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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013 1 Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare.

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Presentazione sul tema: "Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013 1 Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare."— Transcript della presentazione:

1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 22 aprile 2013

2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Larea e la sua misura (da Nel mondo della geometria vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 193 a pag. 202) 7.1 Confronto di superfici 7.2 Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura arbitrarie 7.3 Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali 7.4 Determinazione dellarea di una figura piana

3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Larea e la sua misura (da Nel mondo della geometria vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 193 a pag. 202) ITINERARIO DIDATTICO 7.1 Confronto di superfici Utilizzo della manipolazione Utilizzo della rappresentazione grafica 7.2 Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura arbitrarie Utilizzo di unità di misura di un solo tipo Utilizzo contemporaneo di più unità di misura 7.3 Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Utilizzo dei sottomultipli del metro quadrato Utilizzo del metro quadrato Completamento del sistema di unità di misura convenzionali dellarea 7.4 Determinazione dellarea di una figura piana Costruzione della formula per il calcolo della misura dellarea di un rettangolo Costruzione della formula per il calcolo della misura dellarea di particolari classi di poligoni Determinazione dellarea di un poligono mediante opportune scomposizioni o composizioni Determinazione dellarea del cerchio

4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio RIFLETTIMO SUPERFICIE AREA SONO SINONIMI?

5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio DEFINIZIONI (da Zingarelli 2066 ed. Zanichelli) Superficie: piano che delimita un corpo Area (mat): misura dellestensione di una superficie (da Dizionario di matematica elementare di Stella Baruk ed. Zanichelli) Superficie: parte esterna di un corpo che lo limita in tutti i sensi -la superficie della luna, dellacqua Area è una grandezza; la sua misura in u 2 è un numero Ricercare luso delle due parole nel linguaggio comune

6 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Concetto di area (di Clara Colombo Bozzolo) Stabiliamo nell'insieme P dei poligoni la relazione di equiestensione Si dimostra che tale relazione è di equivalenza, cioé è: riflessiva, simmetrica e transitiva. Possiamo allora fare una partizione dellinsieme P, mediante la relazione data, in classi di equivalenza: ogni classe ha come elementi un poligono e tutti quelli che sono ad esso equiestesi. Ogni classe d'equivalenza è un'area. Ciò equivale a dire: i poligoni appartenenti alla stessa classe hanno la stessa area. Possiamo allora parlare di "area di un poligono" pensando tale poligono come un rappresentante della classe considerata. L'insieme delle aree è un insieme di grandezze omogenee, quindi possiamo parlare di misura di un area.

7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misura dell area (di Clara Colombo Bozzolo) Se un'area U viene chiamata unità di misura, per una qualsiasi area A il rapporto A/U viene chiamato misura di A rispetto ad U. L'unità U può essere presa arbitrariamente, tuttavia se è stata fissata per le lunghezze l'unità u, per le aree si usa come unità di misura l'area del quadrato di lato u. Nel sistema internazionale si è scelto il metro quale unità di misura per le lunghezze, quindi come unità di misura per le aree si prende il metro quadrato ( unità derivata; simbolo: m 2 )

8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Consideriamo situazioni diverse: le figure hanno estensione molto diversa e una di esse è sovrapponibile all'altra; il confronto, a occhio, è immediato

9 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) le figure sono un po' meno diverse, ma sono simili; anche in questo caso la sovrapposizione risolve il problema

10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) nel caso di due figure qualsiasi, che non rientrino nei primi due casi considerati, anche se poligonali, il problema si complica per tutti. Qual è la più estesa di queste due figure?

11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Con un po' di fantasia e un pizzico di fortuna potremmo magari arrivare a scoprire che la situazione presentata è "quasi banale " : le due figure sono equiestese

12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Ma non sempre si è " così fortunati" ! Per risolvere situazioni difficili come le precedenti abbiamo avviato gli allievi a confrontare l'estensione di due figure (e quindi le loro aree) a) per mezzo della bilancia b)per mezzo di una reticolazione opportuna. Nel caso a) il confronto è slegato dalla misura dell'area delle figure considerate, nel caso b)il confronto avviene attraverso la misura.

