LA CIRCONFERENZA.

Presentazione sul tema: "LA CIRCONFERENZA."— Transcript della presentazione:

1 LA CIRCONFERENZA

2 ARGOMENTI TRATTATI Le equazioni della circonferenza Questioni basilari
Questioni relative alle rette tangenti Curve deducibili dalla circonferenza Disposizione di due circonferenze nel piano Fasci di circonferenze Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

3 LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA
Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano  aventi da C distanza uguale ad r. Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della circonferenza, o rappresentazione analitica. Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C , le coordinate P(x;y), si ha: • Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k  0 si ha: kx2 + ky2 + kax + kby + kc = equazione generale .

4 • Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè  = 0 e  =0 , l’equazione normale diventa: Osservazioni sulle equazioni normale e generale: 1. manca in esse il termine rettangolare in xy; 2. i coefficienti dei due quadrati x2 e y2 sono uguali (uguali a 1 nella normale); premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambi i membri per k  0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:

5 non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti una circonferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi: l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario ); 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C; l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale. 5. circonferenze particolari:

6 Considerazioni sul caso ‘c = 0’.
Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa x2 + y2 + ax + by = 0 , quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .

7 QUESTIONI BASILARI Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane centro e raggio. a. x2 + y2 = 4 ; a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c =  si, l’equazione data rappresenta una circonferenza reale di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0) e di raggio r = b. x2 + y = 0 ; a = 0; b = 0; c = 9; a2/4 + b2/4 – c =  no, l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale, bensì immaginaria. c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ; non è l’equazione di una circonferenza perché i coefficienti dei termini di secondo grado, x2 e y2, sono diversi; si tratta di un’ellisse, infatti

8 2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = rappresenta una circonferenza. 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una circonferenza Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti Alcune di tali condizioni sono, per esempio:

9 • conosco le coordinate del centro C(;) (sono due condizioni)  a = - 2 ; b = - 2
• conosco il raggio r  r2 = 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c • passaggio per un dato punto P(xp ; yp)  (xp)2 + (yp)2 + axp + byp + c = 0 • centro C(;) su una retta di nota equazione y = mx + q   = m + q , oppure -b/2 = -ma/2 + q • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q  vedi Circonferenza tangente ad una retta . 3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1. 3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).

10 3. c Scrivi l’equazione della circonf
3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5). 3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .

11 3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0

12 QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi: determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate; determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione. Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento, ma anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli (vedi esempi seguenti). In sintesi: metodi generali, validi per tutte le coniche: a. metodo del discriminante nullo, b. metodo delle formule di sdoppiamento. metodi particolari, validi solo per la circonf.: c. metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, d. metodo della tangente perpendicolare al raggio (solo se il punto P appartiene alla circonf.) . Di solito conviene applicare il metodo ‘c’, se il punto P non appartiene alla circonferenza, il metodo ‘b’, se il punto P appartiene alla circonferenza .

13 Esempi 1. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x = 0 , condotte dal punto P(9/4 ; 0) Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2  0  P non appartiene alla circonf., quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza. Metodo ‘a’ Metodo ‘b’

14 Metodo ‘c’ Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;0) ; r = 1. Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0. Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

15 2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 , condotte dal punto P(5 ; 5) Verifico se P appartiene alla circonf.: – 10 – 30 – 10 = 0  P appartiene alla circonf., quindi ho sicuramente una e una sola soluzione. Metodo ‘a’ Metodo ‘b’ Metodo ‘c’ Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;3) ; r = 201/2. Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: mx – y – 5m + 5 = 0. Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

16 Metodo ‘d’ Determino le coordinate del centro C: C(1;3) . Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P(5;5) : y = mx – 5m + 5 . Determino il coeff. angolare m1 della retta CP perpendicolare alla tangente in P :

17 Esempi 2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione
1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di equazione y = – x + 1 .

