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Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases1 GRUPPO 13: Relatore: Mengoli Dario Mengoli Dario Rovatti Fabrizio Tassoni Davide.

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1 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases1 GRUPPO 13: Relatore: Mengoli Dario Mengoli Dario Rovatti Fabrizio Tassoni Davide Mohammad Kolahdouzan and Cyrus Shahabi

2 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases2 Introduzione Trovare i K Nearest-Neighbors in un Spatial Network Database Approcci esistenti sono basati sul: 1. Calcolo on-line delle distanze tra query e oggetti (Incremental Network Expansion) 2. Utilizzo di strutture a indici (M-tree, R-tree) Gli svantaggi di questi approcci sono: 1. Performance basse se le entità non sono densamente distribuite nella rete 2. Non applicabile per distanze non euclidee (es. distanze di rete) Devo trovare i 5 ristoranti più vicini

3 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases3 Regole generali Per ottenere un buon risultato un algoritmo deve avere alcune caratteristiche: 1. Incorporare le connettività di rete (es. strade) 2. Dare risposte efficienti per oggetti in movimento 3. Scalabile 4. Essere efficiente nellinserimento di collegamenti o nodi nella rete 5. Indipendente dalla densità dei punti di interesse 6. Possibilità di considerare query con vincoli su direzione e range

4 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases4 Voronoi Diagram Partiziona lo spazio in poligoni disgiunti Ogni punto appartiene a una sola cella ad eccezione dei punti di bordo che sono condivisi tra le celle adiacenti Punto di interesse Cella di Voronoi Ogni punto dentro il poligono ha come nearest point il generatore del poligono

5 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases5 Network Voronoi Diagram Specializzazione di un diagramma di Voronoi calcolato su una rete (dove gli oggetti sono posizionati sugli archi che connettono i nodi) Gli archi possono rappresentare le strade e i nodi i punti di intersezione tra le strade Le distanze tra gli oggetti dipendono dalle connettività della rete e non dalla loro posizione spaziale (non si considera la distanza euclidea)

6 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases6 Network Voronoi Diagram Nodo Link Punti di interesse Network Voronoi Polygon Punto di Bordo equidistante dai generatori (punto di interesse) delle celle adiacenti

7 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases7 Approccio utilizzato da VN 3 1. Creazione del Network Voronoi Diagram 2. Precalcolo delle distanze e memorizzazione 3. Generazione di un indice spaziale sui poligoni di Voronoi (R-tree) 4. Salvataggio per ogni cella dei poligoni adiacenti in tabelle di lookup 5. Calcolo del primo NN utilizzando lindice spaziale 6. Iterazione per K-1 volte per trovare gli altri NN: 1. Filter step 2. Refinement step

8 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases8 Passo 1 – Network Voronoi Diagram e Tabelle di Lookup Generazione dei Network Voronoi Polygons Precalcolo delle distanze, generazione dellindice spaziale (R-tree) e delle tabelle di lookup P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P7P7 P8P8 P9P9 P1P1 b9b9 P 14 P 13 P 12 P 11 P 10 b8b8 b7b7 b6b6 b5b5 b4b4 b3b3 b2b2 b1b1 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 26 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 30 b 29 b 28 b 27 b 33 b 31 b 32 b 37 b 36 b 35 b 34 b 40 b 39 b 38 n1n1 n2n2 n3n3 1.Distanza tra i punti di bordo con i punti interni al poligono (per ogni NVP) 2.Distanza tra i punti di bordo del poligono b1b1 P1P1 d n (b 1, P 1 ) b1b1 n1n1 d n (b 1, n 1 ) b1b1 n2n2 d n (b 1, n 2 ) b1b1 n3n3 d n (b 1, n 3 ) b2b2 ……… …… b1b1 b2b2 d n (b 1, b 2 ) ………… Questi calcoli verranno eseguiti per ogni singolo poligono. In questo modo si riduce la complessità spaziale e computazionale rispetto al caso in cui vengano calcolate le distanze tra ogni punto con tutti gli altri del grafo (punti di bordo<< punti totali) 1.Adiacenza poligoni 2.Punti di bordo 3.Distanze precalcolate

