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EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata.

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Presentazione sul tema: "EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata."— Transcript della presentazione:

1 EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dellequazione

2 SOLUZIONI I particolari valori per cui questa è verificata sono detti soluzioni o radici dellequazione Le soluzioni vanno cercate nellintersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile

3 PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni oppure se sono entrambe impossibili 1) f(x) = g(x) mf(x) = mg(x) con m numero qualsiasi diverso da zero. 1) f(x) = g(x) f(x) +h(x) = g(x) +h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x.

4 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici, a 0. Soluzione: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 x = 3 / 2

5 EQUAZIONI DI 2 o GRADO Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e a 0. SPURIA: a x 2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x 2 + c = 0

6 COMPLETA a x 2 + b x + c = 0 > 02 soluzioni reali e distinte = 02 soluzioni coincidenti nessuna soluzione in R

7 ESEMPI 2 x x + 3 = 0 = 49 – 24 > 0 x 1 =3 x 2 =1/2

8 ESEMPI 25x x +1 = 0 = 25 – 25 = 0 x x + 8 = 0 = 9 – 32 < 0 non ha soluzioni in R.

9 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x 2 + b x + c = 0

10 ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: ex: a = 1 x x - 5 = 0 x 1 = 1 x 2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità lequazione di 2 o grado le cui soluzioni hanno per somma s= -3/10 p = -1/10 x 2 + (3/10) x - 1/10 = 0

11 FATTORIZZAZIONE a x 2 + b x + c = 0 > 0a · (x - x 1 ) · (x - x 2 ) 2) = 0 a · (x - x 1 )

12 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Fattorizzare il polinomio mediante raccoglimenti: ES: x 3 + x 2 + x + 1 = 0 x 2 (x + 1) + x + 1 = 0 (x 2 + 1) (x + 1) = 0 x = - 1 RUFFINI

13 BIQUADRATICHE ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) Pongo x 2 = t at 2 + bt+ c = 0(2) Se la (2) ha soluzioni reali t 1 e t 2 ponendo: x 2 = t 1 e x 2 = t 2 si ottengono le soluzioni dellequazione (1). Se la (2) non ha soluzioni reali, anche la (1) non ha soluzioni reali

14 ESEMPIO x x = 0 x 2 = t t t - 4 = 0 t 1 = -1 t 2 = 4 x 2 = -1non ammette soluzioni reali x 2 = 4 x 1 = 2 x 2 = -2

15 EQUAZIONI FRATTE Una equazione in cui lincognita compare almeno una volta al denominatore I = D(f) D(g) {x R: g(x) 0}

16 ESEMPIO I = {x R: x 0} {x R: x 2} 5x – 10x + 20 = 0 x = 4


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