13 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Facciamo ritagliare in un cartone le due figure da confrontare e mettiamole sui piatti di una bilancia a due bracci che abbia buona sensibilità: -se si fanno equilibrio i pesi sono uguali e, a parità di tipo di cartone, le due figure sono sicuramente equiestese e quindi hanno la stessa area -se non si fanno equilibrio la più pesante è anche la più estesa ed è quindi la figura con area maggiore. -Gli allievi possono anche costruire, con il medesimo cartoncino, la "pesiera in centimetri quadrati" per poter conoscere, con buona approssimazione, la misura dell'area delle figure considerate rispetto al cm 2

14 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misura dell area (di Clara Colombo Bozzolo) b)L'uso delle carte reticolate di vari tipo fino a quella millimetrata è di grande aiuto sia per il confronto di aree, sia per il calcolo della misura dell'area di una figura, quando si assuma quale unità di misura la "cella del reticolo ". Inoltre, se la reticolazione è in centimetri quadrati o in millimetri quadrati, si ha la misura dell'area con le unità convenzionali.

15 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Una scelta... laboriosa (di Clara Colombo Bozzolo) Quale di questi disegni è il più esteso? Fai dapprima una previsione...ad occhio, poi calcola larea di ogni figura in unità quadretto e rispondi alla domanda che ti è stata posta. Scrivi sotto ogni figura la misura della sua area.

16 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Una scelta... laboriosa (di Clara Colombo Bozzolo) Fare una previsione a occhio non è facile, ma non è neppure facile trovare, in quadretti, la misura dell'area di ciascuna figura poiché alcuni quadretti non sono divisi a metà. (Le tre figure sono equiestese e larea di ciascuna vale quattordici quadretti e mezzo)

17 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misura dell area (di Clara Colombo Bozzolo) La carta a reticolazione quadrata è anche utile per affrontare il problema del cambiamento dell'unità di misura di area. Presentiamo un esempio: Boby, cane geometrico Calcola la misura dellarea di Boby rispetto alle unità di misura indicate e spiega, caso per caso, il legame che vi è tra le unità di misura e le misure ottenute.

18 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Calcola la misura dellarea di Boby rispetto alle unità di misura indicate e spiega, caso per caso, il legame che vi è tra le unità di misura e le misure ottenute. Unità di misuraMisura dellarea ……….. a b c d

19 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misura dell area (di Clara Colombo Bozzolo) Le carte reticolate sono anche molto utili per determinare la misura dell'area di figure non poligonali. Si metterà in evidenza come l'uso di un'unità di misura via, via più piccola approssimi meglio la misura dell'area della figura considerata. Esempio: misura dell'area di figure non poligonali. Unità di misura di area

20 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misura dell area (di Clara Colombo Bozzolo) Avremo quindi per le aree i seguenti intervalli: 2a< area foglia <12a 16b

21 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Da Misurare per capire: aree, volumi e densità di Sandra Amatiste Dalle risposte dei ragazzi si può capire che a quattordici anni il concetto di area è stato già soppiantato da una regola mnemonica di calcolo. Infatti tutti gli studenti effettuano i calcoli delle aree regolari A e B utilizzando le formule (base x altezza), ma incontrano difficoltà quasi insormontabili quando affrontano il problema posto dalle figure C e D.

22 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Da Misurare per capire: aree, volumi e densità di Sandra Amatiste Le operazioni da fare sono le seguenti: -scelta del quadrato unitario, -sovrapposizione di una griglia formata da quadrati unitari alla figura in esame, -conteggio dei quadrati che stanno dentro e di quelli che coprono totalmente la figura Il valore ottenuto con la misura non è esatto (devo associare un errore), mentre il risultato di un calcolo ottenuto con una formula lo è (o sembra esserlo).

