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Cap. 12 Area dei quadrilateri e del triangolo. Area Un qualsiasi poligono, per definizione, racchiude al suo interno una porzione di piano Si definisce.

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1 Cap. 12 Area dei quadrilateri e del triangolo

2 Area Un qualsiasi poligono, per definizione, racchiude al suo interno una porzione di piano Si definisce area la misura di questa porzione di piano L area è la misura della porzione di piano che si trova all interno di una linea spezzata chiusa non intrecciata

3 Misure diretta di unarea Innanzitutto ricordiamoci cosa significa misurare? Innanzitutto ricordiamoci cosa significa misurare? Nel caso di unarea questa grandezza corrisponde ad una superficie unitaria come mostrato in figura area Superficie unitaria Se vado a contare quante volte la superficie unitaria entra nellarea trovo il valore si 32 Ho eseguito una misura diretta di superficie perché ho preso una superficie unitaria e ho visto quante volte era contenuta nella superficie da misurare

4 Misura indiretta di unarea Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento unitario Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento unitario Ripetiamo la stessa suddivisione precedente dellarea Ripetiamo la stessa suddivisione precedente dellarea Abbiamo 4 file da 8 quadratini di area u 2, otteniamo lo stesso risultato facendo 4u x 8u Abbiamo 4 file da 8 quadratini di area u 2, otteniamo lo stesso risultato facendo 4u x 8u Questo equivale a fare: A = a x d Questo equivale a fare: A = a x d In questo modo non abbiamo fatto una misura diretta dellarea ma labbiamo calcolata. Il calcolo di unarea equivale ad una misura indiretta perché non ho fatto alcun confronto fra la grandezza in esame e la sua unità di misura

5 Area del rettangolo Consideriamo il seguente rettangolo Consideriamo il seguente rettangolo Indichiamo con b la base e con h laltezza Indichiamo con b la base e con h laltezza Per quanto detto prima larea sarà: Per quanto detto prima larea sarà: base altezza A = b x h

6 Altezza di un triangolo Consideriamo un triangolo Consideriamo un triangolo Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A Sia H la proiezione di A su AC Sia H la proiezione di A su AC Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo Cioè la distanza di A dal lato BC Cioè la distanza di A dal lato BC

7 Area del triangolo Consideriamo il seguente triangolo Consideriamo il seguente triangolo Tracciamo laltezza relativa al lato c Tracciamo laltezza relativa al lato c Risulta chiaro che in questo caso noi mon possiamo semplicemente moltiplicare c x h per trovare larea Risulta chiaro che in questo caso noi mon possiamo semplicemente moltiplicare c x h per trovare larea Se lo facessimo troveremmo larea di questo rettangolo Se lo facessimo troveremmo larea di questo rettangolo Area rettangolo = c x h Ma che relazione esiste fra larea del triangolo e quella del rettangolo? …. Cerchiamo di scoprirla

8 Secondo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno un lato uguale e uguale i due angoli ad esso adiacenti Consideriamo due triangoli che hanno un lato uguale e uguale i due angoli ad esso adiacenti Siccome noi sappiamo che la somme degli angoli interni di un triangolo è 180° laltro angolo sarà necessariamente uguale Siccome noi sappiamo che la somme degli angoli interni di un triangolo è 180° laltro angolo sarà necessariamente uguale Perciò i due triangoli sono uguali Perciò i due triangoli sono uguali 2 triangoli sono uguali se hanno uguale un lato e gli angoli ad esso adiacenti Cosa centra? Vediamolo subito

9 Relazione fra area del triangolo e del rettangolo aventi la stessa base ed altezza Consideriamo la eseguente figura DE e AB sono paralleli perché perpendicolari ad AD b è la trasversale e 1 sono uguali perché alterni interni e 1 sono uguali perché alterni interni I triangoli DCA e ACN sono uguali per il secondo principio di congruenza hanno il lato b in comune e i due angoli ad esso adiacenti congruenti