9 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases9 Passo 2 – Generazione dellindice spaziale e delle tabelle di lookup 1.Salvataggio in tabelle di lookup dei poligoni adiacenti 2.Creazione e salvataggio in memoria dell indice spaziale (R-tree) per i poligoni P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P7P7 P8P8 P9P9 P 1 b9b9 P 14 P 13 P 12 P 11 P 10 b8b8 b7b7 b6b6 b5b5 b4b4 b3b3 b2b2 b1b1 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 26 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 30 b 29 b 28 b 27 b 33 b 32 b 37 b 36 b 35 b 34 b 40 b 39 b 38 n1n1 n2n2 n3n3 b 31 P1P1 P 2, P 3, P 4, P 5, P 6 P2P2 P 1, P 3, P 6, P 7, P 8, P 10 P3P3 P 1, P 2, P 4, P 10, P 11 P4P4 ………… P1P1 NVP(P 1 ) P2P2 NVP(P 2 ) P3P3 NVP(P 3 ) ………

10 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases10 Ricerca 1° Nearest Neighbor Attraverso lindice spaziale R-tree si ricava il primo NN (poligono che contiene q) Accessi al disco O(log n), dove n sono i generatori della rete P8P8 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P7P7 P9P9 P1P1 b9b9 P 14 P 13 P 12 P 11 P 10 b8b8 b7b7 b6b6 b5b5 b4b4 b3b3 b2b2 b1b1 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 26 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 30 b 29 b 28 b 27 b 33 b 31 b 32 b 37 b 36 b 35 b 34 b 40 b 39 b 38 n1n1 n2n2 n3n3 q P1P1 NVP(P 1 ) P2P2 NVP(P 2 ) P3P3 NVP(P 3 ) ………

11 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases11 Passo 3 – Filter Step Si trovano i poligoni candidati a contenere il secondo NN attraverso le tabelle di lookup che contengono le informazione delle adiacenze tra poligoni P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P7P7 P8P8 P9P9 P1P1 b9b9 P 14 P 13 P 12 P 11 P 10 b8b8 b7b7 b6b6 b5b5 b4b4 b3b3 b2b2 b1b1 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 26 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 30 b 29 b 28 b 27 b 33 b 31 b 32 b 37 b 36 b 35 b 34 b 40 b 39 b 38 n1n1 n2n2 n3n3 q Proprietà : il numero di celle adiacenti per ogni poligono sono in media 6 Proprietà : il vicino successivo si trova necessariamente nei poligoni adiacenti ai poligoni contenenti i precedenti NN Vincola spazio di ricerca Accessi al disco totali: O(5k+1) O(k)

12 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases12 Passo 3 – Refinement step Si calcolano le distanze tra linsieme dei candidati (punti di interesse) trovati nel passo di filter con il punto query per trovare il prossimo NN. Per far questo è necessario usare due tipologie di distanze: Query to border computation Border to border computation Distanza tra il punto query e i punti di bordo del poligono che lo contiene (trovata attraverso le distanze salvate nelle tabelle di lookup) Distanze tra i bordi dei NVP, per far questo usano le distanze precalcolate allinizio e salvate nelle tabelle di lookup

13 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases13 Minimum possible network distance È la distanza minima tra q e un punto di interesse nella rosa dei candidati Proprietà: Se (P 1 ; …; P k ) è linsieme dei primi K generatori più vicini a q, allora il cammino minimo tra q e P k può passare solo attraverso una combinazione dei confini comuni tra i poligoni contenenti (P 1 ; …; P k ) Questo cammino può passare solo attraverso poligoni il cui generatore è già stato precedentemente selezionato come NN di q

14 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases14 Minimum possible network distance Se (P1, P2) sono i generatori più vicini a q già etichettati, il cammino più breve da q a P6 (il prossimo NN) può passare solo attraverso i confini comuni tra P1/P2 e P6 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P7P7 P8P8 P9P9 P1P1 b9b9 P 14 P 13 P 12 P 11 P 10 b8b8 b7b7 b6b6 b5b5 b4b4 b3b3 b2b2 b1b1 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 26 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 30 b 29 b 28 b 27 b 33 b 31 b 32 b 37 b 36 b 35 b 34 b 40 b 39 b 38 n1n1 n2n2 n3n3 q Primi 2 NN di q 3° NN Es: d mpn (q, P 6 ) = min{ d(q, b 6 )+d(b 6, P 6 ) ; d(q,b 7 )+d(b 7, P 6 ) ; d(q, b 8 )+d(b 8, b 9 )+d(b 8, b 9 )} Con VN 3 tutte queste singole distanze sono già precalcolate

15 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases15 Trovare il cammino minimo Al passo precedente si è etichettato il prossimo NN. Sono proposti due metodi per definire il cammino minimo: Network Voronoi Poligon Expansion Generazione di sottoreti Distance Computing Optimizazion Versione ottimizzata del precedente in grado di ricalcolare le distanze solo se necessario

