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Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Unequazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale (se a = 0 lequazione bx.

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Presentazione sul tema: "Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Unequazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale (se a = 0 lequazione bx."— Transcript della presentazione:

1 Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Unequazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale (se a = 0 lequazione bx + c = 0 è di primo grado) Se i coefficienti b e c sono diversi da zero lequazione si dice completa. Termine noto Se i coefficienti b o c sono nulli lequazione si dice incompleta. Unequazione incompleta può quindi avere la forma se b 0 e c = 0 in questo caso si dice spuria se b = 0 e c 0 in questo caso si dice pura se b = 0 e c = 0 in questo caso si dice monomia 1 con

2 Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Per esempio: è completa lequazionedove èa = 4, b = 3, c = 1 è incompleta spuria lequazionedove èa = 3, b = 5, c = 0 è incompleta pura lequazione dove èa = 1, b = 0, c = 6 è monomia lequazione dove èa = 7, b = 0, c = 0 2

3 Le equazioni di secondo grado Risoluzione di equazioni incomplete Si raccoglie x a fattore comune: Si applica la legge di annullamento del prodotto: Lequazione spuria ammette sempre due soluzioni di cui una è zero. ESEMPIO 3 Regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete. Equazione della forma

4 Le equazioni di secondo grado Si scompone il polinomio, se possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto. Primo metodo Secondo metodo Dopo aver scritto lequazione nella forma si calcola la radice quadrata dei due membri: lequazione è impossibile 4 Risoluzione di equazioni incomplete Equazione della forma Equazione della forma monomia Lunica soluzione è x = 0.

5 Le equazioni di secondo grado ESEMPI Primo metodoSecondo metodo Primo metodo La somma di due quadrati non è scomponibile e non si annulla mai. Secondo metodo equazione impossibile 5 Risoluzione di equazioni incomplete

6 Le equazioni di secondo grado Formula risolutiva Lequazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0, nellipotesi che sia a 0 b 2 4ac 0, ammette come soluzioni i numeri reali dati dalle seguenti espressioni Lespressione Δ = b 2 4ac è il discriminante dellequazione e si verifica che: se Δ > 0 lequazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi (si dice che le soluzioni sono reali distinte) se Δ = 0 lequazione ammette come soluzione due numeri reali uguali (si dice che le soluzioni sono reali coincidenti) se Δ < 0 lequazione non ammette soluzioni reali. 6

7 Le equazioni di secondo grado ESEMPI 1.Risolviamo lequazione nella quale a = 2; b = 1; c = 6 7 Risoluzione equazioni complete

8 Le equazioni di secondo grado ESEMPI 2.Risolviamo lequazione nella quale a = 1; b = 8; c = 16 3.Risolviamo lequazione nella quale a = 1; b = 3; c = 8 8 Risoluzione equazioni complete

9 Le equazioni di secondo grado ESEMPIO Formula risolutiva Se il coefficiente b dellequazione ax 2 + bx + c = 0 è un numero pari, si può utilizzare la formula ridotta: 9

10 Le equazioni di secondo grado Equazioni frazionarie Nel caso di equazione frazionaria seguiamo la seguente procedura: 10 determinazione del dominio D; riduzione dellequazione alla forma intera; applicazione della formula risolutiva se è completa o degli algoritmi specifici se è incompleta. ESEMPIO Il dominio dellequazione è D = R {0} Scriviamo lequazione in forma normale Applichiamo la formula ridotta:

11 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali Quando unequazione contiene dei parametri è necessario discutere che cosa accade allinsieme delle soluzioni al variare di tali parametri. 11 Bisogna stabilire qual è il dominio dellequazione, cioè linsieme dei valori che può assumere lincognita: il dominio è in genere R se lequazione è intera, è R esclusi i valori che rendono nulli i denominatori se lequazione è frazionaria. Procedura risolutiva generale da seguire Per esempio: ha dominio R poiché deve essere x 2 e x a, ha dominio R {2, a}

12 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 12 Se lequazione ha dei denominatori letterali, è necessario che questi non siano nulli. Per esempio nellequazione si deve porre a 1 a 2 Attenzione a non confondere il dominio di unequazione con le condizioni che devono essere imposte al parametro: lequazione precedente è intera e quindi il suo dominio è R, le condizioni sul parametro sono poste affinché lequazione non perda significato.

