Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

Presentazione sul tema: "Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili"— Transcript della presentazione:

1 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili
Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno Lezione n° 4: Marzo 2009 Problemi di Programmazione Matematica Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi Forma Canonica. Forma Standard Rappresentazione grafica della regione di ammissibilità Anno Accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

2 Programmazione Matematica Lineare
Problema di Programmazione Matematica (PM) (problema di ottimizzazione) max f(x) s.t. funzione obiettivo scalare vettore delle variabili decisionali insieme delle soluzioni ammissibili

3 Un problema di PM è lineare quando:
la funzione obiettivo è lineare l’insieme X è espresso in termini di relazioni (uguaglianze e disuguaglianze) lineari variabili x continue Programmazione Lineare Continua (PL) X variabili x intere Programmazione Lineare Intera (PLI)

4 Problemi di Programmazione Lineare:
Forma Canonica Consideriamo un problema di Programmazione Lineare (PL) con m vincoli ed n variabili in Forma Canonica di minimo: dove: x è il vettore nx1 delle variabili decisionali c è il vettore nx1 dei coefficienti della funzione obiettivo b è il vettore mx1 dei termini noti dei vincoli A è la matrice mxn dei coefficienti dei vincoli; A=[aij], i=1,...,n, j=1,...,m

5 Problemi di Programmazione Lineare: Forma Standard di minimo
Condizione: b ≥ 0

6 Inoltre, si assumono soddisfatte le seguenti ipotesi:
- m<n - m=rango(A) I valori di x che soddisfano i vincoli (1) sono detti soluzioni del problema di PL. Inoltre, i valori di x che soddisfano anche i vincoli (2) sono detti soluzioni ammissibili del problema di PL.

7 L’ipotesi m<n (più variabili che vincoli) non rappresenta una perdita di generalità.
E’ noto infatti che il sistema di equazioni lineari (1): può ammettere una soluzione unica se m=n può ammettere ¥n-m soluzioni se m<n Solo il secondo caso è significativo dal punto di vista dei problemi di ottimizzazione.

8 Qualunque problema di PL può essere trasformato in un problema equivalente in forma standard.

9 Formulazioni equivalenti:
Funzione Obiettivo Esempio

10 Formulazioni equivalenti:
Vincoli

11 Formulazioni equivalenti:
Vincoli di disuguaglianza in vincoli di uguaglianza Variabile di slack (variabile fittizia)

12 Formulazioni equivalenti:
Variabili

13 Rappresentazione grafica della regione di ammissibilità: Esempio

14 5 4 3 2 1 (3) (1) (2) X

15 Un problema di PL può essere:
Non Ammissibile (senza soluzioni ammissibili) Ammissibile con valore ottimo finito: 2.1 unico punto di ottimo 2.2 infiniti punti di ottimo 3. Ammissibile con valore ottimo illimitato

16 Da un punto di vista grafico:
Non Ammissibile (senza soluzioni ammissibili): la regione di ammissibilità è l’isieme vuoto X1 X2

17 Da un punto di vista grafico:
Ammissibile con valore ottimo finito: regione di ammissibilità è diversa dall’insieme vuoto, è chiusa e limitata X

18 Da un punto di vista grafico:
Ammissibile con valore ottimo illimitato: in questo caso la regione di ammissibilità è un insieme non vuoto e illimitato (n.b., una soluzione con valore ottimo illimitato implica un insieme di ammissibilità X illimitato, ma non è vero il viceversa) X (X illimitato)