23 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Il lavoro sulla quadrettatura ordinaria dei quaderni utilizzati dagli alunni di anni consente di condurre importanti riflessioni sulla diversità di rapporto tra le misure di lunghezze e quelle di area. Infatti, in genere i quadretti dei quaderni hanno lato lungo 0,5cm, ossia mezzo centimetro: si può affermare che larea di uno di questi quadretti è mezzo centimetro quadrato. Graficamente si verifica che per avere un quadrato di lato lungo 1cm, quindi di area 1cm 2, è necessario accostare due righe ognuna di due quadretti ab La rappresentazione bene visualizza che larea del quadrato con il lato lungo 0,5cm è ¼ dellarea del quadrato con il lato lungo 1cm;

24 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Si possono sintetizzare le relazioni con gli operatori 2 4 Lunghezza del lato del quadrato a Area del quadrato a Lunghezza del lato del quadrato b Area del quadrato b

25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Lutilizzo della carta millimetrata consente di introdurre il millimetro quadrato e il suo legame con il centimetro quadrato. In analogia con la definizione del centimetro quadrato, un millimetro quadrato è larea, indicata con 1mm 2, del quadrato con il lato lungo 1mm. Si suggerisce di evidenziare mediante coloritura 1mm 2, 1cm 2 e un rettangolo formato da una colonna di dieci millimetri quadrati, come mostrato in figura

26 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Larea del rettangolo può essere messa in relazione sia con il millimetro quadrato sia con il centimetro quadrato mediante operatori che valgono 10

27 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Larea di 1cm 2 è ricoperta da uno schieramento di 10 colonne ognuna con 10mm 2, quindi è uguale a 100mm 2 : il lato del quadrato con area 1cm 2 è 10 volte il lato del quadrato di area 1mm 2, mentre la sua area è 100 volte quella del millimetro quadrato: Lunghezza del lato del quadrato di area 1mm 2 Quadrato di area 1mm 2 Lunghezza del lato del quadrato di area di 1cm 2 Quadrato di area 1cm

28 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Il millimetro quadrato risulta, dunque, essere la centesima parte del centimetro quadrato: 1mm 2 = 1/100 di 1cm 2 = 0,01cm 2 Una decina di millimetri quadrati non è sufficiente per formare un centimetro quadrato, ne è la decima parte, per cui 10mm 2 = 1/10 di 1cm 2 = 0,1cm 2 Ne segue che due sono le cifre dopo la virgola che si riferiscono ai millimetri quadrati: quella dei decimi e quella dei centesimi di centimetro quadrato

29 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Tabella delle misure quadrate

30 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali Esempi Nella scrittura 5,24cm 2 la parte decimale indica 2 decine di millimetri quadrati e 4 unità di millimetri quadrati. Per esprimere rispetto ai centimetri quadrati unarea di 3cm 2 e 7mm 2 è necessario esprimere la mancanza di decine di millimetri quadrati, ossia di decimi di centimetro quadrato, per cui si ha 3,07cm 2. Invece, larea di 4cm 2 e 30mm 2 si scrive come 4,30cm 2 (sui libri si trova 4,3cm 2,lo 0 è proprio inutile? Gli alunni possono essere indotti in errore e leggere 3mm 2 e non 30mm 2 ) dove il 3 indica le decine di millimetri quadrati, ossia i decimi di centimetro quadrato.

31 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Misurazione dellarea di una figura piana con unità di misura convenzionali La carta centimetrata permette la visualizzazione del decimetro quadrato, che è larea del quadrato con il lato lungo 1dm. 1cm 2 x10 :10 1dm 2

32 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio UNA PRESINA RICAMATA Zia Teresa sta preparando i regalini di Natale e vuole ritagliare da un pezzetto di stoffa una presina quadrata da ricamare. Su carta centimetrata prepara lo schema della presina a grandezza reale. Quanto è lungo il lato del quadrato? ……….dm Il quadrato con il lato di 1dm rappresenta un decimetro quadrato; si scrive 1dm 2 Qual è larea del quadretto su cui è stato disegnato il fiore? ……… Qual è larea della striscia su cui sono state disegnate le nuvole? Da quanti centimetri quadrati è formata una striscia? …………… Da quante strisce è formato un decimetro quadrato? ……………. Da quanti centimetri quadrati è formato un decimetro quadrato? 1dm 2 = ………cm 2

