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Cap. 4 Le combinazioni degli enti geometrici fondamentali e degli assiomi.

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Presentazione sul tema: "Cap. 4 Le combinazioni degli enti geometrici fondamentali e degli assiomi."— Transcript della presentazione:

1 Cap. 4 Le combinazioni degli enti geometrici fondamentali e degli assiomi

2 Definizione di c c c c c oooo mmmm bbbb iiii nnnn aaaa zzzz iiii oooo nnnn eeee Operazione che mette insieme due o più cose affini, secondo un determinato criterio e per ottenere un certo risultato Nel nostro caso mettiamo insieme gli enti geometrici fondamentali e gli assiomi per ottenere altre entità geometriche

3 Punti c c c c c oooo iiii nnnn cccc iiii dddd eeee nnnn tttt iiii D u e p u n t i s i d i c o n o c o i n c i d e n t i s e o c c u p a n o l a s t e s s a p o s i z i o n e Per indicare che due punti coincidono usa il simbolo Punto A coincide con B A B A B

4 Definizione di linea geometrica Ente geometrico che si caratterizza per presentare una sola dimensione: la lunghezza Come tutte le definizioni è una proposizione pertanto risulta sufficientemente definito indipendentemente dalla sua rappresentazione materiale Per indicarla si usa una lettere dellalfabeto miniscolo a Linea a A B I punti A e B si dicono estremi della linea

5 Tipi di linea Le linee possono essere semplici o intrecciate; aperte o chiuse Le linee possono essere semplici o intrecciate; aperte o chiuse AB a Linea aperta semplice Una linea si dice rintracciata se si attraversa in uno o più punti C D H Linea aperta intrecciata b Linea chiusa semplice K Linea chiusa intrecciata Una linea si dice chiusa se i suoi estremi coincidono AB

6 La linea retta Si definisce retta uninsieme infinito e illimitato di punti posti uno dietro laltro, senza soluzione di continuità, che mantengono sempre la stessa direzione

7 Modello di retta Per modello si retta possiamo prendere in considerazione un filo teso fra due punti Per modello si retta possiamo prendere in considerazione un filo teso fra due punti Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più ridotte Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più ridotte

8 Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dalloperazione svolta) Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dalloperazione svolta)

9 Semiretta S i d e f i n i s c e s e m i r e t t a c i a s c u n a d e l l e d u e p a r t i i n c u i u n a r e t t a è d i v i s a d a u n s u o p u n t o

10 Caratteristiche della semiretta In pratica una semiretta ha un punto di origine che la limita da una parte mentre dellaltra essa risulta formata da un numero infinito e illimitato di punti che si susseguono uno dietro laltro, senza soluzione di continuità, mantenendo la stessa direzione In pratica una semiretta ha un punto di origine che la limita da una parte mentre dellaltra essa risulta formata da un numero infinito e illimitato di punti che si susseguono uno dietro laltro, senza soluzione di continuità, mantenendo la stessa direzione Il modello di semiretta è rappresentato da un laser Il modello di semiretta è rappresentato da un laser

11 La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne rappresenta lorigine e un verso che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semiretta La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne rappresenta lorigine e un verso che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semiretta Due o più semirette che hanno unorigine in comune condividono la stessa origine Due o più semirette che hanno unorigine in comune condividono la stessa origine P rverso r s t k H semiretta Semirette con origine in comune

12 Piano Si definisce piano una superficie infinita che mantiene sempre la stessa pendenza Si definisce piano una superficie infinita che mantiene sempre la stessa pendenza Se ciò non si verificasse si avrebbe una superficie curva Se ciò non si verificasse si avrebbe una superficie curva Un caso particolare di piano è quello orizzontale che ha pendenza nulla Un caso particolare di piano è quello orizzontale che ha pendenza nulla Ha due dimensioni: lunghezza e larghezza Ha due dimensioni: lunghezza e larghezza

13 Modello e rappresentazione del piano Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera dellalfabeto greco minuscola Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera dellalfabeto greco minuscola lunghezza larghezza

14 Piano e retta Piano e retta possono essere: Complanari Incidente Parallelo r complanari r r incidente parallelo

15 Osservazioni Una retta r complanare ad un piano ha tutti i suoi punti in comune col piano Una retta r complanare ad un piano ha tutti i suoi punti in comune col piano In questo caso si dice che la retta r giace sul piano In questo caso si dice che la retta r giace sul piano Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo che una retta che giace sul piano lo divide in due parti uguali dette semipiani Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo che una retta che giace sul piano lo divide in due parti uguali dette semipiani

16 Semipiano Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui un pano risulta suddiviso da una retta complanare

17 Riguardiamo le seguenti figure r complanari r incidente r parallelo Cosa succede de una retta ha 2 punti di contatto col piano? A quale caso può corrispondere?

