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Luoghi di punti e funzioni Definizione e caratteristiche 1 In geometria il termine Esempi: luogo di punti indica linsieme di tutti e soli i punti che godono.

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1 Luoghi di punti e funzioni Definizione e caratteristiche 1 In geometria il termine Esempi: luogo di punti indica linsieme di tutti e soli i punti che godono di una determinata proprietà P. la bisettrice di un angolo (luogo dei punti equidistanti dai lati dellangolo); lasse di un segmento (luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento); la circonferenza (luogo dei punti equidistanti dal suo centro).

2 Luoghi di punti e funzioni Definizione e caratteristiche 2 ATTENZIONE ad interpretare correttamente il concetto di luogo: il segmento che è laltezza relativa alla base di un triangolo isoscele non è considerato il luogo dei punti equidistanti dagli estremi della base perché, se è vero che tutti i suoi punti hanno questa caratteristica, essi però non sono i soli: anche i punti della retta a cui appartiene laltezza godono della stessa proprietà.

3 Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano 3 Nel piano cartesiano un luogo di punti è individuato da una relazione algebrica fra le coordinate (x, y) dei suoi punti. una retta parallela agli assi cartesiani è il luogo dei punti che hanno lascissa oppure lordinata uguale a una data costante k: x = k luogo dei punti di ascissa k y = k luogo dei punti di ordinata k Esempi: una retta non parallela agli assi cartesiani è il luogo dei punti per i quali è costante il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due suoi punti, di cui uno fissato, si mantiene costante: La retta è un luogo di punti che è individuato da una proprietà p diversa a seconda del tipo di retta.

4 Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano 4 Lequazione dellasse di un segmento AB si può determinare: ESEMPIO Scriviamo lequazione dellasse del segmento AB di estremi A(2, 3) e B(4, 1). applicando la definizione e scrivendo lequazione della retta perpendicolare ad AB e passante per il suo punto medio M. applicando il concetto di luogo: PA = PB Con il concetto di luogo, con P(x, y)

5 Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano 5 Con la definizione: equazione dellasse:

6 Luoghi di punti e funzioni ESEMPIO Luoghi nel piano cartesiano 6 Se r e s sono le rette a cui appartengono i due lati di un angolo, un punto P(x, y) del piano appartiene alla bisettrice se la distanza di P da r è uguale alla distanza di P da s: e cioè continua Date due rette r e s troviamo lequazione delle bisettrici degli angoli formati da r e s.

7 Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano 7 Dalla definizione di modulo otteniamo: cioè Delle due rette trovate, la prima è la bisettrice dellangolo ottuso formato da r e s (in colore rosso), la seconda è la bisettrice dellangolo acuto (in colore blu); osserviamo tra laltro che le due bisettrici sono perpendicolari.

8 Luoghi di punti e funzioni La parabola: definizione e caratteristiche 8 La parabola è il luogo dei punti P equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice. Caratteristiche geometriche: possiede un asse di simmetria a che si ottiene tracciando da F la perpendicolare alla direttrice; infatti ogni punto della parabola che si trova alla destra del fuoco rispetto a questa retta ha un suo corrispondente sulla sinistra; in questa simmetria il punto V di intersezione della parabola con il suo asse è il solo punto che ha per corrispondente se stesso (punto unito); a tale punto si dà il nome di vertice della parabola.

9 Luoghi di punti e funzioni La parabola: equazione 9 Lasse di simmetria è una retta parallela allasse delle y e ha equazione: il vertice è il punto V di coordinate con Δ = b 2 4ac Fissato un sistema di riferimento cartesiano in modo che la direttrice della parabola sia parallela allasse x lequazione della parabola è:

10 Luoghi di punti e funzioni La parabola: equazione 10 Il coefficiente a determina la forma della parabola: se a > 0 la parabola ha la concavità rivolta verso lalto se a < 0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

11 Luoghi di punti e funzioni ESEMPIO La parabola: costruzione del grafico 11 Per costruire il grafico di una parabola occorre sempre determinare le coordinate del vertice, lasse di simmetria è poi la retta parallela allasse y che passa per il vertice. Altri punti del grafico possono essere trovati attribuendo opportuni valori alla variabile x e calcolando quelli corrispondenti di y. a > 0 quindi la parabola è concava verso lalto coordinate del vertice: asse di simmetria: troviamo le coordinate di qualche punto: x y

12 Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità diretta 12 Due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni: gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca; il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme è uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo insieme. Esempio numerico: A e B sono direttamente proporzionali perché

13 Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità diretta 13 Se due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali, i rapporti fra le misure di grandezze corrispondenti sono costanti; il valore comune di tutti i rapporti prende il nome di costante di proporzionalità diretta. Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e B e con m la costante di proporzionalità, possiamo esprimere la relazione di proporzionalità diretta con la relazione: In questa equazione, riscritta nella forma y = mx, riconosciamo lequazione di una retta passante per lorigine (tranne lasse y)

14 Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità inversa 14 Due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni: gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca; il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme è uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo. Esempio numerico: A e B sono inversamente proporzionali perché

15 Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità inversa 15 Se due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali, il prodotto fra le misure di due elementi che si corrispondono non cambia al variare della coppia scelta; il valore comune di tutti i prodotti prende il nome di costante di proporzionalità inversa. Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e B e con k la costante di proporzionalità (k 0), possiamo esprimere la relazione di proporzionalità inversa con la relazione: Dal punto di vista analitico, una proporzionalità inversa è quindi il luogo dei punti per i quali rimane costante il prodotto fra lascissa e lordinata. La curva rappresentata da tale equazione prende il nome di iperbole equilatera.


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