33 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio DECIMETRI QUADRATI E CENTIMETRI QUADRATI Completa la seguente tabella come nellesempio Decimetri quadrati Centimetri quadrati 425 4dm 2 e 25cm 2 = 425 cm 2 …..34 2dm 2 e cm 2 = cm dm 2 e …....cm 2 = 108cm 2 25 ….dm 2 e …..cm 2 = ………..cm 2 ….….. 13dm 2 e 21cm 2 = ……….. cm 2 10……. …..dm 2 e 6cm 2 = ………..cm 2 380…….dm 2 e …… cm 2 = …….cm 2 …..2571dm 2 e …… cm 2 = ………..cm 2

34 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio IL METRO QUADRATO E I SUOI SOTTOMULTIPLI Completa la seguente tabella. m2m2 dm 2 cm 2 mm 2 dau u u u 8,34cm cm 2 700dm 2 13,4m dm m cm 2 31

35 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le formule per calcolare la misura dellarea dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) Far scoprire agli allievi la formula valida per la ricerca della misura dellarea del rettangolo, date le misure dei lati, Si considerino i seguenti cinque rettangoli

36 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le formule per calcolare la misura dellarea dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) E di ognuno si calcoli il perimetro in centimetri con lapprossimazione al millimetro (Si danno compilate solo le prime due colonne) ( Osservazione: tutti i rettangoli hanno lo stesso perimetro, cioè sono ISOPERIMETRICI. PROBLEMA: sono anche ugualmente estesi, cioè EQUIESTESI?

37 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le formule per calcolare la misura dellarea dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) Si riproducano i cinque rettangoli su carta millimetrata rispettando le lunghezze dei lati. Si calcoli larea di ciascuno contando i quadretti

38 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le formule per calcolare la misura dellarea dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) Il disegno deve essere fatto su carta millimetrata Si hanno (5x5) quadrati = 25quadrati Ciascun quadrato vale 1cm 2, quindi 25cm 2 10 rettangoli: ciascuno vale ½ cm 2, in tutto altri 5cm 2 1 quadratino che vale ¼ di cm 2, cioè 25 mm 2 I 3025 mm 2 equivalgono a 30cm 2 e 25mm 2 cioè 30,25cm 2

39 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Quadrilateri: la misura dell'area Nellinsegnamento, di solito, si danno le formule per il calcolo delle aree figura per figura. Sarebbe a nostro parere più opportuno dare le formule delle aree per famiglie di figure, cioè per gruppi di figure che hanno tra loro, riguardo allarea, un forte legame. Limitandoci ai quadrilateri speciali possiamo distinguere almeno tre grandi famiglie: i parallelogrammi i quadrilateri con le diagonali perpendicolari i trapezi.

40 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I parallelogrammi La misura dellarea di qualsiasi parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza di un lato (scelto come base) per quella della relativa altezza. Questa regola vale quindi anche per il rombo. In un parallelogramma le altezze sono due (una per ogni coppia di lati paralleli) :

41 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Parallelogrammi Dopo aver scoperto la formula che dà la misura dell'area del rettangolo, per i rombi e i romboidi, la ricerca della formula che dà la misura dell'area si ottiene con la classica trasformazione di ciascuna di queste figure in un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma considerato: h b Se b è la misura del lato scelto come base e h quella della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area è: mis.area = b x h

42 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I quadrilateri con le diagonali perpendicolari La misura dellarea di qualsiasi quadrilatero con le diagonali perpendicolari si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza di una diagonale per quella dellaltra diagonale e dividendo il prodotto per due. Questa regola vale quindi anche per il rombo (e il quadrato). Attraverso i disegni che seguono diamo in sintesi liter che, a nostro parere, bisognerebbe percorrere per trattare questo argomento

43 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I quadrilateri con le diagonali perpendicolari diagonali di lunghezza diversa: rombo

44 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I quadrilateri con le diagonali perpendicolari diagonali di lunghezza uguale: quadrato Naturalmente con gli allievi non si parte dal disegno ma dalla manipolazione di rettangoli in cui si fanno piegature opportune, parallelamente alle rette dei due lati consecutivi

45 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I quadrilateri con le diagonali perpendicolari Il discorso che segue vale, in particolare, anche quando il quadrilatero considerato è un trapezio con le diagonali perpendicolari

46 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio APPLICANDO …LE FORMULE Lallievo, quando gli viene chiesto di calcolare la misura dellarea di una figura dovrebbe sempre porsi due domande, prima di scegliere la formula da usare: a quale(i) famiglia(e) di poligoni appartiene la figura data quali sono gli elementi della figura che si conoscono. Dopo aver dato le risposte corrette, sceglie il procedimento più opportuno per il calcolo della misura dellarea della figura.

