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I sistemi lineari Definizione e caratteristiche 1 Unequazione del tipo 3x y = 6 ha come soluzioni tutte le coppie (x, y) che la verificano. Per esempio.

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1 I sistemi lineari Definizione e caratteristiche 1 Unequazione del tipo 3x y = 6 ha come soluzioni tutte le coppie (x, y) che la verificano. Per esempio (0,6) è soluzione: 3 0 (6) = 6 ma (1, 5) non è soluzione: In generale le soluzioni di unequazione in due o più variabili sono infinite. Se si vogliono trovare le soluzioni comuni a due o più equazioni nelle stesse incognite si scrivono tali equazioni allinterno di una parentesi graffa aperta e si dice che formano un sistema. ESEMPIO

2 I sistemi lineari Definizione e caratteristiche 2 Linsieme delle soluzioni di un sistema è rappresentato dallintersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione; soluzione è la coppia (x, y) che verifica entrambe le equazioni. ESEMPIO infatti: (4, 6) è soluzione del precedente sistema Le equazioni del sistema sono verificate per gli stessi valori delle variabili.

3 I sistemi lineari Caratteristiche 3 Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni. ESEMPIO Il sistema IL GRADO DI UN SISTEMA è di grado 6 perché la prima equazione ha grado 2 e la seconda ha grado 3.

4 I sistemi lineari Caratteristiche 4 SISTEMI INTERI E FRAZIONARI Un sistema può essere: intero se tutte le equazioni sono intere oppure frazionario se almeno una delle equazioni è frazionaria oppure Con x 0 x y (C. d. E.)Con x 2 x 0 y 3 (C. d. E.)

5 I sistemi lineari Caratteristiche 5 Analogamente a quanto fatto per le equazioni possiamo affermare che un sistema è: determinato se ha un numero finito di soluzioni impossibile se non ha soluzioni indeterminato se ha infinite soluzioni. SISTEMI DETERMINATI, INDETERMINATI, IMPOSSIBILI

6 I sistemi lineari Sistemi equivalenti 6 Due sistemi equivalenti hanno le stesse soluzioni. Per risolvere un sistema si passa ad un altro ad esso equivalente ma di forma più semplice. Il passaggio da una forma ad unaltra ad essa equivalente avviene mediante lapplicazione di due principi di equivalenza.

7 I sistemi lineari Principi di equivalenza 7 ESEMPIO Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad unincognita la sua espressione ricavata da unaltra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Il sistema Il secondo sistema è stato ottenuto ricavando la y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda. è equivalente a

8 I sistemi lineari 8 ESEMPIO Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce ad una di esse lequazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Il sistema è equivalente a Il secondo sistema è stato ottenuto sommando membro a membro le equazioni del primo sistema e associando allequazione ottenuta una qualunque delle due del sistema (nellesempio, la prima). Principi di equivalenza

9 I sistemi lineari Risoluzione 9 Un sistema di primo grado è detto lineare. Forma normale: Un sistema lineare determinato ammette una sola soluzione: La coppia soluzione è (k, h) I metodi per la risoluzione di un sistema si basano sui principi di equivalenza e sono i seguenti: il metodo di sostituzione, che consiste nel ricavare lespressione di una variabile da una delle equazioni e sostituire tale espressione nelle altre il metodo di riduzione, che consiste nel sostituire ad una delle equazioni quella che si ottiene sommando membro a membro lequazione stessa con unaltra (dopo averle eventualmente moltiplicate per un opportuno fattore non nullo), in modo da eliminare una delle variabili il metodo del confronto, che consiste nel ricavare lespressione della stessa variabile da due equazioni e nel confrontare le espressioni ottenute.

10 I sistemi lineari Risoluzione 10 Metodo di sostituzione. ESEMPIO Ricava x dalla seconda equazione Principio di sostituzioneCalcola continua

11 I sistemi lineari Risoluzione 11 CalcolaPrincipio di sostituzione

12 I sistemi lineari Risoluzione 12 Metodo di riduzione. ESEMPIO Moltiplica per 3 la prima equazione Principio di riduzioneCalcola continua

13 I sistemi lineari Risoluzione 13 Calcola SostituisciCalcola

14 I sistemi lineari Risoluzione 14 Metodo del confronto. ESEMPIO Ricava x nelle due equazioni Confronta le espressioni ottenute Calcola continua

