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Le equazioni 1 Chiamiamo equazione luguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è verificata solo per particolari.

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1 Le equazioni 1 Chiamiamo equazione luguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili. Lespressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si trova a destra si chiama secondo membro. Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite. 2x – 3 = x + 1 II membroI membro Incognita: è la lettera x Dominio : è linsieme dei valori che si possono attribuire a x Soluzione: è il valore di x che rende vera luguaglianza Definizione e caratteristiche ESEMPIO

2 Le equazioni x – 2 = 3 Lequazione è determinata perché ha come sola soluzione 5. EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI 1 – 2x = (x – 1) 2 – x 2 Lequazione è indeterminata perché il primo membro è sempre uguale al secondo. x + 4 = x Lequazione è impossibile perché non esiste un valore di x che sommato a 4 dia ancora x. Definizione e caratteristiche ESEMPI 2 Un equazione di dominio D si dice: determinata se ha un numero finito di soluzioni in D; indeterminata se ne ha un numero infinito; impossibile se non ha soluzioni in D.

3 Le equazioni ax – 2 = 3x + a Lequazione può contenere altre lettere oltre allincognita; queste lettere si chiamano parametri. Parametro Incognita: è la lettera di cui si vuole trovare il valore che soddisfa lequazione. Parametro: è una lettera che compare nellequazione, ma che si suppone abbia un valore fisso anche se non noto a priori. Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dellalfabeto internazionale, quindi x, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via. Incognita Diversi tipi di equazioni 3

4 Le equazioni CLASSIFICHIAMO LE EQUAZIONI 1 + x = 2x – 1 3 Equazioni numeriche: oltre alla x, non contengono altre lettere Equazioni letterali : oltre alla x contengono anche dei parametri ax + 2 = (a – 1) x + a Equazioni intere: lincognita non compare al denominatore – = 2x – 1 3 x x Equazioni frazionarie: lincognita si trova in almeno uno dei denominatori – = 2x x – 1 x Diversi tipi di equazioni 4

5 Le equazioni Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. 3x = 6x + 3 = 5 e Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione x = 2 : 3x = 6x + 3 = = = 5 22 Principi di equivalenza ESEMPIO 5

6 Le equazioni PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Principi di equivalenza Teorema. Se si aggiunge ai due membri di unequazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo stesso dominio dellequazione data, si ottiene unequazione equivalente a quella data. AB = A B = P + P + 6

7 Le equazioni Principi di equivalenza 2x – 5 = x – 2 Applichiamo il primo principio di equivalenza 2x – =x – Aggiungiamo +5 ad entrambi i membri Riduciamo i termini simili 2x2x = x + 3 Sottraiamo x ad entrambi i membri 2x2x – x = x + 3 – x Riduciamo i termini simili e otteniamo x = Lapplicazione di questo principio ci permette di passare da unequazione ad unaltra equivalente via via più semplice, che permette di determinare il valore di x. che è la soluzione cercata

8 Le equazioni CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Principi di equivalenza Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro allaltro di unequazione purché gli si cambi segno. Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E (x) = 0, dove E (x) è lespressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro. 2x2x = 4 + 1– x 2x2x = 4+1+ x ESEMPIO 8 2x2x +1+ x – 4 = 0

9 Le equazioni Principi di equivalenza Regola di cancellazione. Se nei due membri di unequazione compaiono due addendi uguali, uno per ogni membro, questi possono essere soppressi. 2x2x = 5x5x 2x + 3 = 5x + 3 Sono uguali ESEMPIO 9

10 Le equazioni SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Principi di equivalenza Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio dellequazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene unequazione equivalente a quella data. AB = A B = P P 10

11 Le equazioni ESEMPIO CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Principi di equivalenza Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di unequazione per uno stesso fattore comune, purché diverso da zero. 3x – 6 = 9 x – 2 = 3 3x3x = – 11 Tutti i termini sono divisibili per 3.

12 Le equazioni ESEMPIO Principi di equivalenza Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di unequazione, in entrambi i membri, si ottiene unequazione equivalente a quella data. – 2x – 3= x – 1 2x + 3 = – x

13 Le equazioni ESEMPIO Principi di equivalenza Regola della riduzione a coefficienti interi. Da unequazione a coefficienti frazionari si può passare ad unequazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte le frazioni. = 1 3 x x– 1 6 m.c.m. (3, 2, 6) = 6 ( ) = 2x x – ( ) 2x + 6 = 3x – 1 13

14 Le equazioni IL GRADO DI UNEQUAZIONE Equazioni numeriche intere Unequazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio. Quando unequazione è scritta in questa forma, si dice grado dellequazione il grado complessivo del polinomio E(x). Ad esempio: 2x – 3 = 0 È unequazione di primo grado. 4x 2 – 6x + 3 = 0 È unequazione di secondo grado. 6x 3 – 7x + 1 = 0 È unequazione di terzo grado. 14

15 Le equazioni LE EQUAZIONI LINEARI Equazioni numeriche intere Unequazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma: ax + b = 0 Termine noto a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dellequazione. Il dominio di unequazione lineare è sempre R. Possiamo dire di avere risolto unequazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma x = k In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S={k} è linsieme delle soluzioni. 15

16 Le equazioni PROCEDURA DI RISOLUZIONE Equazioni numeriche intere ax + b = 0 a 0 Data lequazione ax = – b x = b a – a = 0 b = 0 b 0 Impossibile S = Indeterminata S = R S = b a – { } Si porta il termine noto al secondo membro 16 Si analizza il coefficiente a

17 Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che, annullando qualche denominatore, fanno perdere significato allequazione. REGOLA PER DETERMINARE IL DOMINIO Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dellequazione applicando i principi di equivalenza. Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio. 17 1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori; 2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero; 3) si risolvono le condizioni di esistenza con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere. Il dominio è linsieme R – {valori trovati al punto 3}

18 Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie ESEMPIO 1 x 2 – 4 – 3 x – 2 = 5 x (x – 2) (x + 2) – 3 x – 2 = 5 x – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) continua Poiché deve essere x x – 2 0 ossia x – 2 x 2 Il dominio è linsieme D = R – {– 2; 2} 18

19 Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie 1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3 (x + 2) =5 (x – 2) 1 – 3x – 6=5x – 10 – 3x – 5x =– – 1 – 8x=– 5 = + x Poiché non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S = { }

20 Le equazioni Equazioni letterali Non è invece possibile: moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di diversità da zero di tale coefficiente. In unequazione letterale bisogna distinguere: il dominio, determinato rispetto allincognita x + = 1 a 2a2a x – 1 2 x 1 D = R – {1} le condizioni sul parametro a 0 20 In unequazione letterale si può sempre: trasportare i termini da un membro allaltro dellequazione cambiando loro di segno; cambiare tutti i segni dei termini ai due membri; moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero.

21 Le equazioni ESEMPIO Equazioni letterali Discutere unequazione significa analizzare come cambia linsieme delle soluzioni al variare dei parametri. x (3a – 1) = a Per trovare la soluzione dividiamo entrambi i membri per 3a – 1; si presentano quindi i seguenti casi: 1 3 a Se a 3a – 1 S = { } 1 3 a = Se S = 21 lequazione diventa x 0 = 1 3 che è impossibile


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