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Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta 1 Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo.

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Presentazione sul tema: "Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta 1 Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo."— Transcript della presentazione:

1 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta 1 Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo P(a) e si dice che P ha ascissa a. I punti di una retta orientata, una volta fissato un segmento di lunghezza unitaria, sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali. A BO C + A (-3) B (+2) C (+ ) 9 2 u

2 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta 2 Un segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi. O A B r + Il segmento AB è individuato dai punti B(+6) e BA(+ ) 3 2 Per trovare la misura di AB (si indica con AB): AB = OB – OA = (+6) – (+ ) = 6 = ascissa di B ascissa di A u

3 Il piano cartesiano e la retta ESEMPI Sistema di riferimento sulla retta 3 La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(x A ) e B(x B ), la misura di AB è data dalla relazione AB = |x A – x B | = |x B – x A | Se A(+4) e B(2), allora AB = |2 – (+4)| = |+4 – (2)| = 6 Se A(3) e B(8), allora AB = |8 – (3)| = |3 – (8)| = 5

4 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta 4 Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM MB. M xMxM xBxB A B r xAxA Se A(x A ) e B(x B ) si ha che: AM = x M – x A e MB = x B x M Possiamo allora concludere che lascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. ESEMPIO Se A(+2) e B(7), allora x M = = 5 2 Quindi x M x A = x B x M, cioè risolvendo rispetto a x M x A + x B 2 x M =

5 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento nel piano 5 I punti del piano cartesiano sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate (x, y) di numeri reali. Consideriamo due rette orientate qualsiasi r e s, incidenti, distinte e perpendicolari. O s r Fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse in modo che il punto origine O sia il loro punto di intersezione e supponiamo che lunità di misura sia la stessa su entrambe le rette.

6 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento nel piano 6 O P(x) P(y) P r s Viceversa assegnati un punto P di ascissa x sulla retta r ed un punto P di ascissa y sulla retta s e tracciate da essi le parallele ad s e r, si viene ad individuare come loro intersezione un unico punto P. La coppia ordinata (x, y) di numeri reali rappresenta le coordinate del punto P e si scrive P(x, y) Da un punto qualunque P del piano, tracciamo le parallele ad r e s che le incontrano rispettivamente nel punto P associato al numero x e nel punto P associato al numero y.

7 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento nel piano 7 Questi due assi perpendicolari definiscono un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Lasse r viene detto asse delle ascisse (asse x) O asse delle ascisse x y asse delle ordinate Lasse s viene detto asse delle ordinate (asse y) Il piano cartesiano viene diviso in quattro quadranti. O I Quadrante x y II Quadrante III QuadranteIV Quadrante

8 Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento nel piano 8 I segni delle coordinate dei punti nel piano cartesiano variano a seconda della posizione del punto. O x y D (4, 3) A (3, 2) C (2, 1) B (2, ) 7 2 u

9 Il piano cartesiano e la retta ESEMPIO Segmenti 9 Dati nel piano cartesiano due punti A(x A, y A ) e B(x B, y B ), la misura del segmento AB è data dalla formula: AB = (x B – x A ) 2 + (y B – y A ) 2 O x y A B C xAxA xBxB yAyA yByB A(2, 1) ; B(3, 4)

10 Il piano cartesiano e la retta ESEMPIO Segmenti 10 In particolare: se il segmento AB è parallelo allasse delle ascisse AB = |x B – x A | O x y A B A (xA)A (xA) yAyA y A = y B B (xB)B (xB) A(3, 2) ; B(5, 2) AB = |5 3| = 8

11 Il piano cartesiano e la retta ESEMPIO Segmenti 11 se il segmento AB è parallelo allasse delle ordinate AB = |y B – y A | O x y A A (yA)A (yA) x A = x B B (xB)B (xB) B A(3, 4) ; B(3, 7) AB = |7 (4)| = 11