18 Se una retta ha due punti di contatto col piano è ad esso complanare

19 Retta e punto Per un punto passano infinite rette Le infinite rette che passano per un punto costituiscono un fascio proprio di rette Il punto per cui passano le rette è detto centro del fascio

20 Retta e due punti Per due punti passa una ed una sola retta

21 Rette per tre punti I tre punti non sono allineati Passano 3 rette I tre punti sono allineati Passa una retta

22 Per tre punti non allineati passano 3 rette Per tre punti allineati passa una ed una sola retta

23 Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta Una volta costatato che per tre punti allineati passa una sola retta quando 3 punti si dicono allineati?

24 Intersezione di piani Consideriamo i seguenti due piani La loro intersezione sarà data da una retta r Posso tracciare un altro piano che contiene r? Quanti piani conterranno la retta r? Infiniti

25 Due piani che si intersecano danno origine ad una retta Per una retta passano infiniti piani

26 Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune

27 Piani per due punti Quanti piani passano per 2 punti? Quanti piani passano per 2 punti? Questa domanda rimanda direttamente a quella di quante rette passano per due punti? Questa domanda rimanda direttamente a quella di quante rette passano per due punti? Secondo voi perché? Secondo voi perché? Per due punti passa una sola retta perciò …. Per due punti passa una sola retta perciò …. Per due punti passano infiniti piani

28 Piani per tre punti allineati Vi ricordate la definizione di punti allineati? Vi ricordate la definizione di punti allineati? Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta Allora quanti piani passano per tre punti allineati? P e r t r e p u n t i a l l i n e a t i p a s s a n o i n f i n i t i p i a n i

29 Piani per tre punti non allineati Consideriamo 3 punti non allineati Consideriamo 3 punti non allineati Per due punti passa una retta e perciò infiniti piani Per due punti passa una retta e perciò infiniti piani Ma il terzo può appartenere contemporaneamente agli infiniti piani? Ma il terzo può appartenere contemporaneamente agli infiniti piani? Se no può appartiene solo ad un piano particolare Se no può appartiene solo ad un piano particolare ma allora ….. ma allora ….. A B C r

30 La retta r appartiene Al piano Agli infiniti piani a cui r è complanare Il punto C appartiene ad un solo dei piani del fascio di piani passanti per r Perciò per tre punti passa ….

31 Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano

32 Gli elementi di Euclide Gli Elementi di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dallantica grecia. Gli Elementi di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dallantica grecia. Composti tra il IV e III secolo a.c. rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo. Composti tra il IV e III secolo a.c. rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo. L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre la geometria solida. L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre la geometria solida. Da wikipedia

33 Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su 5 nozioni comuni, quelle che ora sono dette assiomi. Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su 5 nozioni comuni, quelle che ora sono dette assiomi. Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette parallele e i triangoli, il famoso postulato da cui si deduce che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180° Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette parallele e i triangoli, il famoso postulato da cui si deduce che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180° « In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti. » « In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti. »

34 LLLL eeee g g g g eeee oooo mmmm eeee tttt rrrr iiii aaaa n n n n oooo nnnn e e e e uuuu cccc llll iiii dddd eeee eeee La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette che non si intersecano perciò) i segmenti divergono anchessi In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette che non si intersecano perciò) i segmenti divergono anchessi Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non esistono rette parallele e i segmenti convergono anchessi Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non esistono rette parallele e i segmenti convergono anchessi

35 I triangoli e le tre geometrie Triangolo iperbolico: la somma degli angoli è minore di 180° Triangolo Euclideo: la somma degli angoli è di 180° Triangolo ellittico: la somma degli angoli è maggiore di 180° Immagine che riassume le tre diverse geometrie


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