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COORDINATE POLARI Sia P ha coordinate cartesiane Le coordinate polari di P sono: 1.

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1 COORDINATE POLARI Sia P ha coordinate cartesiane Le coordinate polari di P sono: 1

2 COORDINATE POLARI P ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono: 2

3 COORDINATE POLARI Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che: 3

4 4 PRODOTTO SCALARE prodotto internomoltiplicazione scalare numero Si chiama prodotto interno ( o moltiplicazione scalare) tra due vettori il numero definito da: norma euclidea di un vettore i numero Si chiama norma euclidea di un vettore il numero definito da: La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del vettore.

5 5 NORMA Possono essere definite altri tipi di norma. La norma di un vettore è una funzione che soddisfa:

6 6 PRODOTTO SCALARE Si considerino i due vettori : La lunghezza (la norma euclidea) dei due vettori è data da:

7 7 PRODOTTO SCALARE Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate polari si ha : Il prodotto scalare dei due vettori diventa:

8 8 PRODOTTO SCALARE Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli: è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui

9 9 VETTORI ORTONORMALI Dato un qualunque vettore di norma si può introdurre il vettore normalizzato espresso da: Due vettorie si dicono ortonormali se sono ortogonali e ciascuno ha norma unitaria. Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2 ortonormali la matrice è ortogonale.

10 10 ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Esempio Si considerino i due vettori e costituiti dai prezzi di chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime settimane. Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di prezzi può essere espresso da: dove rappresenta la media aritmetica dei prezzi di chiusura del titolo i-esimo.

11 11 ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4 settimane sono stati: Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica

12 12 ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli è utile costruire i 2 vettori: Per cui si ha:

13 SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi Si considerino 2 insiemi V e K. Si introducano 2 operazioni: composizione interna tra elementi di V; composizione esterna tra elementi di V ed elementi di K. Esempio 1. Composizione interna = somma tra matrici quadrate; Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno scalare. 13

14 Esempio 2 Sia V linsieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n. Composizione interna = somma tra polinomi; Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno scalare. N.B. Controllare cosa succede se V è linsieme dei polinomi algebrici di grado n. 14 SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi

15 SPAZI VETTORIALI Un vettore in Fisica è definito come un ente costituito da un punto di applicazione (O), una direzione (retta per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza (misura di OP). 15

16 SPAZI VETTORIALI I vettori nella figura che segue sono equivalenti al vettore. Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati nellorigine. 16

17 SPAZI VETTORIALI Dati i due vettori e si definiscono il vettore somma e il vettore differenza come i vettori che hanno come componenti rispettivamente la somma e la differenza delle componenti di e di ; geometricamente sono le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO. 17

18 COMBINAZIONE LINEARE Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K, allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V. Dati n elementi (vettori) di uno spazio vettoriale V ed n scalari si definisce combinazione lineare il vettore di V espresso da : 18

19 LINEARE INDIPENDENZA Gli n vettori dello spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se risulta se e solo se gli n scalari sono tutti contemporaneamente nulli. Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori si dicono linearmente dipendenti. 19

20 LINEARE DIPENDENZA Gli n vettori dello spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, e supponiamo che allora, dividendo per, si ottiene: ovvero è combinazione lineare degli altri vettori. 20

21 ESEMPIO DI L.D. Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei seguenti 3 vettori:. 21

22 SOLUZIONE DELLESEMPIO DI L.D. Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3 vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema: 22

23 SOLUZIONE DELLESEMPIO DI L.D. La matrice dei coefficienti: ha rango 2, quindi il sistema ammette soluzioni : e risulta: 23

24 ESEMPIO 2 DI L.D. Si vuole esprimere il polinomio come combinazione lineare dei seguenti polinomi: 24

25 GENERATORI E BASI Dati gli n vettori dello spazio vettoriale V Sia linsieme delle combinazioni lineari è un sottospazio vettoriale di e i vettori sono chiamati generatori di. Se h vettori tra gli n generatori sono linearmente indipendenti lo spazio vettoriale da essi generato coincide con. I vettori costituiscono una base di 25

