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PARABOLA E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO. parabola e disequazioni di II grado OBIETTIVI TRASVERSALI OBIETTIVI TRASVERSALI PREREQUISITI OBIETTIVI SPECIFICI.

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Presentazione sul tema: "PARABOLA E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO. parabola e disequazioni di II grado OBIETTIVI TRASVERSALI OBIETTIVI TRASVERSALI PREREQUISITI OBIETTIVI SPECIFICI."— Transcript della presentazione:

1 PARABOLA E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

2 parabola e disequazioni di II grado OBIETTIVI TRASVERSALI OBIETTIVI TRASVERSALI PREREQUISITI OBIETTIVI SPECIFICI OBIETTIVI SPECIFICI CONTENUTI METODOLOGIA VERIFICHE STRUMENTI TEMPI Mappa dellUnità Didattica inizio

3 Operazioni sugli insiemi Equazioni di I e II grado Disequazioni razionali intere di I grado Concetto di funzione Rappresentazione grafica di una funzione Concetto di intervallo Traslazione Uso del Derive mappa Prerequisiti

4 Saper utilizzare unadeguata terminologia Saper estendere le conoscenze acquisite adattandole alle diverse situazioni Saper utilizzare il computer in ambiente Windows Saper risolvere problemi Obiettivi trasversali mappa

5 Saper studiare il segno di una funzione di II grado in una variabile Acquisire tecniche per la risoluzione algebrica e grafica di disequazioni di II grado in una variabile Acquisire la capacità di tradurre problemi di II grado in forma algebrica Obiettivi specifici mappa

6 Funzione quadratica Parabola Disequazioni razionali intere di II grado Contenuti mappa

7 Gli argomenti saranno proposti scegliendo un percorso didattico finalizzato a stimolare linteresse, la curiosità e la riflessione degli studenti anche mediante luso di mezzi informatici. Alla lezione di tipo frontale si accosteranno discussioni guidate, lavori individuali, di gruppo ed esercitazioni pratiche. Limpostazione della lezione sarà di tipo interattivo allo scopo di personalizzare il percorso di apprendimento in base alle capacità di ogni singolo allievo, mediante schede di approfondimento e di recupero in itinere. Metodologia mappa

8 Lavagna Libro di testo Appunti Computer Lavagna luminosa Strumenti mappa

9 Schede di controllo dei prerequisiti Verifiche scritte Verifiche orali Verifiche mappa Parametri di valutazione

10 Parabola: Accertamento prerequisitiAccertamento prerequisiti 1 ora correzione e discussione degli esercizi svolti dagli studenti 1 ora lezione frontale ed esercitazione con Derive 2 ore attività di recupero e potenziamento 1 ora Disequazioni: correzione e discussione degli esercizi svolti dagli studenti 1 ora lezione frontale ed esercitazione con Derive 2 ore attività di recupero e potenziamento 1 ora Tempi mappa verifica finale 2 ore

11 Tale valutazione costituisce il momento conclusivo dellU.D. ed attesta i miglioramenti conseguiti dal singolo allievo, dallintera classe e la validità della progettazione effettuata. Si valutano i seguenti tre fattori: conoscenze, competenze, capacità; per ognuno di essi si danno cinque indicatori. Parametri di valutazione del test finale

12 Risolvere in R le seguenti equazioni Risolvere la seguente disequazione interpretando geometricamente linsieme S delle soluzioni Risolvere il seguente sistema di disequazioni Tracciare il grafico della funzione y=3x+4 Scheda di controllo dei prerequisiti mappa

13 Tracciamo il grafico della curva associata allequazione di II grado y = x 2 Essa è simmetrica rispetto allasse delle ordinate, cioè f(x)=f(-x) x y per cui per costruire il grafico basta determinare alcuni suoi punti di ascissa positiva La curva di equazione y = ax 2

14 Consideriamo ora alcune curve del tipo y = ax 2 con a>0 y = x 2 y = 2x 2 y = 3x 2

15 Esaminando le curve possiamo trarre alcune conclusioni ognuna ha come asse di simmetria lasse y tutte passano per lorigine degli assi, che è il punto di ordinata minore tutte volgono la concavità verso lalto, hanno la stessa forma e lapertura diminuisce allaumentare di a

16 Consideriamo ora le stesse curve con a < 0 I grafici risultano simmetrici dei precedenti rispetto allasse delle x y = -x 2 y = -2x 2 y = -3x 2

17 y=ax 2 come luogo geometrico Possiamo definire la curva come luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e da una retta detta direttrice. x y y = - p F(0;p) H P(x;y)

18 sviluppando e riducendo si ottiene: a V(0;0)F(0; 1/4a)direttrice y= -1/4aasse x=0

