LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA
La misura in geometria 4° incontro: 4 aprile 2017 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017
L’area e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 193 a pag. 202) 7.1 Confronto di superfici 7.2 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura arbitrarie 7.3 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali 7.4 Determinazione dell’area di una figura piana Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

L’area e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 193 a pag. 202) ITINERARIO DIDATTICO 7.1 Confronto di superfici 7.1.1 Utilizzo della manipolazione 7.1.2 Utilizzo della rappresentazione grafica 7.2 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura arbitrarie 7.2.1 Utilizzo di unità di misura di un solo tipo 7.2.2 Utilizzo contemporaneo di più unità di misura 7.3 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali 7.3.1 Utilizzo dei sottomultipli del metro quadrato 7.3.2 Utilizzo del metro quadrato 7.3.3 Completamento del sistema di unità di misura convenzionali dell’area 7.4 Determinazione dell’area di una figura piana 7.4.1 Costruzione della formula per il calcolo della misura dell’area di un rettangolo 7.4.2 Costruzione della formula per il calcolo della misura dell’area di particolari classi di poligoni 7.4.3 Determinazione dell’area di un poligono mediante opportune scomposizioni o composizioni 7.4.4 Determinazione dell’area del cerchio Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

RIFLETTIAMO SUPERFICIE SONO SINONIMI? AREA Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

DEFINIZIONI (da “Zingarelli 2066 ed. Zanichelli)
Superficie: piano che delimita un corpo Area (mat): misura dell’estensione di una superficie (da “Dizionario di matematica elementare di Stella Baruk ed. Zanichelli) Superficie: parte esterna di un corpo che lo limita in tutti i sensi-la superficie della luna, dell’acqua Area è una grandezza; la sua misura in u2 è un numero Ricercare l’uso delle due parole nel linguaggio comune Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Un po’ di confusione Da un sussidiario di classe quinta Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Concetto di area (di Clara Colombo Bozzolo)
Stabiliamo nell'insieme P dei poligoni la relazione di equiestensione Si dimostra che tale relazione è di equivalenza, cioé è: riflessiva, simmetrica e transitiva. Possiamo allora fare una partizione dell’insieme P, mediante la relazione data, in classi di equivalenza: ogni classe ha come elementi un poligono e tutti quelli che sono ad esso equiestesi. Ogni classe d'equivalenza è un'area. Ciò equivale a dire: i poligoni appartenenti alla stessa classe hanno la stessa area. Possiamo allora parlare di " area di un poligono" pensando tale poligono come un rappresentante della classe considerata. L'insieme delle aree è un insieme di grandezze omogenee, quindi possiamo parlare di misura di un’area. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Misura dell’ area (di Clara Colombo Bozzolo)
Se un'area U viene chiamata unità di misura, per una qualsiasi area A il rapporto A/U viene chiamato misura di A rispetto ad U. L'unità U può essere presa arbitrariamente, tuttavia se è stata fissata per le lunghezze l'unità u, per le aree si usa come unità di misura l'area del quadrato di lato u. Nel sistema internazionale si è scelto il metro quale unità di misura per le lunghezze, quindi come unità di misura per le aree si prende il metro quadrato (unità derivata; simbolo: m2) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Consideriamo situazioni diverse: le figure hanno estensione molto diversa e una di esse è sovrapponibile all'altra; il confronto, a occhio, è immediato Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) le figure sono un po' meno diverse, ma sono simili; anche in questo caso la sovrapposizione risolve il problema Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) nel caso di due figure qualsiasi, che non rientrino nei primi due casi considerati, anche se poligonali, il problema si complica per tutti. Qual è la più estesa di queste due figure? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Con un po' di fantasia e un pizzico di fortuna potremmo magari arrivare a scoprire che la situazione presentata è "quasi banale ": le due figure sono equiestese Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Ma non sempre si è " così fortunati" ! Per risolvere situazioni difficili come le precedenti abbiamo avviato gli allievi a confrontare l'estensione di due figure ( e quindi le loro aree ) a) per mezzo della bilancia b) per mezzo di una reticolazione opportuna. Nel caso a) il confronto è slegato dalla misura dell'area delle figure considerate, nel caso b)il confronto avviene attraverso la misura. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Facciamo ritagliare in un cartone le due figure da confrontare e mettiamole sui piatti di una bilancia a due bracci che abbia buona sensibilità: - se si fanno equilibrio i pesi sono uguali e, a parità di tipo di cartone, le due figure sono sicuramente equiestese e quindi hanno la stessa area se non si fanno equilibrio la più pesante è anche la più estesa ed è quindi la figura con area maggiore. Gli allievi possono anche costruire, con il medesimo cartoncino, la "pesiera in centimetri quadrati" per poter conoscere, con buona approssimazione, la misura dell'area delle figure considerate rispetto al cm2 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