18 Traccio il grafico. Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0 si ricavano le coordinate del centro C(3; 2). 2. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;2) e B(3;4) e tangente alla retta di equazione y = – 3x + 3 .

19 Esprimo b e c in funzione di a
Esprimo b e c in funzione di a. Dalla combinazione lineare delle prime due equazioni si ha:

20 Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 . Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:

21 Determina l’equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani e passante per il punto P(3 ; 2/3) . La circonferenza si trova nel primo quadrante e il suo centro appartiene alla retta y = x , quindi  =  e a = b . Osservo inoltre che il raggio misura  = - a/2 , quindi si ha:

22 CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), ricavate sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semicirconferenze.

23 Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

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25 DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO
Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono presentare nel piano le seguenti disposizioni: Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T. Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue:

26 Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’; in questo caso le due circonferenze sono concentriche e non hanno punti in comune o sono coincidenti. Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione di una delle due circonferenze: Tali sistemi ammettono due soluzioni se le circonferenze sono secanti; una soluzione se le circonferenze sono tangenti; nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti.

27 Particolari rette ‘ asse radicale ’:
se a = a’ e b  b’  le due circ. hanno i centri di uguale ascissa e l’asse radicale ha equazione y = k ; se a  a’ e b = b’  le due circ. hanno i centri di uguale ordinata e l’asse radicale ha equazione x = k. Si può concludere quindi che: se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro punto di tangenza T; se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.

28 Esempi 1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 . 2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .

29 3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due
circonferenze di equazione: x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .

30 Esercizi Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate. Determina l’equazione della circonferenza avente come diametro la corda comune alle circonferenze di equazione x2 + y2 - 12x + 4y + 6 = 0 e x2 + y2 + 4x + 4y – 10 = [ x2 + y2 - 2x + 4y – 4 = 0 ] Determina l’area del quadrilatero i cui vertici sono i centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 - 8x + 6y + 8 = 0 e x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0 e i loro punti d’intersezione [ 6·131/2 ] Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2x – 9 = e x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0 sono tangenti internamente e trova il punto di tangenza T [ T(4; -1) ] Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2y – 19 = e x2 + y2 – 10x + 18y = 0 sono tangenti esternamente e determina l’equazione dell’asse radicale e della retta dei centri. [ x – 2y – 8 = 0 ; 2x + y – 1 = 0 ] Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 6x – 12y + 40 = e x2 + y2 – 9x – 18y = 0 sono tangenti esternamente e determina il punto di tangenza [ T(4; 8) ] Calcola l’area del triangolo individuato dall’asse delle y, dala retta dei centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 + 6x – 1 = e x2 + y2 + 8x – 6y + 5 = 0 e dal loro asse radicale [ 15 ]

31 FASCI DI CIRCONFERENZE (a -a’)x + (b -b’)y + c -c’ = 0
Definizione Fascio di circonferenze Date due circonferenze C e C’ , di equazioni x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 rispettivamente, si chiama fascio di circonferenze definito da C e C’ l’insieme avente per elementi la circonferenza C’ e tutte le circonferenze rappresentate dall’equazione: x2 + y2 + ax + by + c + k(x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con kR (*) Questa equazione è l’equazione del fascio e le circonferenze C e C’ si dicono generatrici del fascio. L’equazione del fascio può essere scritta come segue: (1+k)x2 + (1+k)y2 + (a + ka’)x + (b + kb’)y + c + kc’ = 0 , con k  -1. Per k = -1 l’equazione del fascio diventa l’equazione della retta ‘ asse radicale ’ del fascio: (a -a’)x + (b -b’)y + c -c’ = 0 Osservazioni Si ottiene lo stesso fascio se le equazioni di C e C’ si combinano linearmente mediante due parametri reali qualsiasi, non entrambi nulli: (x2 + y2 + ax + by + c) + (x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con  e   R e  o   0. Se, per esempio, è   0, questa combinazione lineare generale può essere ricondotta alla (*) dividendo per  e ponendo / = k . Si ottiene lo stesso fascio se a C e C’ si sostituiscono altre due circonferenze del fascio, dove una delle due può essere l’asse radicale ( l’asse r. può essere considerato come una circonf. degenere di raggio infinito).