47 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Percorso operativo per la ricerca della formula che dà la misura dell'area di qualunque quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari Si consegnano ad ogni allievo due rettangoli uguali (possibilmente di carta colorata) e si danno le seguenti istruzioni: In ogni rettangolo: fare una stessa piega parallela al lato minore, che non divida il rettangolo a metà fare una stessa piega parallela al lato maggiore, che non divida il rettangolo a metà.

48 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Percorso operativo per la ricerca della formula che dà la misura dell'area di qualunque quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari Aprire bene un rettangolo e incollalo su un foglio -ripassare le due piegature con la matita -mettere, in stampatello maiuscolo, una lettera ad ogni estremo di tali piegature -unire, con la matita, gli estremi della piegatura più corta con gli estremi dell'altra -mettere in evidenza il quadrilatero che così viene a formarsi (ABCD) -il rettangolo di partenza resta suddiviso in otto triangoli rettangoli a due a due congruenti. -Segnare con uno stesso contrassegno due triangoli congruenti uniti lungo l'ipotenusa. C D A B

49 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio C D A B Osservazioni: - il rettangolo contiene esattamente due quadrilateri uguali con le diagonali perpendicolari (per alcuni allievi è difficile da … accettare!) - i lati del rettangolo sono lunghi come le diagonali del quadrilatero quindi l'area del quadrilatero considerato è la metà dell'area del rettangolo che ha i lati lunghi come le diagonali del quadrilatero. Indicando con d 1 e d 2 la misura delle lunghezze delle diagonali, la formula che dà la misura dell'area del quadrilatero è quindi :

50 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Trapezio Per far scoprire la formula che dà la misura dell'area del trapezio, tra i procedimenti possibili, quello che comporta il raddoppio della figura: Sono dati due trapezi congruenti. Se ne ritaglia uno e si accosta all'altro come nella figura che segue. Si ottiene così un parallelogramma avente come base un segmento uguale alla somma delle basi del trapezio come altezza la stessa altezza del trapezio. Area doppia di quella del trapezio Indicando con b 1 e b 2 le misure delle lunghezze delle basi e con h la misura della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area del trapezio è:

51 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Triangoli : la misura dell'area Dato un triangolo, per scoprire la formula che dà la misura dell'area si fanno disegnare e ritagliare sei triangoli uguale a quello dato e si accostano a due a due lungo uno dei lati. Poiché i lati sono tre l'accostamento può dar luogo a un parallelogramma o a un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, come si può costatare dai disegni che seguono: b1b1 b1b1 b1b1 b1b1 h1h1 h1h1 h1h1 h 1

52 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si nota che in ogni quadrilatero sono contenuti esattamente due triangoli uguali a quello dato. Quindi, se si indicano con b 1 le misure delle lunghezze di un lato del triangolo e con h 1 della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area del triangolo è: Nel terzo caso si può far notare il quadrilatero ottenuto ha le diagonali perpendicolari e la misura delle lunghezze di tali diagonali è rispettivamente b 1 e 2xh 1 quindi anche la misura della sua area è data da. b1b1 h1h1 b1b1 b1b1 h1h1 h1h1 b1b1 h 1

53 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio RETTANGOLI COSA SUCCEDE DEL PERIMETRO QUANDO LAREA RIMANE UGUALE? COSA SUCCEDE DELLAREA QUANDO IL PERIMETRO RIMANE UGUALE?

