Algebra Booleana Come per la rappresentazione dell’informazione e la sua memorizzazione anche per la logica di elaborazione i computer digitali utilizzano.

Presentazione sul tema: "Algebra Booleana Come per la rappresentazione dell’informazione e la sua memorizzazione anche per la logica di elaborazione i computer digitali utilizzano."— Transcript della presentazione:

1 Algebra Booleana Come per la rappresentazione dell’informazione e la sua memorizzazione anche per la logica di elaborazione i computer digitali utilizzano circuiti di tipo ON/OFF con due stati elettrici. È quindi necessario disporre di un sistema di calcolo che operi su variabili che possono assumere due soli valori. Un tale sistema era stato creato nel XIX secolo dal matematico inglese George Boole ed è noto come algebra booleana. Le variabili booleane possono assumere i valori logici 0 e 1 oppure vero e falso (true e false) Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

2 Funzioni booleane Come in qualsiasi algebra, anche in quella booleana si possono definire delle funzioni f(a,b,c,…) che operano sulle variabili e possono quindi assumere due soli valori: 0 e 1 oppure vero e falso (true e false). Per definire tali funzioni si possono usare delle tabelle dette tavole di verità Esempio: a b c f(a,b,c) 1 Nella tavola di verità, per ogni possibile combinazione delle variabili si riporta il valore assunto dalla funzione. Nel caso dell’esempio con tre variabili abbiamo 23=8 combinazioni possibili quindi la tavola ha 8 righe. Al posto dei simboli 0 e 1 avremmo potuto usare Vero e Falso Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

3 Operatori booleani Come in ogni algebra, anche nell’algebra booleana, sono definite alcune operazioni eseguibili sulle variabili. Per costruire una funzione booleana si utilizzano gli operatori booleani o logici che stabiliscono le relazioni tra le variabili della funzione. Nell’algebra di Boole esistono tre operatori fondamentali: NOT negazione o complemento OR disgiunzione o somma logica AND congiunzione o prodotto logico E alcuni operatori derivati tra cui XOR (da eXclusive OR disgiunzione esclusiva) Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

4 Operatore NOT NOT è un operatore unario, cioè opera su una sola variabile invertendone il valore secondo la seguente tavola di verità: a NOT(a) 1 L’operazione di negazione si indica anche con ā Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

5 Operatore OR OR è un operatore binario, cioè opera tra due variabili eseguendo la somma logica secondo la seguente tavola di verità: Il risultato è 1 se almeno una delle variabili è 1 Oppure Il risultato è 0 se e solo se entrambe le variabili sono 0 a b a OR b 1 L’operazione di somma logica si indica anche con a + b Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

6 Operatore AND AND è un operatore binario, cioè opera tra due variabili eseguendo il prodotto logico secondo la seguente tavola di verità: Il risultato è 1 se e solo se tutte le variabili hanno il valore 1 Oppure Il risultato è 0 se almeno una delle variabili è 0 a b a AND b 1 L’operazione di negazione si indica anche con a . b Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

7 Esempi di funzioni booleane (1)
Con i tre operatori visti si può realizzare qualsiasi funzione booleana ad esempio: f(a,b,c) = a AND b OR NOT c che ha la seguente tavola di verità costituita da 23=8 righe, se avessimo una funzione di 4 variabili avremmo 24 = 16 righe, con 5 variabili 25=32 righe ecc. a b c f(a,b,c) 1 Tra gli operatori logici esiste la seguente scala di precedenza: NOT, AND, OR Quindi nella funzione a fianco si esegue prima il NOT c quindi si esegue l’AND tra a e b e infine si esegue l’OR tra i due risultati . Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

8 Esempi di funzioni booleane (2)
L’ordine di precedenza visto può essere cambiato con l’uso delle parentesi: f(a,b,c) = a AND (b OR NOT c), in questo caso si risolve prima la parentesi quindi si esegue NOT c, quindi si fa l’OR con b e infine si esegue l’AND tra a e il risultato della parentesi; la tavola di verità diventa: a b c f(a,b,c) 1 Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