12 Il piano cartesiano e la retta ESEMPIO Segmenti 12 Dati i punti A(x A, y A ) e B(x B, y B ), le coordinate del loro punto medio M sono date dalla formula: xM =xM = x A + x B 2 yM =yM = y A + y B 2 O x y A A (yA)A (yA) B (xB)B (xB) B M M (yM)M (yM) A (xA)A (xA) M (xM)M (xM)B (xB)B (xB)

13 Il piano cartesiano e la retta Isometrie 13 Unisometria è una funzione che ad ogni punto del piano fa corrispondere un altro punto in modo che a segmenti congruenti corrispondano segmenti congruenti. La simmetria assiale Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P in modo che r sia lasse del segmento PP; del punto P si dice che è il simmetrico di P. In pratica, per trovare il simmetrico di un punto P rispetto a r si traccia da P la perpendicolare a r che la incontra in H e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a r, il punto P in modo che sia PH PH.

14 Il piano cartesiano e la retta Isometrie 14 Simmetrie assiali nel piano cartesiano - Simmetria rispetto allasse x - Simmetria rispetto allasse y ESEMPIO I simmetrici del punto P(1, 2) rispetto allasse x e allasse y sono P(1, 2) e P(1, 2).

15 Il piano cartesiano e la retta Isometrie 15 La simmetria centrale Dato un punto A, la simmetria di centro A è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P in modo che A sia il punto medio de segmento PP. In pratica per trovare il simmetrico di un punto P rispetto al centro A si traccia da P la semiretta PA e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a A, il punto P in modo che sia PA PA.

16 Il piano cartesiano e la retta Isometrie 16 Simmetria centrale nel piano cartesiano ESEMPIO Dato il punto P(5, 4): - Simmetria rispetto allorigine - Simmetria rispetto al punto A(a, b) il suo simmetrico rispetto allorigine è il punto P(-5, 4) il suo simmetrico rispetto ad A(1, 2) ha coordinate:

17 Il piano cartesiano e la retta ESEMPIO Isometrie 17 La traslazione Dato un segmento orientato v, la traslazione è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P in modo che il segmento v abbia il primo estremo in P ed il secondo in P. Il vettore v = AB con A(3,1) e B(2,4) ha componenti v x = 2 3 = 5 e v y = = 5, cioè v (5, 5), e si scrive Un segmento orientato del piano si chiama anche vettore; un vettore si individua facilmente mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani, che sono i segmenti orientati v x e v y che si ottengono proiettando il vettore v su tali assi o su due rette ad essi parallele; se A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) sono rispettivamente il primo e il secondo estremo del vettore, si ha che:

18 Il piano cartesiano e la retta Isometrie 18 ESEMPIO ascissa: 1 5 = 4 ordinata: = 1 P(4, 1) La traslazione di vettore v(5, 3) trasforma il punto P(1, 4) nel punto P di coordinate: La traslazione nel piano cartesiano Dato un vettore v di componenti (v x, v y ) ed un punto P(x, y) del piano, le coordinate del punto P ad esso corrispondente nella traslazione di vettore v si ottengono aggiungendo v x e v y rispettivamente alla sua ascissa e alla sua ordinata:

19 Il piano cartesiano e la retta La retta 19 I punti che appartengono allasse x hanno ascissa variabile ma ordinata sempre uguale a zero. equazione asse x: I punti che appartengono allasse y hanno ordinata variabile ma ascissa sempre uguale a zero. equazione asse y:

20 Il piano cartesiano e la retta La retta 20 Analogamente: Lequazione di una retta parallela allasse x è: Lequazione di una retta parallela allasse y è:

21 Il piano cartesiano e la retta La retta 21 Lequazione di una retta passante per lorigine. Per i punti A, B, C,... che appartengono ad una retta per lorigine O, il rapporto è costante. Indicata con m tale costante si ha: o anche: coefficiente angolare

22 Il piano cartesiano e la retta La retta 22 In questo caso è il rapporto che si mantiene costante: Una retta di questo tipo ha equazione: Lequazione di una retta non passante per lorigine. ordinata allorigine coefficiente angolare

23 Il piano cartesiano e la retta La retta 23 rappresenta la pendenza della retta (rispetto allasse x) Significato geometrico di m.