54 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio CASO DI RETTANGOLI CON AREA UGUALE COSTRUIAMO RETTANGOLI LA CUI AREA SIA 16 cm 2 E OSSERVIAMO COME VARIA IL PERIMETRO

55 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio a b c A(a) = 16cm 2 x 1 = 16cm 2 A(b) = 8cm 2 x 2 = 16cm 2 A(c) = 4cm 2 x 4 = 16cm 2 2p(a) = (16+1)cm x2 = 34cm 2p(b) = (8+2)cm x2 = 20cm 2p(c) = (4+4)cm x2 = 16cm Il quadrato ha il perimetro MINIMO Rettangoli con area di 16cm 2

56 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio CONCLUSIONE I RETTANGOLI CON AREA UGUALE POSSONO AVERE PERIMETRO DIVERS0. TRA QUESTI NE ESISTE UNO CON IL PERIMETRO MINIMO

57 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruiamo, su un geopiano centimetrato, rettangoli con lo stesso perimetro e vediamo cosa succede allarea Cordicella lunga 20cm per costruire sul geopiano rettangoli isoperimetrici. Usiamo, per esempio, una cordicella

58 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio PROBLEMA Su un foglio centimetrato riproduci i rettangoli che hai costruito sul geopiano e calcola larea. Perimetro in cmDifferenza, in cm, tra le misure dei lati Area in cm 2 (1+9)x2=2081x9= 9 (2+8)x2=2062x8=16 (3+7)x2=2043x7=21 (6+4)x2=2026x4=24 (5+5)x2=2005x5=25 Il quadrato ha area massima

59 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio CONCLUSIONE I RETTANGOLI CON PERIMETRO UGUALE POSSONO AVERE AREA DIVERSA. TRA QUESTI NE ESISTE UNO CON L AREA MASSIMA

60 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio

61 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Verso il Teorema di Pitagora (di Clara colombo bozzolo)

62 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Premessa Litinerario proposto può essere usato: in quinta elementare per il ripasso dellinsieme dei triangoli, con particolare attenzione alla loro classificazione rispetto ai lati e rispetto agli angoli alla scuola media, in classe seconda, come premessa alla trattazione, con dimostrazione, del teorema di Pitagora. Il problema che si presenta permette, inoltre, lintroduzione della similitudine dei triangoli attraverso lomotetia.

63 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio saper classificare i triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli conoscere la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo saper usare il goniometro conoscere i legami tra le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli di un triangolo ( a lati uguali sono opposti angoli uguali, a lati diversi angoli diversi) conoscere la terminologia relativa ai triangoli rettangoli saper calcolare la misura dellarea del quadrato, data la misura del lato.

64 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Verso il Teorema di Pitagora Il problema si suddivide in due sotto problemi: 1°Problema : Conoscendo, in un triangolo, lampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? 2°Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli?

65 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema È consigliabile partire da un caso particolare: Di un triangolo ABC sai che: il lato AB è lungo 8 cm gli angoli di vertici A e B sono ampi rispettivamente 60° e 70°. Disegna il triangolo. Calcola lampiezza dellangolo di vertice C senza usare il goniometro. Classifica il triangolo rispetto ai lati e rispetto agli angoli e giustifica le risposte che dai.

66 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema Il triangolo è: acutangolo perché ha tre angoli acuti Scaleno perché a angoli diversi si oppongono lati diversi Se non ti avessi dato la lunghezza di AB, avresti potuto classificare il triangolo rispetto agli angoli? si, no Perché? rispetto ai lati? si, no Perché? ( Segna con una crocetta la risposta giusta).

67 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Completa la prima tabella che segue e disegna i sette triangoli m,n,p,q,r,s,t che in essa compaiono. Per ognuno di essi disegna il lato AB di 6cm. Determina lampiezza dellangolo di vertice C con un calcolo, poi controlla, usando il goniometro, se il calcolo che hai fatto è corretto. ( I disegni richiesti e il controllo dellampiezza dellangolo di vertice C servono anche per verificare se lallievo sa usare il goniometro in modo corretto). Completa successivamente la seconda tabella. Invece di dare la tabella si potrebbe proporre agli allievi di classificare i triangoli ottenuti con un diagramma di Eulero-Venn o con un diagramma ad albero oppure con una tabella costruita però da loro.