b)L'uso delle carte reticolate di vari tipo fino a quella millimetrata è di grande aiuto sia per il confronto di aree, sia per il calcolo della misura dell'area di una figura, quando si assuma quale unità di misura la "cella del reticolo ". Inoltre, se la reticolazione è in centimetri quadrati o in millimetri quadrati, si ha la misura dell'area con le unità convenzionali. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Sperimentare e intuire che…
se due figure sono congruenti allora le loro superfici sono ugualmente estese esistono figure non congruenti, addirittura di forma diversa, le cui superfici hanno uguale estensione nel ricoprire una figura con le parti di un’altra non si devono lasciare parti scoperte e non si devono fare sovrapposizioni l’estensione complessiva della superficie di una figura non cambia se la figura viene suddivisa in parti, le quali sono poi riaccostate, senza spazi vuoti e senza sovrapposizioni, per formare una nuova figura. Per comunicare gli esiti dei confronti gli alunni utilizzeranno espressioni come “… è più/meno esteso di …”, “… è esteso come …”. Per indicare l’uguaglianza di estensione si preferisce l’utilizzo del termine equiesteso rispetto ad equivalente, dato che l’equiestensione è una particolare relazione di equivalenza. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

equiestensione per equiscomponibilità
Si assegnano alcune figure piane e si invitano gli alunni a costruire figure piane ottenute accostando le figure date. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

equiestensione per equiscomponibilità
Si assegnano alcune figure piane e si dà agli alunni la consegna di colorare nello stesso modo la superficie delle figure ottenute con gli stessi pezzi Se due figure sono equiestese si dice che hanno uguale area. Se due figure non sono equiestese esse non hanno uguale area. È maggiore l’area della figura più estesa. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

A CACCIA DI FIGURE EQUIESTESE
Osserva i seguenti poligoni. Colora nello stesso modo le superfici dei poligoni che hanno uguale area. Poligoni di area diversa devono essere di colore diverso. Come hai proceduto per stabilire quali poligoni hanno uguale area? …………………………… Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

A CACCIA DI FIGURE EQUIESTESE
Rappresenta nella seguente tabella la relazione “… ha area maggiore di …”. a b c d e f g Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

LETTERE IN UN QUADRATO Claudia, Martina e Zemira con molta fantasia e pochi materiali inventano giochi divertenti. Oggi hanno preparato cartoncini colorati di forma quadrata e tutti uguali fra loro e altri tre cartoncini quadrati, più piccoli dei precedenti ma sempre uguali tra loro. Il gioco consiste nel ricavare dai cartoncini più grandi figure che ricordano le lettere dell’alfabeto, ritagliando da ognuno una parte uguale ad uno dei cartoncini più piccoli. Questo è il formato dei due tipi di cartoncini. Ecco la forma ottenuta dalle tre amiche per alcune lettere dell’alfabeto. Le tre figure hanno uguale area? ………………… Perché? …………………………………. Confronta la tua risposta con quelle dei tuoi compagni e discutine con l’insegnante. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

LETTERE IN UN QUADRATO Zemira ha realizzato anche le seguenti lettere, ritagliando da ognuno dei quadrati grandi due rettangoli uguali alla metà del quadrato piccolo. Le figure ottenute da Zemira hanno uguale area? …………… Perché? ……………………….. Hanno area uguale alle figure precedenti? ……………………. Perché? ……………………… Confronta le tue risposte con quelle dei tuoi compagni e discutine con l’insegnante. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

LETTERE IN UN QUADRATO Si può presentare lo stesso lavoro su griglia Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Una scelta ... laboriosa (di Clara Colombo Bozzolo)
Quale di questi disegni è il più esteso? Fai dapprima una previsione ...ad occhio, poi calcola l’area di ogni figura in unità quadretto e rispondi alla domanda che ti è stata posta. Scrivi sotto ogni figura la sua area. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Una scelta ... laboriosa (di Clara Colombo Bozzolo)
Fare una previsione a occhio non è facile, ma non è neppure facile trovare, in quadretti, la misura dell'area di ciascuna figura poiché alcuni quadretti non sono divisi a metà. (Le tre figure sono equiestese e l’area di ciascuna vale quattordici quadretti e mezzo) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