16 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases16 Riassumendo…. 1. Precalcolo distanze, indice e tabelle 2. Ricerca del primo NN attraverso lindice 3. Generazione dei possibili candidati per il 2° NN 4. Calcolo delle minimun distance tra q e i candidati 5. Determinazione del 2° NN e determinazione del cammino minimo attraverso Dijkstra 6. Generazione dei possibili candidati per il 3° NN 7. ………

17 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases17 Esempio Stradale

18 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases18 Esempio Stradale

19 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases19 Inserimento punti di interesse

20 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases20 Calcolo delle distanze 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4

21 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases21 Generazione del Network Voronoi Diagram 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4 12,17

22 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases22 Affinamento dei Network Voronoi Poligons 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4 12,17

23 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases23 Pre-calcolo delle distanze Border-to-Generator 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4 d(P 1,b 1 )34,82 b1b1 P1P1 12,17

24 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases24 Precalcolo delle distanze Border-to-Generator 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 b6b6 b7b7 d(P 1,b 1 )34,82 ………………… 12,17 b8b8 b1b1 P1P1

25 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases25 Precalcolo delle distanze Query-to-Border 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4 d(n 1,b 1 )28,74 ………………… 12,17 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 b6b6 b7b7 b8b8 b1b1 n1n1 P1P1

26 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases26 Precalcolo delle distanze Border-to-Border 6,08 12,17 6,08 12,17 9,06 10,2 12,17 6,08 12,17 6,08 9,06 14,14 14,32 15,03 16,12 14,04 14,18 8, ,08 11,66 6,08 11,18 9,43 13,04 7,07 12,17 13,04 7,07 6,08 11,05 8,25 11,4 ………………… d(b 2,b 1 )35,295 ………………… 12,17 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 b6b6 b7b7 b8b8 b1b1 P1P1

27 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases27 Inserimento del Punto Query

28 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases28 Primo Nearest-Neighbor 1-NN

29 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases29 Filter-Step (Scelta dei candidati) 1-NN

30 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases30 Refinement-Step (calcolo delle distanze) 1-NN 2-NN

31 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases31 Refinement-Step (cammino minimo) 1-NN 2-NN

32 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases32 K-esimo Nearest-Neighbor 1-NN 2-NN 3-NN

33 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases33 K-esimo Nearest-Neighbor 1-NN 2-NN 3-NN

34 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases34 K-esimo Nearest-Neighbor 1-NN 2-NN 3-NN 4-NN

35 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases35 K-esimo Nearest-Neighbor 1-NN 2-NN 3-NN 4-NN

36 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases36 Update Network Modifiche alla rete comportano cambiamenti non allintero NVD ma solo ad alcuni poligoni e questo comporta il ricalcolo solo di alcune distanze Aggiunta/rimozione di link/nodi contenuti in un solo NVP ricalcolo delle distanze rispetto ai punti di bordo Eventuale ricalcolo della forma del NVP e delle distanze con i punti di bordo dei NVP Aggiunta/rimozione di link/nodi contenuti in un più NVP Rigenerazione dei NVP interessati e di quelli adiacenti Aggiunta/rimozione di un punto dinteresse La modifica della rete interesserà solo il poligono che contiene il punto dinteresse aggiunto/rimosso ed alcuni poligoni adiacenti.

37 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases37 VN 3 vs Incremental Network Expansion Il tempo totale di risposta di VN 3 è fino ad un ordine di grandezza in meno rispetto a INE VN3 ha un tempo di calcolo nullo indipendentemente dalla densità dei punti, INE peggiora di molto se ho una bassa densità dei punti di interesse VN3 ha più utilizzo cpu a causa delle distanze precalcolate ma ha meno accessi in memoria

38 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases38 Overhead precalcoli Il numero di precalcoli aumenta quando la densità dei punti di interesse diminuisce in quanto i NVP devono ricoprire aree più grandi Nellapproccio Naive dove si calcolano le distanze tra tutte le coppie di nodi sono richiesti comunque 3,2 miliardi di precalcoli!!! Overhead dei precalcoli Meno densi Più densi

39 Voronoi-Based K Nearest Neighbor Search for Spatial Network Databases39 Conclusioni VN3 migliora le prestazioni di INE di un fattore che varia da 1,5 a 12 a seconda della densità dei punti di interesse La fase di Filter Step genera un set di candidati 4 volte più piccolo rispetto approcci tradizionali e varia di poco a seconda della densità dei punti di interesse Complessità totale degli accessi al disco O(k+log(n)) Implementato utilizzando semplici strutture dati (es: R-tree, tabelle) Il precalcolo richiede bassa complessità spaziale e temporale poiché interessa aree più piccole (rispetto allintera rete)


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