68 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema : Conoscendo, in un triangolo, lampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triangolomisura ampiezza in gradi dellangolo il triangolo ABC rispetto ABCA B C ? agli angoli è ai lati è m n p q 60 r 45 s t 80 triangolomisura ampiezza in gradi dellangolo il triangolo ABC rispetto ABC A B C? agli angoli è ai lati è m acutangolo scaleno n ottusangoloisoscele p rettangoloscaleno q 60 acutangoloisosc. equil. r 45 90rettangoloisoscele s ottusangoloscaleno t 80 20acutangoloisoscele

69 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema : Conoscendo, in un triangolo, lampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Seconda eventuale tabella triangolo acutangolo rettangoloottusangolo scaleno m p s isoscele equilatero q non equil. t r n A questo punto si pone agli allievi la seguente domanda: Se non ti avessi dato la lunghezza del lato AB avresti potuto disegnare i sette triangoli?

70 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Un allievo dice immediatamente di no perché, giustifica, mancherebbe il lato su cui appoggiare i due angoli da disegnare. Altri allievi sono incerti, altri, pochi, sono convinti che la lunghezza di AB può essere scelta a piacere perché affermano cambia la grandezza del triangolo ma non le sue qualità rispetto ai lati e agli angoli, perché non cambiano gli angoli. Si propone di scegliere per il lato AB la lunghezza che si vuole, ma una diversa dallaltra, ridisegnare i sette triangoli e osservare che cosa succede. Si possono dividere gli allievi in tre gruppi e ogni gruppo sceglie per il lato AB una lunghezza a piacere ( diversa da 6cm).

71 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Come era prevedibile gli allievi scelgono numeri naturali, precisamente: 4cm, 8cm, 10cm. Naturalmente ogni gruppo e non ogni allievo, disegna, con la misura scelta, i sette triangoli in triplice copia. I disegni vengono fatti fare su fogli colorati: 4cm giallo, 8cm rosso, 10cm azzurro. Finito il disegno si osservano i 28 triangoli ottenuti ( compresi i sette triangoli iniziali con il lato di 6cm e tracciati su carta bianca) e si chiede agli allievi di mettere assieme, uno per ogni colore, quelli che, secondo loro, si assomigliano anche se non sono grandi uguali. La scelta non presenta difficoltà. Dicono gli allievi: Abbiamo messo assieme quelli che, grandi o piccoli, hanno la stessa forma.

72 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Consideriamo il triangolo ottusangolo scaleno con gli angoli ampi 30° e 40° e vediamo i disegni corrispondenti alle quattro lunghezze del lato AB: 4cm, 6cm, 8cm e 10cm (i disegni non sono in scala).

73 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si dispongono i triangoli in modo che si corrispondano in una omotetia. Il centro dellomotetia può essere esterno alle figure, sul loro contorno o interno ad esse. Dallomotetia si passa alla similitudine applicando ad ogni triangolo una isometria a piacere.

74 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Conclusione: Quando di un triangolo conosciamo lampiezza di due angoli possiamo determinare lampiezza del terzo angolo e quindi possiamo classificare tale triangolo sia rispetto agli angoli, sia rispetto ai lati. Se vogliamo disegnarlo ne troviamo tantissimi perché possiamo scegliere la lunghezza di un lato a piacere. Questi triangoli che disegniamo hanno però tutti la stessa forma, ognuno è lingrandimento o il rimpicciolimento di un altro: si dice che sono triangoli simili. Se vogliamo disegnare tutti lo stesso triangolo dobbiamo fissare lampiezza di due angoli e scegliere tutti la stessa lunghezza per il lato su cui appoggiano i due angoli. Alla scuola secondaria si può passare a considerare sia i criteri di congruenza che quelli di similitudine tra triangoli e a studiare la similitudine tra poligoni.

75 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triang.lunghezza in cm di ogni lato ampiezza, in gradi di ogni angolo il triangolo ABC rispetto ABCABBCAC A BC ai lati è agli angoli è e6,5 f g4,25,6 7 h i 4 68,5

76 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Anche per la risoluzione di questo problema siamo partiti da un caso particolare. Di un triangolo ABC sai che i lati AB, BC, AC sono lunghi rispettivamente 7cm, 5cm, 6cm. Disegna il triangolo, usando righello e compasso, e classificalo sia rispetto ai lati che rispetto agli angoli. Rispetto ai lati il triangolo è scaleno. Rispetto agli angoli è acutangolo