10 a è anchessa una trasversale dei stessi lati paralleli perciò sono uguali per lo stesso motivo gli angoli e 1 e 1 I triangoli BCE e CNB sono uguali per il secondo principio di congruenza hanno il lato a in comune e i due angoli ad esso adiacenti congruenti

11 Conclusioni Il rettangolo ADEB risulta suddiviso dallaltezza h in due rettangoli ADCN e CNBE Il rettangolo ADEB risulta suddiviso dallaltezza h in due rettangoli ADCN e CNBE Il triangolo è suddiviso dallaltezza in due triangoli ACN e NCB Il triangolo è suddiviso dallaltezza in due triangoli ACN e NCB BDCN è il doppio di ACN perché è formato da 2 triangoli uguali a ACN BDCN è il doppio di ACN perché è formato da 2 triangoli uguali a ACN NCEB è il doppio di NCB perché è formato da 2 triangoli uguali a NCB NCEB è il doppio di NCB perché è formato da 2 triangoli uguali a NCB Larea del rettangolo è il doppio dellarea di un triangolo avente la stessa base e la stessa altezza

12 Formula dellarea del triangolo A rettangolo = 2 A triangolo AtAt 1 2 ArAr AtAt 1 2 ArAr bh bh Larea del rettangolo è data dal semiprodotto della base per laltezza ad essa relativa

13 Area del trapezio Consideriamo il seguente trapezio Sia M il punto medio del lato l 2 Tacciamo la retta che passa per B 1 ed M Essa intercetta il prolungamento di B nel punto E Consideriamo i triangoli B 1 CM e DME Essi sono uguali per il secondo criterio di congruenza CM = DM per costruzione = perché opposti al vertice = perché alterni interni L area del trapezio è equivalente a quella del triangolo AB 1 E perché è come se noi tagliassimo dal trapezio il triangolo B 1 CE e lo andassimo ad incollare al lato MD

14 Perciò se noi calcoliamo l area di questo triangolo è come se avessimo calcolato l area del trapezio Se B 1 CM e DME sarà anche c = b (base minore) La base del mio triangolo sarà esattamente uguale alla somma della base maggiore e della base minore del trapezio AE = B+b L altezza h è rimasta la stessa perciò l area del triangolo AB 1 E sarà: AE = base maggiore + base minore

15 L area del trapezio è data dalla somma delle basi per l altezza diviso 2

16 Area del parallelogrammo Consideriamo il seguente parallelogrammo Lo possiamo suddividere in un triangolo e in un trapezio rettangolo Immaginiamo di spostare il triangolo ADE facendo coincidere il lato e col lato l Otteniamo un rettangolo la cui base e altezza coincidono con quelle del rettangolo In pratica il rettangolo DEFC è equivalente al parallelogrammo ABCD Perciò larea del parallelogrammo sarà …..

17 Area del rombo Prendiamo il seguente rombo Tracciamo le diagonali Da A e C tracciamo le parallele alla diagonale d 1 Da B e D quelle parallele alla diagonale d 2 Si intersecano nei punti HKLM che saranno anche gli estremi di un rettangolo Questo rettangolo ha la base uguale a d 1 e laltezza pari a d 2 La sua area sarà A = d 1 x d 2 Per motivi analoghi al triangolo la sua area è il doppio di quella del rombo Pertanto larea del rombo sarà…. d 1 d 2

18 Area del deltoide Come si vede dalla seguente figura la situazione è analoga a quella del rombo pertanto la formula della sua area sarà la stessa

19 Area del quadrato Il quadrato è un rettangolo perciò la sua area sarà Il quadrato è un rettangolo perciò la sua area sarà A = b x l A = b x l Ma nel quadrato questi due valori saranno uguali e vengono indicati con l pertanto larea del quadrato è ….. Ma nel quadrato questi due valori saranno uguali e vengono indicati con l pertanto larea del quadrato è ….. l l


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