m
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Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi c’è un tesoro, mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con la rossa un angolo di 70°. Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il sacco. Sapresti indicargli che cosa fare? S2=30m 70° S1=46m
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S2=30m 70° S1=46m
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Ti suggerisco solo la risposta perché tu possa controllare se hai fatto bene.
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Procedi per 59,1 m in direzione 28,5° rispetto alla direzione rossa
fine
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