77 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio °Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triang.lunghezza in cm di ogni lato ampiezza, in gradi di ogni angolo il triangolo ABC rispetto ABCABBCAC A BC ai lati è agli angoli è e6,5 60 isosc.eq.acutangolo f scaleno g8,56 4 scaleno h isoscele i 7 65 scaleno

78 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Osservazione per il docente: I disegni degli allievi sono spesso imprecisi, le misure trovate con il goniometro anche. Succede quindi che, in alcuni casi, un triangolo sia ottusangolo per alcuni, rettangolo o acutangolo per altri. Nella tabella proposta i casi in cui non vi è stato accordo sono stati, come prevedibile, il g (tr. rettangolo) e lh ( tr. ottusangolo). Nel caso g limprecisione è dovuta alla presenza dei millimetri nelle lunghezze dei lati. Nel caso h al fatto che il triangolo è quasi rettangolo. Infatti per alcuni allievi tale triangolo era acutangolo, per altri rettangolo e per altri ancora ottusangolo. Naturalmente tali misure sono state scelte di proposito per suscitare una discussione sulle informazioni che possiamo ricavare da un disegno, tenuto conto delle inevitabili imprecisioni sia grafiche, sia dovute alluso di strumenti di misura. A questo punto abbiamo detto che i matematici hanno scoperto una regola che permette di risolvere il problema di cui ci stiamo occupando.

79 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Invece di lavorare sulle lunghezze dei lati provate a considerare il quadrato di tali lunghezze e a confrontare il quadrato maggiore con la somma degli altri due. (Si possono considerare tutti i triangoli disegnati) Misura dei lati in cm Quadrato della misura dei lati in cm ,2 5,6717,6431, , ,25...

80 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Siano a,b,c ( a b c) le lunghezze dei lati di un triangolo, si ha:

81 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio In geometria, il quadrato della misura di una lunghezza in centimetri che cosa rappresenta? La risposta è stata immediata: La misura, in centimetri quadrati, dellarea del quadrato il cui lato ha la lunghezza considerata. Si passa ad una verifica grafica delle uguaglianze e disuguaglianze sopra scritte. Prima però abbiamo, come sempre, ribadito agli allievi che noi abbiamo verificato queste regole in un numero finito di casi, facendo anche riferimento al disegno che è un modello impreciso, ma che i matematici hanno dimostrato che queste regole (teoremi), per i triangoli, valgono sempre.

82 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Triangolo rettangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm 2, dell area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB 2 BC 2 CA =

83 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Tra le numerose verifiche grafiche possibili, relative al Teorema di Pitagora, abbiamo scelta quella che ci sembrava più semplice per ragazzi di questa età Costruzione: Dal centro O di uno dei quadrati costruiti sui cateti si tracciano le parallele ai lati del quadrato costruito sullipotenusa. Si ottengono così i quattro quadrilateri congruenti m, n, s, t. Si dispongono assieme al quadrato q, come in figura, nel quadrato di lato AC.

84 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Triangolo acutangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm 2, dell area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB 2 BC 2 CA <

85 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Triangolo ottusangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm 2, dell area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB 2 BC 2 CA 2 8,546 72, ,25 >

86 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio IL TEOREMA DI PITAGORA La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo ( a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi. Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo.

87 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Un po di lessico Il termine matematica deriva dal greco mathematikos, attribuito a Pitagora: colui che vuole apprendere(in modo scientifico). Il termine ipotenusa viene dal greco hupo sotto e teinein tendere: lato che è teso sotto langolo retto. Il termine cateto viene dal greco kàthetos, derivato da kathiénai manda giù, inteso come linea perpendicolare.

88 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Teorema di Pitagora con semicirconferenze

89 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Teorema di Pitagora con i triangoli equilateri Alla scuola media si consiglia, dopo aver dimostrato, per via algebrica o geometrica, il Teorema di Pitagora valendosi dei tre quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo, di estendere tale teorema ai seguenti casi: considerare, invece dei tre quadrati, tre poligoni simili (in particolare poligoni regolari con lo stesso numero di lati)

90 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Teorema di Pitagora con i pentagoni regolari

91 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio

92 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio


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