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Sistemi non lineari Definizione e caratteristiche 1 Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare:

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Presentazione sul tema: "Sistemi non lineari Definizione e caratteristiche 1 Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare:"— Transcript della presentazione:

1 Sistemi non lineari Definizione e caratteristiche 1 Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare: in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di secondo; in un sistema di terzo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di terzo; Per risolvere un sistema non lineare si applicano i principi di sostituzione e di riduzione. Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da unaltra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o solo alcune) e si sostituisce lequazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

2 Sistemi non lineari Sistemi di due equazioni 2 Se nel sistema è presente unequazione di primo grado, conviene ricavare lespressione di una delle incognite da tale equazione e sostituire poi nellaltra. ESEMPIO Si tratta di un sistema di terzo grado. Ricaviamo una delle incognite dallequazione di primo grado, ad esempio la y, e sostituiamo il valore ottenuto nellaltra. continua 1° grado 2° grado

3 Sistemi non lineari Sistemi di due equazioni 3 Il polinomio di terzo grado al primo membro della seconda equazione può essere scomposto in fattori mediante la regola di Ruffini, tenendo presente che è P(1) = 0 Le sue soluzioni sono continua

4 Sistemi non lineari Sistemi di due equazioni 4 Risostituendo i valori trovati nellespressione di y otteniamo le tre coppie soluzioni del sistema Quindi

5 Sistemi non lineari Sistemi di più equazioni 5 Per risolvere un sistema con più di due equazioni si procede in modo analogo cercando di ricavare le variabili dalle equazioni di primo grado se ci sono. ESEMPIO Svolgiamo i calcoli I passo: ricaviamo z dalla terza equazione e sostituiamola nelle altre due: continua Le sostituzioni si eseguono una alla volta.

6 Sistemi non lineari 6 Svolgiamo i calcoli II passo: ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima: Risolviamo la prima equazione: Sostituendo i valori di x e poi di y nelle altre equazioni del sistema troviamo le due terne di soluzioni: Sistemi di più equazioni

7 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 7 Si dice simmetrico un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y che rimane invariato se x si scambia con y. Se un sistema simmetrico ammette come soluzione la coppia (a, b), allora ammette anche la coppia (b, a). dove s e p sono numeri reali. Un sistema simmetrico di secondo grado è sempre riconducibile alla forma Questo sistema è il modello algebrico di un problema che abbiamo già affrontato nel capitolo relativo alle equazioni di secondo grado: trovare due numeri x e y conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p.

8 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 8 Risoluzione di un sistema simmetrico 1.Applicando il metodo di sostituzione 2.Utilizzando lequazione di secondo grado associata

9 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 9 ESEMPIO (metodo 1) Ricava x dalla prima equazione e sostituisci Calcola Lequazione di secondo grado ha soluzioni 1 e 5

10 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 10 ESEMPIO (metodo 2) Risolvere il sistema significa trovare le coppie di numeri che hanno somma 2 e prodotto 15. Impostiamo allora lequazione ausiliaria le cui soluzioni sono Allora le soluzioni del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che cioè

11 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 11 Se il sistema simmetrico è di grado superiore al secondo ci si deve ricondurre alla forma canonica del sistema simmetrico di secondo grado. Per far questo può essere utile ricordare le seguenti uguaglianze:

12 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 12 ESEMPIO Il sistema è simmetrico di terzo grado. Per risolverlo dobbiamo usare la seconda delle uguaglianze ricordate e scriverlo in questo modo: Sostituendo 6 al posto di x + y nella prima equazione, otteniamo il sistema continua

13 Sistemi non lineari Sistemi simmetrici 13 Risolviamo lequazione associata Le soluzioni reali del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che cioè


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