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Equazione e grafico Per gli alunni delle terze classi.

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Presentazione sul tema: "Equazione e grafico Per gli alunni delle terze classi."— Transcript della presentazione:

1 Equazione e grafico Per gli alunni delle terze classi

2 Prerequisiti Distanza tra due punti e tra un punto e una retta Equazioni delle rette nel piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano nel piano Obiettivi Capire il significato di equazione di una parabola Saper rappresentare graficamente una parabola

3 DefinizioneDefinizione di parabola Equazione della parabola Equazione della parabola con vertice nellorigine e simmetrica rispetto allasse delle ordinate Equazione generale della parabola Cenni sulla traslazione Test di autoverifica

4 Definizione Si dice parabola il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice

5 Equazione della parabola Fissati nel piano un punto F ed una retta d, per definizione, un generico punto P(x,y) della parabola deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Ovvero deve essere : Scelto il sistema di riferimento in modo che il fuoco appartenga allasse delle ordinate, la direttrice sia parallela allasse delle ascisse e lorigine sia equidistante da F e da d, si ha che F(0,p) e d ha equazione y = -p y = -p F P(x.y) H d

6 Ma deve essere e Elevando al quadrato entrambi i membri, si ha: Poiché P(x,y), F(0,p) e d ha equazione y=-p si ha: Quindi:

7 Che dopo facili calcoli diventa: Riducendo i termini simili si ottiene lequazione: Che risolta rispetto a y diventa:

8 Lequazione precedente si può scrivere nella forma: (1) si ricava Posto nellequazione E, ricordando che il fuoco ha coordinate (0, p) e la direttrice ha equazione y =-p, possiamo sostituire il valore di p, calcolato in funzione di a, ottenendo così le coordinate del fuoco e lequazione della direttrice a partire dallequazione della parabola.

9 Per rappresentare graficamente la parabola mediante il foglio elettronico cliccare quicliccare qui Possiamo concludere dicendo che: rappresenta lequazione della parabola con vertice nellorigine e avente come asse di simmetria lasse delle y. Ovvero

10 Per trovare lequazione generale della parabola basta applicare alla parabola di equazione y=ax 2 la traslazione che porta il vertice V(0,0) nel punto V(x 0,y 0 )traslazione Basta,quindi, sostituire le seguenti equazioni: Ottenendo:

11 Ponendo: (*) e sostituendo nella (*) lequazione assume la forma: Per studiare il grafico cliccare quìcliccare quì

12 ricordando che: b =-2ax 0 e si ricava Sostituendo nella seconda relazione il valore di x 0 si ha dove x 0 e y 0 sono le coordinate del nuovo vertice della parabola

13 Per rappresentare graficamente la parabola mediante il foglio elettronico cliccare quicliccare qui Applicando la traslazione anche al fuoco, alla direttrice e allasse di simmetria possiamo concludere dicendo che: rappresenta lequazione della parabola con:

14 P P y x x y a b Si dice traslazione di vettore (a,b) quella trasformazione che ad ogni punto P(x,y) associa il punto P (x,y) tale che: x=x+a y=y+b che rappresentano le equazioni della traslazione

15 Le equazioni x=x+a y=y+b vengono utilizzate per calcolare il trasformato di un punto. Consideriamo una funzione y=f(x), una traslazione trasforma tutti i suoi punti nello stesso modo, quindi il grafico ottenuto è congruente al dato, mentre lequazione generalmente è diversa.

16 Esempio Data la retta di equazione x+y=5 che incontra gli assi cartesiani nei punti di coordinate (0,5) (5,0) consideriamo la sua corrispondente nella traslazione di equazioni x=x+a y=y+b Per ottenere la funzione corrispondente a quella data bisogna sostituire al posto di x e y le loro espressioni ricavate dalle precedenti equazioni x=x-a y=y-b ottenendo: (x-a)+(y-b)=5 ovvero x+y=5+a+b a+b Che è una retta parallela alla precedente(se a e b sono entrambi positivi si ottiene la retta rappresentata in figura)

17 1.Data la parabola di equazione y=x 2 +1 a=……. b=…….. c=……….. concavità…………………….…. asse di simmetria……………… V(……;……..) 2.Date le due parabole: y=-3x 2 +1 e y=5x 2 +1 quali elementi hanno in comune?…………… 3.Data la parabola di equazione y=x 2 +6x-4 V(…….;…….) F(……..;…….) asse di simmetria……………. direttrice……………….. 4. Rappresentare graficamente le parabole precedenti e verificare i risultati con i grafici ottenuti usando il foglio elettronico. Soluzioni

18 1.a=1 b=0 c=1, volge la concavità verso lalto, lasse di simmetria è lasse delle y ( x=0 ) V(0,1) 2.Hanno: il vertice nel punto V(0,1) e come asse di simmetria lasse delle ordinate 3. V(-3, -13) F(-3, -51/4) asse di simmetria: x = -3 direttrice y = -53/4


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