19 una funzione del tipo y = ax 2 con a R - {0} ha come diagramma una curva che chiamiamo parabola, la quale ha: vertice nellorigine degli assi del sistema di riferimento, asse di simmetria coincidente con lasse delle ordinate, concavità rivolta verso lalto se a>0, verso il basso se a<0 Riassumendo :

20 Vogliamo ora determinare lequazione di una parabola con asse di simmetria parallelo allasse delle y e vertice nel punto V(x o,y o ). Consideriamo una parabola del tipo y = ax 2 e la sottoponiamo ad una traslazione del vettore dieq oo yyy xxx yx dieq xxayyaxy o o oo o. 2 );(. 2 )(

21 Come si vede lequazione di una parabola con asse di simmetria parallelo allasse y e vertice in V(x o ;y o ) è y - y o = a (x - x o ) 2 y = a x a x o x + a x o 2 + y o y = ax 2 + bx + c si ottiene: b c

22 Dalla -2ax o = b ricaviamo che e quindi, essendo y o = f(x o ), si ottiene Concludendo la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c ha per vertice il punto

23 parabola di equazione y = ax 2 + bx + c = b 2 - 4ac asse di simmetria verticefuocodirettrice intersezioni con lasse x intersezioni con lasse y y = -3x 2 + 5x +2 y = 4x 2 y = 2x 2 - 4x y = -x 2 - 2x - 1 y = 2x (-3)2=49 =49 y F =…..=4 -3x 2 + 5x +2=0 x = 0; y = 2

24 Esercizi applicativi del concetto di parabola Una ditta intende creare su di un suolo di sua proprietà unarea di parcheggio rettangolare per le automobili dei suoi dipendenti. Nei suoi magazzini sono disponibili soltanto 100 metri di recinzione metallica. Quali devono essere le dimensioni del parcheggio affinché si realizzi la massima capienza possibile? Un ricco signore ha decretato che alla sua morte i suoi beni, che ammontano ad otto miliardi di lire, debbano essere divisi tra lunico nipote ed unassociazione benefica. Egli è però una persona che ama i giochi matematici; inoltre non ha molta fiducia nelle capacità di gestire denaro del nipote. Stabilisce quindi che le cifre che i due eredi avranno dovranno essere tali da rendere minima la somma tra il quadrato della parte destinata al nipote ed il doppio di quella destinata allassociazione. Sarà contento il nipote della decisione dello zio? Rappresentare in un opportuno sistema di riferimento cartesiano le parabole aventi equazione assegnata: y=-x 2+ 2x y =x 2 -7x+12

25 Le disequazioni di II grado Una disequazione intera di II grado può sempre essere riportata alla forma ax 2 + bx + c > 0 che a sua volta può essere scritta come linterpretazione grafica di tale sistema è la seguente: determinare i punti della parabola aventi ordinata positiva

26 Se la disequazione da risolvere è del tipo ax 2 + bx + c < 0 si considera invece il sistema e perciò si dovrà determinare linsieme dei punti della parabola con ordinata negativa

27 se nella disequazione compare il segno o si dovranno considerare come soluzione anche gli eventuali punti di intersezione della parabola con lasse delle x questi si ottengono risolvendo lequazione ax 2 + bx + c = 0

28 esempio 1 Risolvere la disequazione x Tale disequazione equivale al sistema Dobbiamo perciò determinare i punti della parabola y = x che giacciono nel semipiano delle ordinate negative o nulle Tale parabola ha la concavità rivolta verso lalto ed interseca lasse delle x nei punti A(-2;0) e B(2;0)

29 x y 2-2 AB S:[-2;2]

30 esempio 2 Risolvere la disequazione - x 2 + 5x + 6 < 0 Tale disequazione equivale al sistema Risolviamo la - x 2 + 5x + 6 = 0 x = 6 S:]- ;-1[ ]6; [

31 esempio 3 x x +9 0 x x + 9 = 0 x 1 = x 2 = -3 S = {-3}

32 esempio 4 3x 2 - x + 1 = 0 < 0 non ha radici reali 3 x 2 - x + 1 > 0 S =

33 esempio 5 - x x - 1 = 0 x 1 = x 2 = 1 - x x - 1 > 0 S = {Ø}

34 - x x esempio 6 -x x - 17 = 0 < 0 non ha radici reali S =

35 a>0 =b 2 -4ac parabola valori di x che soddisfano la disequazione ax 2 +bx+c>0 ax 2 +bx+c 0 ax 2 +bx+c<0 ax 2 +bx+c 0 = 0 < 0 x 1 = x 2 > 0 (x 1 < x 2 ) x1x1 x2x2 x < x 1 x > x 2 x x 1 x x 2 x 1

