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IL SISTEMA EUCLIDEO CON CONTAMINAZIONI TRATTE DAI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA DI D.HILBERT.

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Presentazione sul tema: "IL SISTEMA EUCLIDEO CON CONTAMINAZIONI TRATTE DAI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA DI D.HILBERT."— Transcript della presentazione:

1 IL SISTEMA EUCLIDEO CON CONTAMINAZIONI TRATTE DAI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA DI D.HILBERT

2 ENTI PRIMITIVI Punto Retta Piano Spazio

3 Relazioni primitive Stare su (o appartenere) Stare tra Essere uguale a

4 ASSIOMI 1. Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra di loro 2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali allora i totali sono uguali 3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali allora le differenze sono uguali 4. Cose che si sovrappongono sono uguali 5. Il tutto è maggiore di una sua parte

5 POSTULATI DI INCIDENZA 1. Per due punti passa una ed una sola retta 2. Tre punti non allineati sono contenuti in uno e un solo piano 3. Se due punti contenuti in una retta stanno in un piano allora la retta appartiene al piano 4. Se due piani contengono lo stesso punto, allora esiste almeno un altro punto contenuto in entrambi 5. Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, esistono almeno quattro punti non complanari

6 POSTULATI DI ORDINE 1. Se un punto A sta tra B e C, A sta tra C e B ed i tre punti sono allineati. 2. Dati due punti distinti A e C, allora esistono un terzo e un quarto punto B e D nella retta passante per A e C tali che B sta tra A e C e C sta tra A e D. 3. Dati tre punti distinti e allineati ce ne esattamente uno che giace tra gli altri due

7 POSTULATI DI ORDINE 4. Dati quattro punti A, B, C, D distinti e allineati tali che B sta tra A e C e inoltre C sta tra A e D, allora B sta tra A e D e inoltre C sta tra B e D 5. Assioma di Pasch: siano tre punti A, B, C non allineati, contenuti in un piano Σ, sia r una retta contenuta in Σ, ma non contenente nessuno dei tre punti A, B, C; se r contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto dei due segmenti AC e BC

8 POSTULATI DI CONGRUENZA 1. Siano A, B e A tre punti su una retta r. Esistono e sono unici due punti C e D sulla retta r tali che A sta tra C e D e AB AC e AB AD. 2. La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se AB e AB sono congruenti ad AB allora AB AB

9 POSTULATI DI CONGRUENZA 3. Siano AB e AC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni e siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni. Se AB AB e BC BC, allora AC AC. 4. Dati un angolo ABC ed una semiretta BC, esistono e sono uniche due semirette BD e BE, tali che langolo DBC è congruente ad ABC e langolo EBC è congruente allangolo ABC

10 POSTULATI DI CONGRUENZA 5. La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se ABC e ABC sono congruenti ad ABC, allora ABC ABC.

11 ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO Ogni retta r di un piano divide linsieme dei punti del piano in due parti non vuote, tali che: A) se i punti A e B appartengono a parti opposte, allora il segmento AB taglia la retta r; B) se i punti C e D appartengono alla stessa parte, allora il segmento CD è incluso in questa.

12 POSTULATO DELLE PARALLELE (Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.

13 POSTULATI DI CONTINUITA 1. (Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste un valore n (naturale) tale che n volte il segmento AB supera il segmento CD


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