9 Esempi di funzioni booleane (3)
Consideriamo la seguente funzione: f(a,b,c) = NOT(a OR b) OR c la tavola di verità si ricava in questo modo: si risolve la parentesi facendo l’OR tra a e b, quindi si applica il NOT al risultato e infine si esegue l’OR con c a b c f(a,b,c) 1 a b c f(a,b,c) 1 Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

10 Operatore XOR XOR è un operatore binario, cioè opera tra due variabili eseguendo l’operazione di OR esclusivo secondo la seguente tavola di verità: Il risultato è 1 se le variabili hanno valore diverso Oppure Il risultato è 0 se le variabili hanno lo stesso valore a b a XOR b 1 L’operazione di OR esclusivo si indica anche con a (+) b Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

11 Le basi dell’hardware e del software
L’algebra di Boole è alla base dei circuiti logici della CPU (Hardware) delle procedure logiche secondo le quali avvengono le elaborazioni (Software) Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

12 Logica e hardware La porta NOT la porta OR La porta AND la porta XOR
Un circuito logico (o rete logica) è costituito da porte logiche elementari che realizzano le tre operazioni dell’algebra di Boole La porta NOT la porta OR La porta AND la porta XOR Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

13 Logica e hardware (un esempio)
Il semi-sommatore Nella somma di due bit si verificano i seguenti casi: A B Somma Riporto 1 Si vede che la somma è l’OR esclusivo (XOR) dei due ingressi, mentre il riporto è il prodotto logico (AND) dei due ingressi. Quindi un semi-sommatore può essere realizzato dalla rete logica: Somma A Riporto B Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

14 Logica e software Nella preparazione del software si ricorre spesso all’uso di operatori logici quando il programma deve decidere le operazioni da eseguire in base al verificarsi o meno di un certo evento o combinazione di eventi (vero/falso). Esempio 1: SE lo studente ha sostenuto tutti gli esami AND (e) ha pagato le tasse ALLORA può accedere all’esame di laurea ALTRIMENTI deve regolarizzare la sua situazione Esempio 2: Trova nell’archivio i libri che hanno come autore (Pirandello OR (o) Verga) AND (e) un prezzo NOT (non) superiore a 20 euro Esempio 3: Trova nel Web i documenti in cui siano presenti i termini (Olimpiadi OR (o) Giochi) AND (e) invernali Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

15 Programma sorgente scritto in un linguaggio di programmazione
Sviluppo e produzione del software Codifica Analisi Programma sorgente scritto in un linguaggio di programmazione Problema Algoritmo Traduzione: (compilatore o interprete) no Errori formali? si Fine Funziona? si no Programma eseguibile linguaggio macchina (binario) Test Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

16 Linguaggi di programmazione
Hardware Linguaggio macchina Linguaggio assembler Linguaggi di alto livello Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

17 Linguaggio macchina Unico linguaggio effettivamente comprensibile al processore (CPU) Le istruzioni sono costituite da sequenze di bit: ad esempio un byte per il Codice Operativo e altri byte per gli Operandi dell’istruzione: Legato strettamente al particolare processore – ogni CPU ha il suo set di istruzioni Somma di due numeri C.O. della somma 1° operando 2° operando Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

18 Linguaggio assembler Deve essere tradotto da un assemblatore;
Le istruzioni sono costituite da codici mnemonici e operandi espressi in vari modi (immediati, a registro, tramite indirizzamenti diretti o indiretti): es. ADD A,B (somma il contenuto dei registri A e B e metti il risultato in A) È molto efficiente in termini di velocità di esecuzione in quanto molto vicino all’hardware È legato al processore Utilizzato per programmare procedure di basso livello (vicine all’hardware) come ad esempio i driver dei dispositivi Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

19 Linguaggi di alto livello (1)
Fortran - Cobol anni 50 Algol60 - PL1 - BASIC anni 60 Pascal - C anni 70 C anni 80 Java anni 90 Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