COSTRUZIONI A PREMIO Durante una lezione di matematica l’insegnate prepara un gioco legato alle tabelline che i ragazzi studiano poco e mal volentieri. All’inizio della gara viene distribuito ad ogni alunno un quadrato grigio che rappresenta il primo pezzo della costruzione; ad ogni risposta esatta si vince un triangolo rettangolo isoscele. Ecco le costruzioni di Simone(fig.1), Andrea(fig.2), Laura(fig.3), e Eleonora(fig.4). Tra questi alunni, chi ha fatto più punti? …………. Perché? Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4 SIMONE ANDREA LAURA ELEONORA Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Soluzione Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4 SIMONE ANDREA LAURA ELEONORA Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

La carta a reticolazione quadrata è anche utile per affrontare il problema del cambiamento dell'unità di misura di area. Presentiamo un esempio: Boby, cane geometrico Calcola la misura dell’area di Boby rispetto alle unità di misura indicate e spiega, caso per caso, il legame che vi è tra le unità di misura e le misure ottenute. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Unità di misura Misura dell’area ……….. a b c d Calcola la misura dell’area di Boby rispetto alle unità di misura indicate e spiega, caso per caso, il legame che vi è tra le unità di misura e le misure ottenute. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Le carte reticolate sono anche molto utili per determinare l’area di figure qualsiasi Si metterà in evidenza come l'uso di un'unità di misura via, via più piccola approssimi meglio la misura dell'area della figura considerata. Esempio: misura dell'area di figure non poligonali. Unità di misura di area Unità di misura di area Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Avremo quindi per le aree i seguenti intervalli: 2a< area foglia <12a 16b<area foglia<40b La conoscenza della misura di b rispetto ad a, b = 1/4 a può migliorare la misura dell'area della foglia rispetto ad a in quanto permette di "restringere" l'intervallo iniziale di misura rispetto ad a: 16 b=(16 : 4) a= 4 a 40 b=(40 : 4) a = 10a Abbiamo dunque: 4a < area foglia < 10a Sono i ragionamenti che i ragazzi devono poi fare per passare dal m2 al dm2, da questo al cm2 e infine al mm2. Il rapporto tra due unità consecutive è 1/100 invece che 1/4, come nell'esempio, ma il ragionamento è lo stesso. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Da “Misurare per capire: aree, volumi e densità” di Sandra Amatiste Dalle risposte dei ragazzi si può capire che a quattordici anni il concetto di area è stato già soppiantato da una regola mnemonica di calcolo. Infatti tutti gli studenti effettuano i calcoli delle aree regolari A e B utilizzando le formule (base x altezza), ma incontrano difficoltà quasi insormontabili quando affrontano il problema posto dalle figure C e D. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Da “Misurare per capire: aree, volumi e densità” di Sandra Amatiste
Le operazioni da fare sono le seguenti: -scelta del quadrato unitario, -sovrapposizione di una griglia formata da quadrati unitari alla figura in esame, -conteggio dei quadrati che stanno dentro e di quelli che coprono totalmente la figura Il valore ottenuto con la misura non è esatto (devo associare un errore), mentre il risultato di un calcolo ottenuto con una formula lo è (o sembra esserlo). Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

UN PUZZLE GEOMETRICO Irina, Carolina, Giacomo, Nabil e Aziz stanno giocando con un puzzle particolare. Ogni bambino ha a disposizione un piano di gioco come quello disegnato A turno, ciascun giocatore estrae una carta che mostra la forma della piastrella con cui tutti devono ricoprire esattamente il loro piano di gioco. Per farlo ci sono a disposizione tante piastrelle per ogni tipo. Se necessario, le tessere possono essere tagliate. Vince chi esegue il ricoprimento con il minor numero di piastrelle. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Carolina estrae la carta che mostra questo tipo di piastrella: Prova anche tu a ricoprire il piano di gioco con il tipo di piastrella estratto da Carolina. Sei riuscito ad effettuare il ricoprimento? ……………… Ti è stato necessario tagliare delle piastrelle? ……… Se hai risposto sì, quante piastrelle hai tagliato? ………………………… Quante piastrelle hai usato? …………………… Nabil estrae la carta che mostra la piastrella Prova anche tu a ricoprire il piano di gioco con il tipo di piastrella estratto da Nabil. Sei riuscito ad effettuare il ricoprimento? ……………… Ti è stato necessario tagliare delle piastrelle? ……… Se hai risposto sì, quante piastrelle hai tagliato? ……………………………….. Quante piastrelle hai usato? …………………… Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

