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DEFINIZIONE. Per area di una figura piana si intende la misura della sua superficie. 1 Lequivalenza delle figure piane Per misurare la superficie di una.

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1 DEFINIZIONE. Per area di una figura piana si intende la misura della sua superficie. 1 Lequivalenza delle figure piane Per misurare la superficie di una figura occorre confrontarla con ununità di misura. Lunità di misura delle superfici è il metro quadrato (m 2 ) con i suoi multipli e sottomultipli: km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 Qualunque sia il suo contorno, ogni figura piana occupa sempre una superficie.

2 1 Lequivalenza delle figure piane Accostando fra loro un triangolo equilatero, un quadrato e un rettangolo 2 è possibile ottenere le seguenti figure che, essendo composte dagli stessi poligoni, occupano la stessa superficie. Esaminiamo un altro concetto fondamentale della geometria piana: lequivalenza delle superfici.

3 1 Lequivalenza delle figure piane PROPRIETÀ. Due figure congruenti sono sempre equivalenti. Due figure equivalenti non sono, in generale, congruenti. PROPRIETÀ. Due figure congruenti sono sempre equivalenti. Due figure equivalenti non sono, in generale, congruenti. DEFINIZIONE. Tra due poligoni con diversa superficie, il poligono con lestensione maggiore prende il nome di prevalente, quello con lestensione minore di suvvalente. 3 In generale DEFINIZIONE. Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono equivalenti. In simboli: A = B e si legge: A equivalente a B DEFINIZIONE. Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono equivalenti. In simboli: A = B e si legge: A equivalente a B

4 1 Figure equicomposte PROPRIETÀ. Due figure equicomposte sono necessariamente equivalenti. Primo casoEquiscomponibilità mediante somma di figure PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante somma di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti. 4 Si possono presentare due casi.

5 1 Figure equicomposte Secondo casoEquiscomponibilità mediante differenza di figure PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti. 5

6 2 Larea del rettangolo 6 REGOLA. Larea del rettangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dellaltezza. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse: A = (5 4) cm 2 = 20 cm 2

7 3 Larea del quadrato 7 REGOLA. Larea del quadrato si ricava moltiplicando la misura del lato per se stessa. In simboli: Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa: A = 4 2 cm 2 = 16 cm 2

8 4 Larea del parallelogrammo 8 PROPRIETÀ. Il parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza. Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse: Di conseguenza possiamo concludere: REGOLA. Larea del parallelogrammo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dellaltezza. In simboli:

9 5 Larea del triangolo 9 PROPRIETÀ. Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo avente la stessa base e la stessa altezza. Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse: Di conseguenza: REGOLA. Larea del triangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dellaltezza ad essa relativa e dividendo il risultato ottenuto per due. In simboli:

10 5 La formula di Erone 10 REGOLA. Larea di un triangolo, di cui si conoscono le misure dei lati, è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le singole differenze tra il semiperimetro stesso e ciascun lato. In simboli: ab c

11 6 Larea del rombo 11 PROPRIETÀ. Il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alle sue diagonali. Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse: Pertanto: REGOLA. Larea del rombo si calcola moltiplicando fra loro la misura delle due diagonali e dividendo il prodotto per due. In simboli:

12 6 Larea del rombo 12 Come caso particolare possiamo considerare il quadrato come un rombo avente le diagonali congruenti e utilizzare la stessa formula per calcolare larea nota la misura della sua diagonale: Da questa formula possiamo ricavare la seguente formula inversa:

13 6 Larea del deltoide 13 PROPRIETÀ. Il deltoide è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alla diagonale maggiore e alla diagonale minore del deltoide stesso. Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse: Pertanto: REGOLA. Larea del deltoide si calcola moltiplicando la misura della diagonale maggiore per quella della diagonale minore e dividendo il prodotto per due. In simboli:

14 7 Larea del trapezio 14 REGOLA. Larea del trapezio si ricava moltiplicando la somma delle basi per la misura dellaltezza e dividendo il prodotto ottenuto per due. In simboli: PROPRIETÀ. Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza. Di conseguenza: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

15 8 Larea di un poligono circoscritto ad una circonferenza 15 REGOLA. Larea di un poligono circoscritto ad una circonferenza è data dal prodotto del semiperimetro del poligono per la misura del raggio della circonferenza. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

16 8 Larea di un poligono regolare 16 REGOLA. Larea di un poligono regolare è uguale al prodotto del quadrato della misura del lato per il valore del relativo numero fisso φ. In simboli: Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa: n° lati Numero φ 3 0, , , , , , , ,196 Oltre le formule precedenti per un poligono regolare vale la seguente Nella seguente tabella è riportato il numero fisso caratteristico di ciascun poligono regolare.

17 9 Larea di un poligono irregolare 17 scomponiamo il poligono: Abbiamo ottenuto i triangoli T 1, T 2, T 3, il rettangolo R e il trapezio rettangolo T r. Pertanto: Dovendo calcolare larea del poligono


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