20 Linguaggi di alto livello (2)
Necessitano di programmi traduttori per ottenere codici eseguibili dal processore: Compilatori programmi che traducono tutto il codice sorgente in un codice macchina eseguendo controlli sintattici. Producono un programma eseguibile indipendente dal sorgente e molto efficiente. (Fortran, Cobol, Pascal, C, C++) Interpreti programmi che traducono ed eseguono il codice sorgente riga per riga senza produrre un codice eseguibile. Ogni esecuzione richiede la presenza e la traduzione del sorgente e ciò ne limita l’efficienza. (BASIC) Virtual Machine sistema che combina i due precedenti: il codice sorgente viene tradotto da un compilatore in un codice intermedio (bytecode) il quale poi è interpretato dalla V.M. Ciò rende i programmi portabili su piattaforme diverse (ognuna dispone della sua V.M.) (JAVA) Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

21 Algoritmo (definizione)
Un algoritmo è una sequenza finita e ordinata di operazioni che, eseguite su opportuni dati, portano alla soluzione di un problema in un tempo finito. Un algoritmo è quindi costituito da : Operazioni Dati Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

22 Algoritmo (proprietà)
Un algoritmo deve essere: Eseguibile costituito da operazioni che l’esecutore può fare Non ambiguo ogni operazione deve essere univocamente interpretabile dall’esecutore Finito il numero totale delle operazioni da eseguire deve essere finito ed eseguibile in un tempo finito Deterministico la sequenza delle operazioni è esattamente determinata e non dipende da elementi aleatori Completo deve prevedere tutte le situazioni che si possono presentare nella risoluzione del problema Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

23 Algoritmo & Programma Esecutore
Un algoritmo può essere codificato in un linguaggio di programmazione per dar vita a un programma Un programma è una sequenza ordinata di istruzioni che dicono a un esecutore (computer) come operare sui dati per ottenere i risultati Programma Dati di ingresso Esecutore Risultati Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

24 Dati - Variabili Una variabile è un dato il cui valore può essere modificato durante l’esecuzione del programma Una variabile è caratterizzata da un nome, da un tipo e da un contenuto Esempi: n1 numero intero 15 n2 numero reale 12,34 s1 stringa di caratteri pippo log booleano true Contenuto o valore Nome Tipo Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

25 Dati - Costanti Una costante è una rappresentazione simbolica di un dato che non deve cambiare durante l’esecuzione del programma: Costante numerica 23 Costante stringa “pippo” Le costanti stringa si scrivono tra virgolette per distinguerle dai nomi di variabile Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

26 Dati - Espressioni Un’espressione è un insieme di dati, variabili e costanti, operatori e parentesi a cui corrisponde un risultato: Espressione risultato (n1+n2)/2 somma dei contenuti delle variabili n1 e n2 diviso 2 3 + 4 * (si applicano le regole di precedenza dell’algebra) “conto” + “corrente” “contocorrente” (l’operatore + tra stringhe ha significato di concatenazione) Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

27 Linguaggio di progetto e Pseudocodifica
Per introdurre i concetti di base della programmazione usiamo un linguaggio di progetto che ci consente di eseguire una pseudocodifica. Il linguaggio di progetto è uno strumento linguistico (vocabolario, sintassi e semantica) per rappresentare algoritmi. Il passo successivo è la traduzione in un vero e proprio linguaggio di programmazione cioè la codifica Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

28 Un esempio di linguaggio di progetto
Definiamo un linguaggio di progetto molto semplificato con un minimo di regole di sintassi: Il programma è costituito da due parti: la parte dichiarativa - in cui si definiscono le variabili utilizzate nel programma e inizia con la parola var la parte esecutiva - in cui si definiscono le operazioni da eseguire chiusa tra le parole inizio e fine Un blocco di istruzioni è un insieme di istruzioni chiuso tra le parole inizio e fine Ogni istruzione è terminata da un “;” Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

29 Istruzioni di Ingresso e Uscita
Un’operazione di ingresso (input) è normalmente indicata come una lettura di un’informazione da parte dell’esecutore Un’operazione di uscita (output) è normalmente indicata come una scrittura di un’informazione da parte dell’esecutore leggi(Variabile): prende il dato presente in ingresso e lo mette nella variabile scrivi(Variabile): manda il contenuto della variabile in uscita; Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