32 Le generatrici C e C’ possono avere uno o due punti comuni; tali punti si chiamano punti base del fascio. Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è una retta perpendicolare all’asse radicale e si chiama asse centrale. Si possono avere i seguenti tipi di fasci:

33 Esercizi 1. Determina l’equazione del fascio di circonferenze definito dalle circonferenze di equazione x2 + y2 – 10x – 6y + 24 = 0 e x2 + y2 – 4x = 0, quindi trova le equazioni dell’asse radicale e dell’asse centrale del fascio Combiniamo linearmente le due equazioni mediante un parametro reale k: x2 + y2 – 10x – 6y k( x2 + y2 – 4x) = 0 o anche (1+k)x2 + (1+k)y2 – (10 + 4k)x – 6y + 24 = 0 . L’equazione dell’asse radicale si ottiene per k = –1: – 6x – 6y + 24 = 0 ; y = – x + 4 . Equazione dell’asse centrale : 2. Determina l’equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A(-1;2) e B(3;0) A e B sono i due punti base (1° caso in figura), quindi facciamo la combinazione lineare fra i due elementi del fascio che possiamo trovare facilmente: asse radicale, cioè retta AB e circonferenza di diametro AB.

34 3. Studiare il fascio di circonferenze di equazione x2 + y2 – 3(2 – k)x + 4ky – 16 – 34k = 0 .
L’equazione può scriversi: x2 + y2 – 6x – 16 + k (3x + 4y – 34) = 0 , quindi il fascio è generato dalla circonferenza x2 + y2 – 6x – 16 = 0 di centro C(3 ; 0) e dalla retta ‘ asse radicale ’ 3x + 4y – 34 = 0.

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36 4 . Studiare il fascio di circonferenze di equazione
x2 + y2 – 4x + 2y + k – 3 = 0 . Osservo che le coordinate del centro  = - a/2 = 2 e  = - b/2 = sono costanti , indipendenti dal parametro k , quindi si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro C(2 ; -1). Il fascio rappresenta circonferenze reali per 4 + 1 – k + 3  0 , cioè per k  8 . Per k = 8 si ha la circonferenza degenere, che coincide con il punto C(2 ; -1). Infatti, per k = 8 si ha: x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0, equazione che rappresenta una circonferenza di centro C(2; -1) e raggio = – 5 = 0. Conclusione: l’equazione data rappresenta, per k  8, un fascio di circonferenze concentriche, di centro C(2 ; -1) .

37 DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO CIRCONFERENZA – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le circonferenze nel caso (2). Esempi

38 Le limitazioni 0 < x  4 e y  0 individuano l’arco di circ
Le limitazioni 0 < x  4 e y  0 individuano l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le rette tangenti e per le rette passanti per A(4;0) e per O(0;0). • Retta per O: è la retta generatrice y = x , alla quale non corrisponde alcun valore di k. • Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 . • Rette tangenti:

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40 La limitazione y  0 individua l’arco di circ
La limitazione y  0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti per A(-2;0) e per B(2;0). • Retta per A: k – 2 = 0 ; k = 4 . • Retta per B: k – 2 = 0 ; k = 0 . • Retta tangente in T:

41 La limitazione -2 x  6 individua sulla retta x + 2y + 2 = 0 il segmento utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni retta – circonferenze. Il segmento utile ha come estremi A(-2 ; 0) e B(6 ; -4) . Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le circonferenze tangenti e per le circonf. secanti il segmento AB. • Circ. per A: k – 3 = 0 ; k = - 5 . • Circ. per B: – k – 3 = 0; k = -53. • Circ. tangente:

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