13 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 13 Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di unequazione per una stessa espressione letterale, questa non sia nulla: Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x 2 non sia nullo perché, in caso contrario, la formula non si può applicare. si può dividere per 3 si può dividere per a solo se a 0 Si può applicare la formula (ridotta) Si può applicare la formula solo se a 1

14 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 14 Linsieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni di unequazione rappresenta la discussione dellequazione. Uno schema generale su come procedere è il seguente. Caso dellequazione intera Il dominio è R, non ci sono condizioni sullincognita; possono però esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale: si pone il coefficiente di x 2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve lequazione; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente. Quando, per risolvere unequazione letterale, si applica la formula, il discriminante è di solito letterale; occorre quindi che sia Δ 0. Esempio: e deve essere 1 a > 0

15 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 15 ESEMPIO Riscriviamo lequazione in forma normale: Lequazione è incompleta e per risolverla ricaviamo lespressione di x 2 : se b 3 Le soluzioni sono reali se b 3 > 0, cioè b > 3 se b = 3 lequazione diventa:che è impossibile

16 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 16 Caso dellequazione frazionaria Il dominio è R, ad esclusione dei valori dellincognita che annullano i denominatori; possono anche esserci condizioni iniziali sul parametro. si pone il coefficiente di x 2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve lequazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

17 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 17 ESEMPIO Lequazione è frazionaria e deve essere x 0 quindi D = R {0} Scriviamola in forma normale: Calcoliamo il discriminante: Il coefficiente di x 2 è numerico, troviamo subito le soluzioni: continua

18 Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali 18 Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili: la soluzione 2 appartiene sicuramente al dominio; dobbiamo invece confrontare la soluzione con 0: se Quindi se b = 0 la soluzione non è accettabile e deve essere scartata. se b 0 se b = 0 Riassumendo:

19 Le equazioni di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni 19 Fra le soluzioni x 1 e x 2 di unequazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 e i suoi coefficienti a, b e c sussistono le seguenti relazioni: S: somma delle soluzioni. S P: prodotto delle soluzioni. P

20 Le equazioni di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni 20 Mediante lutilizzo di tali relazioni è possibile risolvere i seguenti problemi: 1.Trovare le soluzioni di unequazione senza applicare la formula risolutiva. Per trovare le soluzioni dellequazione x 2 4x 5 = 0 senza utilizzare la formula risolutiva basta calcolare: x 1 = 1 e x 2 = 5 infatti = 4 e 1 5 = 5 Dobbiamo trovare due numeri la cui soma è 4 e il cui prodotto è 5:

21 Le equazioni di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni 21 2.Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto. Per determinare due numeri di cui si conoscono somma s e prodotto p basta risolvere lequazione x 2 sx + p = 0 Le sue soluzioni sono i numeri richiesti. Se e I due numeri sono e

22 Le equazioni di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni Scrivere lequazione che ha per soluzioni due numeri assegnati. calcoliamo oppure Lequazione ha quindi la forma e se Indichiamo con x 1 e x 2 i due numeri; se s è la loro somma e p è il loro prodotto, essi sono soluzione dellequazione

23 Le equazioni di secondo grado ESEMPIO Relazioni tra coefficienti e soluzioni 23 Scomposizione del trinomio di secondo grado Se ax 2 + bx + c è un trinomio di secondo grado con a 0 e se x 1 e x 2 sono le eventuali radici (cioè le soluzioni reali dellequazione associata ax 2 + bx + c = 0 ), si ha che: se Δ > 0 ax 2 bx + c = a (x x 1 )(x x 2 ) se Δ = 0 ax 2 bx + c = a (x x 1 ) 2 se Δ < 0 ax 2 bx + c è irriducibile Scomponiamo: Risolviamo lequazione associata: Si ha quindi che:

24 Le equazioni di secondo grado ESEMPI Interpretazione grafica: zeri di funzione 24 Le soluzioni di unequazione di secondo grado ax 2 bx + c = 0 si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione della parabola y = ax 2 + bx + c con lasse x (y = 0) ; esse rappresentano gli zeri della parabola. 1.La parabola ha due zeri di valore Infatti lequazione ha soluzioni

25 Le equazioni di secondo grado Interpretazione grafica: zeri di funzione 25 2.La parabola non ha zeri perché il delta dellequazione è negativo. 3.La parabola ha due zeri coincidenti perché lequazione ad essa associata ha un discriminante uguale a zero.


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