30 Ingresso e Uscita - Esempio
var cognome, nome: stringa; anni: numero intero; inizio leggi (cognome); leggi (nome): leggi (anni); scrivi (nome, cognome, anni); fine Parte dichiarativa Parte esecutiva Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

31 Istruzione di Assegnamento
L’istruzione di assegnamento dà un valore a una variabile: Variabile = espressione Esempi: n1 = 1; n2 = n1 + 2; somma = n1 + n2; media = (n1 + n2 + n3 + n4 + n5)/5; Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

32 Istruzione Condizionale
L’istruzione condizionale decide quali operazioni eseguire in base al verificarsi o meno di una condizione: se (condizione) allora blocco-istruzioni 1 altrimenti blocco-istruzioni 2 La condizione è un’espressione booleana, se è vera viene eseguito il blocco di istruzioni 1, altrimenti (se è falsa) viene eseguito il blocco di istruzioni 2 Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

33 Istruzione Condizionale - Esempio
var x, y: numero intero; …………. inizio leggi x; leggi y; se (x>=y) allora scrivi (x) altrimenti scrivi (y); ………. fine Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

34 Istruzioni di Iterazione
Un’iterazione è la ripetizione ciclica di un blocco di istruzioni per un certo numero di volte. Il numero di cicli da effettuare è determinato da una condizione di uscita dall’iterazione. La posizione della condizione di uscita classifica le iterazioni in due tipi: Iterazione a condizione iniziale Iterazione a condizione finale Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

35 Iterazione a condizione iniziale
mentre (condizione) esegui blocco-istruzioni Viene esaminata, all’inizio di ogni ciclo, la condizione di uscita e, se questa è vera, viene eseguito il blocco di istruzioni; quando la condizione risulta falsa si esce dall’iterazione. In questo modo il blocco potrebbe anche non essere eseguito per niente, nel caso in cui la condizione di uscita sia subito falsa Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

36 Iterazione a condizione iniziale - Esempio
var c, max: numero intero; ……………. inizio leggi (max): c = 1; mentre (c<=max) esegui scrivi (c); c = c +1; fine ………. Vengono scritti i numeri naturali da 1 a max. Nel caso in cui nella variabile max venga letto un valore nullo o negativo l’iterazione non avviene neanche una volta e non viene scritto nessun numero. Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

37 Iterazione a condizione finale
esegui blocco-istruzioni finché (condizione) Viene esaminata, alla fine di ogni ciclo, la condizione di uscita e, se questa è vera, viene rieseguito il blocco di istruzioni; quando la condizione risulta falsa si esce dall’iterazione. In questo modo il blocco viene eseguito almeno la prima volta. Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

38 Iterazione a condizione finale - Esempio
var c, max: numero intero; ……………… inizio ……………. leggi (max); c = 1; esegui scrivi (c); c = c +1; finché (c<=max); ………. fine Vengono ancora scritti i numeri naturali da 1 a max. Nel caso in cui nella variabile max venga letto un valore nullo o negativo l’iterazione avviene una volta e viene scritto il numero 1. Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande

39 Esempio di programma var valore, cont: numero intero; inizio cont = 1;
mentre (cont <= 10) esegui leggi(valore); se (valore >= 10) AND (valore <= 50) allora scrivi (valore) altrimenti scrivi(“fuori range”); cont = cont + 1; fine; scrivi (“fine valori”); fine. Si vuole un programma che riceva in ingresso una serie di 10 valori e li controlli mandando in uscita solo quelli che rientrano in un certo range (ad es. 10 – 50), mentre per gli altri emette il messaggio “fuori range”. Una possibile soluzione contiene una iterazione a condizione iniziale per leggere i dieci valori e, al suo interno, una struttura condizionale per controllare il valore ricevuto. Notare l’uso dell’operatore logico AND nella condizione Corso di Informatica - Logica & programmazione - Raffaele Grande