La piastrella estratta da Irina ha la forma: Prova anche tu a ricoprire il piano di gioco con il tipo di piastrella estratto da Irina. Sei riuscito ad effettuare il ricoprimento? ……………… Ti è stato necessario tagliare delle piastrelle? ……… Se hai risposto sì, quante piastrelle hai tagliato? ………… Quante piastrelle hai usato? …………………… Aziz ha estratto la carta con la piastrella: Prova anche tu a ricoprire il piano di gioco con il tipo di piastrella estratto da Aziz. Sei riuscito ad effettuare il ricoprimento? ……………… Ti è stato necessario tagliare delle piastrelle? ……… Se hai risposto sì, quante piastrelle hai tagliato? ………… Quante piastrelle hai usato? …………………… Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Questa è la piastrella estratta da Giacomo: Prova anche tu a ricoprire il piano di gioco con il tipo di piastrella estratto da Giacomo. Sei riuscito ad effettuare il ricoprimento? ……………… Ti è stato necessario tagliare delle piastrelle? ……… Se hai risposto sì, quante piastrelle hai tagliato? ………… Quante piastrelle hai usato? …………………… Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Irina 10 piastrelle di cui due tagliate Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Aziz13 piastrelle di cui una tagliata Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Giacomo7 piastrelle di cui una tagliata Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Quadrilateri: la misura dell'area
Nell’insegnamento, di solito, si danno le formule per il calcolo delle aree “figura per figura”. Sarebbe a nostro parere più opportuno dare le formule delle aree per “famiglie di figure”, cioè per gruppi di figure che hanno tra loro, riguardo all’area, un forte legame. Limitandoci ai quadrilateri speciali possiamo distinguere almeno tre grandi famiglie: i parallelogrammi i quadrilateri con le diagonali perpendicolari i trapezi. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

I parallelogrammi La misura dell’area di qualsiasi parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza di un lato (scelto come base) per quella della relativa altezza . Questa regola vale quindi anche per il rombo. In un parallelogramma le altezze sono due (una per ogni coppia di lati paralleli) : Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Parallelogrammi Dopo aver scoperto la formula che dà la misura dell'area del rettangolo, per i rombi e i romboidi, la ricerca della formula che dà la misura dell'area si ottiene con la classica trasformazione di ciascuna di queste figure in un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma considerato: h b Se b è la misura del lato scelto come base e h quella della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area è: mis.area = b x h Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

I quadrilateri con le diagonali perpendicolari
La misura dell’area di qualsiasi quadrilatero con le diagonali perpendicolari si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza di una diagonale per quella dell’altra diagonale e dividendo il prodotto per due. Questa regola vale quindi anche per il rombo (e il quadrato). Attraverso i disegni che seguono diamo in sintesi l’iter che, a nostro parere, bisognerebbe percorrere per trattare questo argomento Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

• diagonali di lunghezza diversa: rombo Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

• diagonali di lunghezza uguale: quadrato Naturalmente con gli allievi non si parte dal disegno ma dalla manipolazione di rettangoli in cui si fanno piegature opportune, parallelamente alle rette dei due lati consecutivi Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Il discorso che segue vale, in particolare, anche quando il quadrilatero considerato è un trapezio con le diagonali perpendicolari Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

APPLICANDO …LE FORMULE
L’allievo, quando gli viene chiesto di calcolare la misura dell’area di una figura dovrebbe sempre porsi due domande, prima di scegliere la formula da usare: a quale(i) famiglia(e) di poligoni appartiene la figura data quali sono gli elementi della figura che si conoscono. Dopo aver dato le risposte corrette, sceglie il procedimento più opportuno per il calcolo della misura dell’area della figura. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Percorso operativo per la ricerca della formula che dà la misura dell'area di qualunque quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari Si consegnano ad ogni allievo due rettangoli uguali (possibilmente di carta colorata) e si danno le seguenti istruzioni: In ogni rettangolo: fare una stessa piega parallela al lato minore, che non divida il rettangolo a metà fare una stessa piega parallela al lato maggiore, che non divida il rettangolo a metà. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Percorso operativo per la ricerca della formula che dà la misura dell'area di qualunque quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari Aprire bene un rettangolo e incollalo su un foglio ripassare le due piegature con la matita mettere, in stampatello maiuscolo, una lettera ad ogni estremo di tali piegature unire, con la matita, gli estremi della piegatura più corta con gli estremi dell'altra mettere in evidenza il quadrilatero che così viene a formarsi (ABCD) il rettangolo di partenza resta suddiviso in otto triangoli rettangoli a due a due congruenti. Segnare con uno stesso contrassegno due triangoli congruenti uniti lungo l'ipotenusa. C D A B Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Osservazioni: - il rettangolo contiene esattamente due quadrilateri uguali con le diagonali perpendicolari (per alcuni allievi è difficile da … accettare!) - i lati del rettangolo sono lunghi come le diagonali del quadrilatero quindi l'area del quadrilatero considerato è la metà dell'area del rettangolo che ha i lati lunghi come le diagonali del quadrilatero. Indicando con d1 e d2 la misura delle lunghezze delle diagonali, la formula che dà la misura dell'area del quadrilatero è quindi : Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

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