15 I sistemi lineari Risoluzione 15 Calcola e sostituisci Calcola

16 I sistemi lineari ESEMPIO Matrici e determinanti 16 Una tabella di numeri della forma si chiama matrice e poiché ha due righe e due colonne si dice che è una matrice quadrata di ordine due. a b c d Ad ogni matrice di questo tipo si può associare un numero, chiamato determinante, che si calcola in questo modo: a b c d = ad bc = = 12 6 = 6Δ = Data la matrice Il suo determinante è

17 I sistemi lineari Risoluzione 17 Metodo di Cramer. Dato il sistemasi devono calcolare i determinanti: a b d e = ae bdΔ = c b f e = ce bfΔx =Δx = a c d f = af cdΔy =Δy = Se Δ 0 il sistema è determinato con soluzione Se Δ = 0 e Δx = Δy = 0 il sistema è indeterminato. Se Δ = 0 e Δx 0 oppure Δy 0 il sistema è impossibile.

18 I sistemi lineari Risoluzione 18 ESEMPIO Dato il sistemacalcoliamo i tre determinanti: = 4 4 (3) 6 = = 2Δx =Δx = = = 12 6 = 6Δ = Poché Δ 0 il sistema è determinato = 3 (3) 1 (4) = = 5Δy =Δy = Il sistema ha soluzione

19 I sistemi lineari Sistemi frazionari 19 Sistema frazionario: sistema in cui almeno una delle equazioni è frazionaria Procedimento risolutivo: 1.si pongono le condizioni di esistenza delle equazioni imponendo ai denominatori di essere diversi da zero; 2.si riduce ciascuna equazione in forma intera e il sistema in forma normale; 3.si procede alla risoluzione del sistema intero equivalente con il metodo che si ritiene più opportuno; 4.si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e si scartano quelle incompatibili.

20 I sistemi lineari Sistemi frazionari 20 ESEMPIO 1.Affinché il sistema abbia significato deve essere x 1 y 1 2.Riduciamo il sistema in forma intera: continua

21 I sistemi lineari Sistemi frazionari 21 3.Scegliamo come metodo risolutivo quello di Cramer = 19Δ = = 1Δx =Δx = = 7 Δy =Δy = Dunque: 4.La soluzione trovata non contrasta con le condizioni iniziali, quindi:

22 I sistemi lineari Sistemi letterali 22 Sistema letterale: sistema in cui almeno una delle equazioni è letterale; per risolverlo è spesso conveniente applicare il metodo di Cramer. Consideriamo per esempio il sistema: Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti e scomponiamo il polinomio ottenuto: a + 2 a a 1 = 1 (a + 2) a a = a + 2 a 2 = (a 2)(a + 1) Δ =

23 I sistemi lineari Sistemi letterali 23 Calcoliamo ora Δx e Δy scomponendo poi i polinomi ottenuti: 3a + 2 a a2a2 1 = 1 (3a + 2) a 2 a = 3a + 2 a 3 = (a + 1) 2 (a 2) Δx =Δx = a + 2 3a + 2 a a2a2 = a 2 (a + 2) a(3a + 2) = a 3 + 2a 2 3a 2 2a = a 3 a 2 2a = = a(a 2 a 2) = a(a 2)(a + 1) Δy =Δy = Se Δ 0, cioè se a 2 a 1, il sistema ha per soluzione: Se a = 2, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è dunque indeterminato. Se a = 1, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è anche in questo caso indeterminato.

24 I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni 24 I sistemi possono contenere più di due equazioni. Ci occuperemo, in particolare, di sistemi di tre equazioni in tre incognite. Consideriamo il sistema: Per risolvere questo tipo di sistemi si usa di solito un metodo misto fra quello di sostituzione e riduzione a seconda della convenienza.

25 I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni 25 1) Sommiamo la seconda e la terza equazione: 2) Sostituiamo il valore di x nelle altre equazioni:

26 I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni 26 3) Sottraiamo la terza equazione dalla seconda: 4) Completiamo la risoluzione:

27 I sistemi lineari Problemi che si risolvono con i sistemi 27 I problemi con due o più incognite possono essere risolti con i sistemi. Limportante è trovare un numero di equazioni pari al numero di incognite. ESEMPIO La somma di due numeri interi è 35 e si sa che la differenza tra il doppio del primo e il triplo del secondo è 20. Trova i due numeri. x : 1° numero y : 2° numero La soluzione è I due numeri sono quindi 25 e 10. Il modello del problema è: La somma dei due numeri è 35 x + y = 35 La differenza tra il doppio del 1° e il triplo del 2° è 20 2x 3y = 20


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