24 Il piano cartesiano e la retta La retta 24 bisettrice del primo e terzo quadrante Rette significative passanti per lorigine sono le seguenti: bisettrice del secondo e quarto quadrante

25 Il piano cartesiano e la retta La retta 25 Nellequazioneper x = 0 si ottiene y = q Significato geometrico di q. Il punto di coordinate (0; q) rappresenta il punto di intersezione tra la retta e lasse delle y. q si dice ordinata allorigine.

26 Il piano cartesiano e la retta La retta 26 Lequazione generale della retta può essere espressa: in forma implicita: in forma esplicita: ESEMPI Lequazione(forma esplicita) può essere scritta in forma implicita: Viceversa(forma implicita) può essere scritta in forma esplicita:

27 Il piano cartesiano e la retta La retta 27 Nel caso b 0 le relazioni che legano la forma esplicita a quella implicita sono: ESEMPIO Data la retta di equazione Il coefficiente angolare è e Lordinata allorigine è Nel caso b = 0 lequazione diventa: che individua una retta parallela allasse y. In tal caso non si può definire il coefficiente angolare.

28 Il piano cartesiano e la retta La retta 28 Il grafico di una retta, così come quello di una qualsiasi curva, è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate ne soddisfano lequazione. Sappiamo che per due punti del piano passa una e una sola retta. Quindi per disegnare la retta di equazionesi segue la seguente procedura: scriviamo lequazione in forma esplicita troviamo il primo punto attribuendo il valore 1 alla variabile x: troviamo il secondo punto attribuendo il valore 2 a x: x12 y11

29 Il piano cartesiano e la retta La retta 29 Per scrivere lequazione di una retta che passa per un punto P(x 0, y 0 ) dato e che ha coefficiente angolare m noto, si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(2, 3) di coefficiente angolare m = 4 ha equazione: in forma implicita in forma esplicita

30 Il piano cartesiano e la retta La retta 30 Per scrivere lequazione della retta che passa per i punti A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(1, 3) e B(3, 2) ha equazione Calcolando si ottiene

31 Il piano cartesiano e la retta La retta 31 Date due rettee La condizione di parallelismo è ESEMPIO La retta r di equazione 3x 2y + 1 = 0 è parallela alla retta s di equazione 6x 4y 5 = 0 Infatti La retta r è perpendicolare alla retta t di equazione Infatti La condizione di perpendicolarità ècioè

32 Il piano cartesiano e la retta La retta 32 Per studiare la posizione reciproca di due rette: si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni Rette incidenti nel punto P Sistema determinato Rette parallele Sistema impossibile Rette coincidenti Sistema indeterminato Si possono presentare i seguenti casi:

33 Il piano cartesiano e la retta La retta 33 Per studiare la posizione reciproca di due rette: si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni Rette parallele Sistema impossibile Rette coincidenti Sistema indeterminato Si possono presentare i seguenti casi: Rette incidenti nel punto P Sistema determinato

34 Il piano cartesiano e la retta La retta 34 La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Se P ha coordinate (x 0, y 0 ) e ax + by + c = 0 è lequazione della retta r in forma implicita, è possibile calcolare tale distanza, d (P, r), con la formula: ESEMPIO

35 Il piano cartesiano e la retta I fasci di rette 35 Fascio proprio: insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto P assegnato. ESEMPIO Equazione del fascio: : centro del fascio Equazione del fascio proprio di centro I Fasci di rette

36 Il piano cartesiano e la retta I fasci di rette 36 Fascio improprio: insieme di tutte e sole le rette parallele a una retta data. ESEMPIO Il fascio di rette parallele a quella di equazione ha equazione Al variare di k le rette del fascio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare. Lequazione di questo fascio ha un coefficiente angolare fisso e unordinata allorigine variabile.


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