Dipartimento di Matematica -

Presentazione sul tema: "Dipartimento di Matematica -"— Transcript della presentazione:

1 Dipartimento di Matematica -
Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata MATEMATICA APPLICATA ALLA BIOLOGIA (I MODULO) Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica - Università di Pavia A. A. 2007/2008

2 NUOVO utilizzo dello strumento matematico
attraverso la costruzione di MODELLI MATEMATICA = Strumento investigativo ( indagine multidisciplinare) MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale MATEMATICA e mondo matematico

3 MODELLIZZAZIONE MATEMATICA
Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare, predire i fenomeni reali oggetto utilizzato per rappresentare qualcosa d’altro MODELLO rappresenta un cambiamento sulla scala di astrazione

4 FENOMENO REALE OPERATORI VARIABILI FUNZIONI PARAMETRI EQUAZIONI
IP. CHIMICHE OPERATORI IP. GEOLOGICHE VARIABILI FUNZIONI FENOMENO REALE IP. FISIOLOGICHE PARAMETRI IP. FISICHE EQUAZIONI IP. BIOLOGICHE

5 DATI SPERIMENTALI OPPORTUNE EQUAZIONI ESISTENZA RISOLUBILITA’ UNICITA’
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ESISTENZA ANALISI MATEMATICA DEL MODELLO RISOLUBILITA’ UNICITA’

6 SVILUPPO DI UN ALGORITMO SIMULAZIONE IMPLEMENTAZIONE NUMERICA
* SIMULAZIONE NUMERICA IMPLEMENTAZIONE VALIDAZIONE DEL MODELLO TEST SU CASI NOTI

7 MODELLO DELLE CELLULE DEL SANGUE

8 FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE DEL SANGUE
CELLULE PRIMITIVE (pluripotenziali) CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE (proliferanti) CONTROLLO FEEDBACK MATURAZIONE (non proliferanti) CIRCOLAZIONE SANGUIGNA MORTE

9 n° di cellule al tempo ti
MODELLO MATEMATICO La popolazione di cellule del sangue varia nel tempo unità di tempo n° di cellule al tempo ti n° di cellule distrutte nell’intervallo di tempo [ti , ti+1] n° di cellule prodotte

10 c coefficiente di distruzione
La funzione deve essere “identificata” sulla base di dati sperimentali Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione c coefficiente di distruzione

11 La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche
La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso p(x) cresce inizialmente e raggiunge un massimo

12 La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche
Esiste un livello critico al di sotto del quale l’organismo non recupera p(0) = 0

13 La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche
La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato. Non è necessaria a livelli “super elevati” di cellule p(x) decresce per x grande

14 Mackey-Glass 1971

15 Lasota 1977

16 b, J, r, s, m sono parametri da identificare
MODELLO DI MACKEY

17 b, J, r, s, m sono parametri da identificare
MODELLO DI LASOTA

18 IL MODELLO DIVENTA che è della forma
Dove la funzione d’iterazione f è:

19 LIVELLO STAZIONARIO In condizioni normali, le cellule raggiungono un
livello stazionario al quale produzione e distruzione avvengono alla stessa velocità

20 LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY

21 LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA

22 Analisi della stabilità del modello
Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario Analisi della stabilità del modello Biomatematica .mht

23 Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema
Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare Livelli stazionari possono essere stabili o instabili Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale Regione di attrazione Instabile

24 DIFFUSIONE DELL’ AIDS ( Modello di Ho )

25 Il virus HIV (Human Immunodeficiency Virus) provoca lo sviluppo
dell’ AIDS (Acquired ImmunoDeficiency Sindrome) Il virus attacca una classe di linfociti ( CD4 T-Cellule), la cui azione è essenziale nell’ambito della difesa immunitaria. In condizioni normali la concentrazione di CD4 è circa 1000/ ; quando scende al di sotto di 200/ il paziente è classificato malato. PRECEDENTI SUPPOSIZIONI Periodo che intercorre tra l’infezione e lo sviluppo della malattia è un periodo di latenza e inattività del virus Tutti i meccanismi coinvolti sono lenti Lo sviluppo della malattia è lento

26 Concentrazione plasmatiche
di cellule virali, linfociti CD4 e anticorpi HIV Nel periodo di pseudo-latenza , la concentrazione di virus e anticorpi è quasi costante, mentre si ha una lenta diminuizione di concentrazione di cellule CD4 Il virus è allora inattivo ?

27 MODELLO DI HO Per capire se il virus è attivo nella fase di pseudolatenza, Ho ha perturbato la sua attività somministrando a 20 pazienti un inibitore della proteasi Esperimento di Ho: (1994) Virus al tempo t Cellule virali prodotte nell’unità di tempo Tasso di eliminazione (azione sistema immunitario, morte ,etc.)

28 La variazione nel tempo di cellule virali può essere descritto dalla
equazione di bilancio: Equazione differenziale del I ordine Soluzione generale valore iniziale Per t = 0, cioè nella fase di pseudo-latenza (equilibrio) si ha: e quindi

29 La proteasi è stata bloccata
non ci sono nuove cellule prodotte Il modello è più semplice:

30 Dunque la variazione di cellule virali è stata modellizzata dall’equazione
Occorre calcolare c

31 Procedimento di fitting per identificare il parametro c
y b Sono identificati con un procedimento di regressione lineare I parametri c e b

32 Diminuizione della concentrazione di cellule virali in 2 pazienti trattati con inibitore della proteasi

33 Il virus non è affatto quiescente !
Per ogni paziente si ottiene una valutazione diversa dei parametri c e b Si esegue una media Ho trovò: La conoscenza di c permette di approssimare P: ( dal fitting) Il virus non è affatto quiescente ! Questa scoperta ha cambiato la comprensione dei meccanismi di infezione dell’AIDS dando avvio a nuove terapie.

34 MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI
Sistema dinamico: Sistema che evolve nel tempo Sistema discreto: L’intervallo temporale è discretizzato Sistema lineare: la legge che determina l’evoluzione è lineare

35 DISCRETIZZAZIONE TEMPORALE
è una funzione che misura la quantità che varia nel tempo sono i valori in corrispondenza ai tempi

36 f è una funzione lineare
EVOLUZIONE LINEARE sono definiti per ricorrenza f è una funzione lineare

37 MODELLO DI MALTHUS PROBLEMA
studiare come varia nel tempo una popolazione di batteri immersa in un liquido di cui si nutrono

38 IPOTESI DEL MODELLO Nascita di nuovi batteri Morte di alcuni batteri
Il numero di nati è proporzionale al numero di batteri presenti Il numero di morti è proporzionale al numero di batteri presenti

39 coefficiente di natalità
MODELLO coefficiente di natalità coefficiente di mortalità tasso di crescita

40 Il modello è lineare

41 Come si calcola l’abbondanza della popolazione al tempo t ?
Iteriamo l’equazione:

42 Se interviene anche un’immigrazione …

43 3 SITUAZIONI POSSIBILI la popolazione è in declino I morti superano i nati

44 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO

45 Con immigrazione: Si stabilizza al valore

46 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN CRESCITA

47 Lo stato della popolazione è STAZIONARIO

48 SVILUPPO DI UN ALGORITMO
E R I C A DISCRETIZZARE IL MODELLO CON LA MIGLIOR PRECISIONE POSSIBILE Problema continuo Problema discreto *