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1 L IPERBOLE. 2 ARGOMENTI TRATTATI 1. Lequazione canonica delliperbole 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili.

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1 1 L IPERBOLE

2 2 ARGOMENTI TRATTATI 1. Lequazione canonica delliperbole 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili dalliperbole 5. La funzione omografica 6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro 7. Proprietà ottica delliperbole

3 3 LEQUAZIONE CANONICA DELLIPERBOLE Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F 1 ed F 2, detti fuochi. Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare lequazione canonica delliperbole. Siano F 1 (- c ; 0 ) e F 2 (c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della I. Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

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7 7 Osservazioni e altre definizioni a.Gli insiemi dappartenenza di x e y indicano che liperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi. b.Liperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x. c.Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2a e 2b, i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) e le diagonali appartenenti agli asintoti. d.Il segmento F 1 F 2 si chiama distanza focale e misura 2c. e.Simmetrie nelliperbole con equazione canonica: F(-x;-y) = F(x;y), quindi liperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0); F(-x;y) = F(x;y), quindi liperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. lasse delle y ; F(x;-y) = F(x;y), quindi liperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. lasse delle x. f.Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c 2 – a 2 = b 2 oppure c 2 = a 2 + b 2 : applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA 2 H. g.Coordinate dei fuochi di uniperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F 1 (-c ; 0), F 2 (c ; 0), oppure F 1 (0 ;-c ), F 2 (0 ; c). h.Se a = b liperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto c diventa un quadrato e gli asintoti hanno equazione y = ± x. i.Eccentricità e. Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di uniperbole è detto eccentricità:

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9 9 QUESTIONI BASILARI 1.Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, lasse trasverso, leccentricità, gli asintoti.

10 10 2.Dato il fascio di curve di equazione: kx 2 + (2 - 3k )y 2 = 1, con k R - {0 ; 2/3}, determinare per quali valori di k lequazione rappresenta: a) unellisse ; b) una circonferenza ; c) uniperbole con i fuochi sullasse x ; d) uniperbole con i fuochi sullasse y ; e) uniperbole equilatera.

11 11 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare lequazione di uniperbole. Facendo riferimento allequazione canonica, determinare lequazione di uniperbole significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio: conosco a o b o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti) conosco c (coordinate dei fuochi) passaggio per un dato punto P(x p ; y p ) (x p ) 2 /a 2 - (y p ) 2 / b 2 = ± 1 conosco leccentricità e = c/a o e = c/b tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Iperbole tangente ad una retta.Iperbole tangente ad una retta

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13 13 QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: 1.determinare le equazioni delle rette tangenti alliperbole, condotte da un punto di note coordinate; 2.determinare lequazione delliperbole tangente ad una retta di nota equazione. 1.Rette tangenti alliperbole, condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento. Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alliperbole.coniche Esempi a. Determina le equazioni delle rette tangenti alliperbole di equaz. x 2 - 9y 2 = 9 e parallele alla bisettrice del 2° e 4° quadrante.

14 14 b.Determina lequazione della retta tangente alliperbole di equaz. 16x 2 - 3y 2 = 1 nel suo punto A, del secondo quadrante, di ascissa -1/2. c.Determina le equazioni delle rette tangenti alliperbole di equaz. x 2 - 4y 2 = 9, condotte dal punto P(9/5;0). Verifico se P appartiene alliperbole: 81/ 25 9 P non appartiene alliperbole, quindi posso avere due soluzioni.

15 15 Grafici relativi agli esempi 1a, 1b, 1c

16 16 2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione Esempio

17 17 CURVE DEDUCIBILI DALL IPERBOLE Esplicitando lequazione di secondo grado x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x, si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sullasse x e quattro per i fuochi sullasse y, con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli.

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19 19 Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

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21 21 LA FUNZIONE OMOGRAFICA 1.Iperbole equilatera riferita agli asintoti Lequazione canonica delliperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è x 2 - y 2 = a 2. Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo = ± 45°, gli asintoti diventano i nuovi assi cartesiani e lequazione delliperbole diventa xy = k (*), con k R 0, x 0 e y 0. (Vedi i grafici in coda al capitolo)

22 22 Osservazioni 1.Lequazione xy = k, ovvero y = k/x, indica che fra le variabili x e y cè proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità. 2.Gli assi di simmetria delliperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema:

23 23 Le coordinate dei fuochi sono:

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25 25 2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata Mediante una traslazione del sistema di riferimento delliperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene lequazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nellorigine:

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29 29 DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO IPERBOLE – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano liperbole nel caso (1), o la retta interseca le iperboli nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi

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32 32 PROPRIETA OTTICA DELLIPERBOLE L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F) con il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco. Specchio iperbolico


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