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I SISTEMI LINEARI EQUAZIONE LINEARE A DUE INCOGNITE Sia ax+by=c con a e b non entrambi nulli, unequazione lineare nelle incognite x,y. La coppia (x,y)

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2 I SISTEMI LINEARI

3 EQUAZIONE LINEARE A DUE INCOGNITE Sia ax+by=c con a e b non entrambi nulli, unequazione lineare nelle incognite x,y. La coppia (x,y) di valori che verifica lequazione è detta soluzione dellequazione.

4 Indica due numeri la cui somma è cinque X+y=5 1 e 4 3 e2 3,2 e 1,8 0 e 5 -1 e 6 Lequazione x+y=5 è soddisfatta da infinite coppie di valori …

5 Ogni equazione lineare in due incognite ammette infinite soluzioni. Ci poniamo il seguente problema: è possibile trovare soluzioni comuni a due equazioni lineari? Questo problema è formalizzato dal sistema di equazioni Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Una coppia ordinata (h,k) che soddisfa ciascuna delle equazioni del sistema è detta soluzione del sistema.

6 I SISTEMI LINEARI Un sistema lineare è lintersezione di due o più equazioni di primo grado. in simboli: Risolvere un sistema significa determinare linsieme delle sue soluzioni. Si dice che un sistema è: IMPOSSIBILE se non ha soluzioni ; DETERMINATO se ha una soluzione; INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni.

7 Se unequazione di un sistema viene sostituita da unequazione ad essa equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Se si risolve unequazione rispetto ad una incognita e si sostituisce lespressione ottenuta nellaltra equazione,si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Se si sostituisce unequazione di un sistema con unaltra ottenuta da una combinazione lineare delle equazioni del sistema stesso, si ottiene un sistema equivalente al sistema dato.

8 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di un sistema lineare y x r s r s y x P=r s r=sØ Sistema Determinato (rette incidenti) Sistema Indeterminat o (rette coincidenti) Sistema Impossibile (rette parallele) y x P r s

9 Metodi algebrici per risolvere un sistema lineare Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione Metodo di Cramer Metodo grafico (fai clic sulle parole per la spiegazione del metodo)

10 METODO DI SOSTITUZIONE Per risolvere un sistema di due o più equazioni lineari si devono seguire i seguenti passi: 1.Si riduce il sistema a forma normale; 2.Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite, per esempio si calcola la x dalla prima equazione: 3.Si sostituisce nellaltra equazione al posto della x lespressione –by+c a 4.Si risolve lequazione lineare in y e, detto y=β il valore trovato,si sostituisce tale valore nella prima equazione per determinare il valore numerico di x.

11 METODO DEL CONFRONTO 1.Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione; 2.Uguagliare le due espressioni al secondo membro; 3.Risolvere lequazione che si presenta con una sola incognita. 4.Si ripete la stessa procedura scegliendo laltra incognita in entrambe le equazioni e si ripercorrono i passi 1,2,3.

12 METODO DI RIDUZIONE Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema: In questo sistema lincognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad unequazione in y. Analogamente è possibile eliminare lincognita y moltiplicando la prima equazione per 4 e la seconda per 5 Y= -1 -2x // -11=0 X=11/2

13 In generale, per risolvere un sistema lineare mediante il metodo di riduzione: Determinare il m.c.m. dei coefficienti della x nelle due equazioni; Dividere tale m.c.m. per il coefficiente della x della prima equazione e,successivamente, moltiplicare il quoto ottenuto per tutti i termini della prima equazione; Dividere il m.c.m. determinato per il coefficiente della x della seconda equazione e Moltiplicare il quoto ottenuto per tutti i termini della seconda equazione; Verificare che i coefficienti di x siano uguali e di segno contrario, altrimenti cambiare di segno a una delle due equazioni; Addizionare le equazioni termine a termine; Determinare il valore di y; Ripetere i passi precedenti per la variabile y.

14 RISOLUZIONE GRAFICA r xy s xy Sia da risolvere il seguente sistema: 1.Disegnare la retta a :x-y=-2 Disegnare la retta b:-5x-2.5y=-12.5

15 METODO DI CRAMER Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne. Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria. Successivamente cerchiamo il determinante dellincognita X e Y Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quellincognita e al denominatore il determinante del sistema.

16 realizzato da Santa Castaldi Anno Scolastico 2007/2008


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