36 Dallanalisi dello schema si deduce che: >0 ax 2 + bx + c assume lo stesso segno di a per valori esterni allintervallo delle radici ax 2 + bx + c assume sempre lo stesso segno di a escluso i valori per i quali si annulla =0 ax 2 + bx + c assume sempre lo stesso segno di a <0

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39 Esercizi applicativi delle disequazioni di II grado Risolvere per via algebrica e ricorrendo al grafico della parabola le seguenti disequazioni: -6x 2 +7x-2 0 x 2 -6x+8>0 4x 2 +12x+9<0 -x 2 -6x-9>0 2x 2 -3x+5 0 2x 2 +x+1 0 Si determini il lato di un quadrato affinché la sua area diminuita di 3 sia maggiore di 6. Una ditta ha una capacità produttiva massima mensile di kg 1500 di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di lire ed un costo di lire 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce è espressa in funzione del prezzo dalla relazione x=2400-0,4p dove x è la quantità di merce e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità di merce che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nellipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

40 Verifica sommativa finale La prova è composta da domande di tipo vero - falso, quesiti a risposta multipla, frasi da completare ed esercizi da risolvere. Punteggio massimo = 10 Durata della prova: 2 ore

41 Quesiti vero - falso (0,2 punti per ogni risposta esatta) Indica quali affermazioni sono vere (V) e quali false (F) a) La disequazione x 2 + x +1 > 0 non ammette soluzioneVF b) Una disequazione di 2° grado ax 2 + bx + c >0 e con il vertice della parabola corrispondente nel 2° quadrante, non è verificata da alcun valore di xVF c) La disequazione ax 2 + c > 0 non ha soluzione se a >0 e c > 0VF d) La disequazione ax 2 + c > 0 non ha soluzione se a >0 e c < 0VF e) Se > 0 la disequazione ax 2 + bx + c > 0 ha sempre infinite soluzioniVF f) Il numero zero non appartiene mai allinsieme soluzione della disequazione ax 2 + bx < 0VF g) Il numero zero appartiene sempre allinsieme soluzione della disequazione ax 2 + c > 0VF h) La disequazione -x non ammette soluzioneVF i) La disequazione x 2 + x + 2 >0 è verificata x VF l) La disequazione x 2 -x non ammette soluzione VF m) La disequazione x 2 -x + 1 > 0 è verificata x VF n) La disequazione x < 0 non ammette soluzione VF

42 Quesiti a risposta multipla (0,5 punti per ogni risposta esatta) a) La seguente figura illustra la risoluzione grafica di una disequazione di 2° grado. A quale disequazione, fra le seguenti, si riferisce?  x 2 - 3x + 2 < 0  - x 2 - 3x + 2 < 0  - x 2 - 3x + 2 > 0  x 2 - 3x + 2 > 0 b) La parabola di equazione y = (k+1)x 2 +(k-1)x -2k, k, passa per il punto P(-2,6)  per nessun valore di k  per k = -  x  per k = -1 c) La disequazione x 2 + ax > 0, con a >0, è verificata per:  x -a  -a < x < 0  x 0  0 < x < -a

43 Esercizi di completamento Completare le seguenti frasi: (0,1 punti per ogni risposta esatta) a) La parabola è il ……….. dei punti del piano …………………. da un punto fisso detto ………… e da una retta fissa detta ……………… b) Lequazione y=ax 2 rappresenta una parabola avente come ……….. lasse y, come vertice il punto di coordinate (..…;……), come fuoco il punto F(..…;……) e come direttrice la retta y = ……. c) Data la parabola y = ax 2 + bx + c, se a > 0 la parabola ha concavità verso ……….. Completare: (0,4 punti per ogni risposta esatta) a) x è soluzione dix 2 ……. 25 > 0 b) impossibileè soluzione dix 2 ……... 7 < 0 c) 2 < x < 5è soluzione dix 2 - … x + … < 0 d) x è soluzione di2x 2 - x e) x 4 V x 6è soluzione dix 2 - … x ….. 0

44 Esercizi da risolvere (max 1 punto per ogni esercizio) a) Descrivi, senza disegnarla, la parabola individuata dallequazione y = x 2 +6x+5, precisando: 1) se è concava verso lalto o verso il basso; 2) se incontra lasse x e, in caso affermativo, in quanti punti; 3) se presenta punti di ordinata positiva; 4) se presenta punti di ordinata negativa. b) Data la disequazione 4x x +9 > 0 risolverla algebricamente risolverla graficamente c) Determinare i valori del parametro k per i quali la seguente equazione di secondo grado ammette soluzioni reali. 4x 2 - 4kx + 4k = 0

45 Attività di recupero e potenziamento In una fase successiva saranno proposti esercizi di recupero o potenziamento in base alle capacità dei singoli allievi.


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