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La similitudine 1 Definizione ESEMPIO Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria,

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Presentazione sul tema: "La similitudine 1 Definizione ESEMPIO Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria,"— Transcript della presentazione:

1 La similitudine 1 Definizione ESEMPIO Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Per indicare che due figure G e G sono simili si scrive G ~ G Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r. F ~ F

2 La similitudine 2 Proprietà Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine: il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k angoli che si corrispondono sono congruenti la figura simile a una retta è una retta se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo. Inoltre: due figure omotetiche sono anche simili (lisometria in questo caso coincide con lidentità) due figure congruenti sono anche simili (lomotetia ha rapporto k = 1).

3 La similitudine 3 Riconoscere poligoni simili Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine Se due poligoni hanno: i lati proporzionali: gli angoli congruenti: allora sono simili.

4 La similitudine 4 I criteri di similitudine Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti. A A, B B ABC ~ ABC

5 La similitudine 5 I criteri di similitudine Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e langolo fra essi compreso congruente. AB : AB = AC : AC, A A ABC ~ ABC

6 La similitudine 6 I criteri di similitudine Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali. AB : AB = AC : AC = BC : BC ABC ~ ABC

7 La similitudine 7 Criteri di similitudine ESEMPIO Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili. Hp. MN BC Th. ABC ~ AMN Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi: possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nellomotetia di centro A e che quindi sono anche simili possiamo dire che i due triangoli hanno langolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB = AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio possiamo dire che, essendo MN BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguneza del teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM ACB e AMN ABC perché corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio

8 La similitudine 8 Proprietà dei triangoli simili Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k: il rapporto fra altezze, mediane, bisettrici omologhe è uguale a k il rapporto tra i perimetri è uguale a k, cioè: il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, cioè:

9 La similitudine 9 Corrispondenza con i teoremi di Euclide Dalla similitudine dei triangoli ABC, ABH e ACH si deduce che: in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra lipotenusa e la proiezione del cateto stesso sullipotenusa in ogni triangolo rettangolo laltezza relativa allipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sullipotenusa

10 La similitudine 10 Similitudine e circonferenza Relativamente ad una circonferenza e alle sue corde, secanti e tangenti, valgono le seguenti proprietà: se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti dellaltra corda sono gli estremi di una proporzione CP : BP = AP : DP se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, laltra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione PD : PB = PA : PC

11 La similitudine 11 Similitudine e circonferenza se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra lintera secante e la sua parte esterna PB : PQ = PQ : PA

12 La similitudine 12 Similitudine e circonferenza Vale inoltre il teorema di Tolomeo: E il suo inverso: Se in un quadrilatero il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti, allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza. Teorema. Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti del quadrilatero. r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD)


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