Dizionari alberi bilanciati. maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati2 dizionari ADT che supportano le seguenti operazioni membership anche detta search.

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1 dizionari alberi bilanciati

2 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati2 dizionari ADT che supportano le seguenti operazioni membership anche detta search insert delete o remove le liste e i BST sono dizionari

3 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati3 dizionari/2 tutte le implementazioni finora considerate hanno almeno unoperazione di costo lineare w.c.t. (worst case time, tempo nel caso peggiore) in molti casi un costo lineare è giudicato inaccettabile strutture più efficienti? alberi bilanciati tavole hash

4 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati4 introduzione al bilanciamento nozione intuitiva di bilanciamento tutti i rami di un albero hanno approssimativamente la stessa lunghezza ciascun nodo interno ha molti figli caso ideale per un albero k-ario ciascun nodo ha 0 o k figli la lunghezza di due rami qualsiasi differisce di al più una unità

5 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati5 -1 foglia + 1 nodo interno +2 foglie bilanciamento perfetto un albero binario perfettamente bilanciato di n nodi ha altezza 34 2163 6182832 1630 3752 4372 se ogni nodo ha 0 o 2 figli n f = n i +1 n f = # foglie n i = # nodi interni n = n f + n i le foglie sono circa il 50% dei nodi

6 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati6 bilanciamento perfetto/2 facilmente generalizzabile ad alberi di arità k costo di ricerca/inserimento/eliminazione O(log n) ripetuti inserimenti/eliminazioni possono distruggere il bilanciamento degrado delle prestazioni

7 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati7 bilanciamento in altezza un albero è bilanciato in altezza se le altezze dei sottoalberi sinistro e destro di ogni nodo differiscono di al più ununità gli alberi bilanciati in altezza sono detti alberi AVL da Adelson-Velskii & Landis, primi proponenti

8 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati8 fattore di bilanciamento 34 21 63 6 18 28 1630 37 52 4372 329 57 7832 0 +1 fattore di bilanciamento (FDB): altezza sottoalbero dx – altezza sottoalbero sx in un albero bilanciato in altezza |FDB| 1, per ogni nodo

9 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati9 alberi AVL?

10 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati10 alberi di Fibonacci 1 2 4 7 12 hFhFh AVL h 000 111 212 324 437 5512 6820 71333

11 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati11 alberi di Fibonacci/2 AVL i AVL i +1 AVL i +2 alberi di Fibonacci alberi bilanciati di altezza i col minimo numero di nodi Relazioni AVL i +2 = AVL i + AVL i +1 + 1 F i +2 = F i + F i +1 AVL i = F i +2 – 1

12 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati12 alberi di Fibonacci/3 un albero di Fibonacci ha tutti i fattori di bilanciamento dei nodi interni pari a ± 1 è lalbero bilanciato più vicino alla condizione di non bilanciamento un albero di Fibonacci con n nodi ha altezza < 1.44 lg(n +2) – 0.328 dimostrato da Adelson-Velskii & Landis un AVL di n nodi ha altezza (lg n )

13 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati13 inserimento in AVL 1. inserire nuovo nodo come in un BST classico il nuovo nodo diviene una foglia 2. ricalcolare i fattori di bilanciamento che sono mutati in seguito allinserimento solo nel ramo interessato allinserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso lalto 3. se nel ramo appare un fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre ribilanciare tramite rotazioni

14 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati14 rotazioni negli AVL casi possibili DD: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio destro (del nodo che si sbilancia) SD: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio destro (del nodo che si sbilancia) DS: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio sinistro (del nodo che si sbilancia) SS: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio sinistro (del nodo che si sbilancia) simmetrici a coppie una rotazione (semplice o doppia) è sempre sufficiente

15 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati15 rotazione semplice (caso DD) gli antenati di P non sono interessati allinserimento perché in seguito alla rotazione recuperano il loro fattore di bilanciamento precedente

16 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati16 rotazione doppia (caso SD) gli antenati di P non sono interessati allinserimento

17 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati17 inserimento negli AVL/costo passo 1: proporzionale allaltezza dellalbero (lg n ) passo 2: proporzionale allaltezza dellalbero (lg n ) passo 3: (1) in totale: (lg n )

18 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati18 cancellazione negli AVL 1. cancellare nodo come in un BST classico 2. ricalcolare i fattori di bilanciamento che sono mutati in seguito alla cancellazione solo nel ramo interessato allinserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso lalto 3. per ogni nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre operare una rotazione semplice o doppia O(lg n ) rotazioni nel caso peggiore più costoso dellinserimento

19 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati19 rotazione semplice eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P il figlio destro ha FDB +1; a), b) e c) il figlio destro ha FDB 0; d), e) ed f)

20 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati20 rotazione doppia eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P FDB(Q) = –1 e FDB(R)= –1; g), h) ed i) rotazione R-Q (P resta a +2, R e Q vanno a +1) e rotazione P-R

21 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati21 rotazione doppia/2 eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P FDB(Q) = -1, FDB(R)=+1, j), k) ed l) rotazione R-Q (P resta a +2, R va a +2 e Q va a 0) e rotazione P-R

22 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati22 cancellazione negli AVL/costo nel caso peggiore occorre effettuare rotazioni (semplici o doppie) lungo tutto il ramo passo 1: proporzionale allaltezza dellalbero (lg n ) passo 2: proporzionale allaltezza dellalbero (lg n ) passo 3: (lg n ) · (1) in totale: (lg n )

23 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati23 AVL e dizionari gli AVL consentono di realizzare dizionari in cui le tre operazioni membership insert delete hanno costo O(lg n ) w.c.t.

24 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati24 cancellazione negli AVL/2 gli alberi AVL possono essere estesi consentendo per ogni nodo un FDB limitato se |FDB| 2 altezza 1.81lg n – 0.71 se |FDB| 3 altezza 2.15lg n – 1.13

25 maggio 2002ASD2002 - Alberi bilanciati25 cancellazione negli AVL/esempio animazioneanimazione tratta dal sito Web http://www.seanet.com/users/ arsen/avltree.html http://www.seanet.com/users/ arsen/avltree.html