26 GENERATORI E BASI I vettori costituiscono una base di. Il numero h dei vettori della base viene chiamato dimensione di. Dato un qualunque vettore esso può essere scritto come e i coefficienti della combinazione lineare vengono denominati coordinate (sono uniche!) del vettore rispetto alla base. Dato lo spazio vettoriale di dimensione h, esistono più basi. 26

27 GENERATORI E BASI Si considerino 2 basi di Un vettore può essere espresso nelle 2 basi da Ovvero come: Dove : 27

28 GENERATORI E BASI Uguagliando si ha da cui : ovvero La matriceè denominata matrice di cambiamento di base. 28

29 ESEMPIO DI GENERATORI E BASI Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a 3: Si considerino i vettori di V : Essi sono generatori di V. Non sono linearmente indipendenti. I vettori sono linearmente indipendenti. 29

30 BASE CANONICA Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2. Una base è costituita da Si considerino i vettori di V : Sono una base per V, detta canonica. 30

31 ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle matrici 2x1: Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto alla base canonica. 31

32 TRASFORMAZIONI LINEARI Dati due spazi vettoriali W e si definisce trasformazione lineare di W in ogni funzione tale che: Nucleo di T, ker(T), linsieme dei vettori di W che hanno come immagine il vettore nullo di. Immagine di T, Im(T), linsieme di vettori di che provengono da vettori di W. 32

33 ESEMPIO DI T.L. Dati i due spazi vettoriali e si consideri la trasformazione lineare di in : Limmagine della t.l. è linsieme. Il nucleo di T, ker(T), è linsieme dei vettori di che hanno come immagine il vettore nullo di, ovvero Da cui si ricava: Quindi 33

34 ESEMPIO DI T.L. Dati i due spazi vettoriali e si dimostri che la legge seguente è una trasformazione lineare : dove Analogamente si dimostra che la trasformazione che associa al vettore la media aritmetica delle componenti è una trasformazione lineare: 34

35 ESEMPIO DI T.L. Si determini la trasformazione lineare tra e che fa corrispondere ad ogni vettore il vettore degli scarti dalla media aritmetica. 35

36 TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE Si consideri la trasformazione lineare tra i due spazi vettoriali e, si può dimostrare il seguente teorema di rappresentazione: Se La trasformazione lineare viene denominata isomorfismo. 36

37 EQUAZIONE CARATTERISTICA Lequazione caratteristica è data da: ovvero: Le soluzioni vengono denominate autovalori. Le soluzioni del sistema: vengono denominate autovettori corrispondenti allautovalore. 37

38 EQUAZIONE CARATTERISTICA Per lequazione caratteristica valgono i seguenti teoremi: 1.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli minori principali di ordine i della matrice A moltiplicata per. 2.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli prodotti degli autovalori presi i alla volta moltiplicata per. 38

39 Si verifichino i teoremi nel caso della matrice: EQUAZIONE CARATTERISTICA

40 Teorema 3 Una matrice quadrata ammette lautovalore nullo se e solo il determinante è nullo. Teorema 4 Ogni matrice quadrata soddisfa la sua equazione caratteristica. EQUAZIONE CARATTERISTICA

41 Teorema 5 Se il rango di una matrice quadrata è r allora lautovalore nullo ha molteplicità algebrica. Teorema 6 Gli autovalori di una matrice triangolare coincidono con gli elementi della diagonale principale. EQUAZIONE CARATTERISTICA

42 Teorema 7 Ad autovalori diversi corrispondono autovettori linearmente indipendenti. Molteplicità algebrica Molteplicità geometrica Teorema 8 La molteplicità algebrica dellautovalore è maggiore o uguale alla moteplicità geometrica. MOLTEPLICITA

43 Si definisce matrice modale della matrice A la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A Teorema 9 Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali Teorema 10 La matrice modale di una matrice simmetrica è ortogonale. MATRICE MODALE

44 Un sistema di equazioni differenziali lineari è: SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

45 Un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo è: SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

46 Esempio 2. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

47 Esempio 3. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

48 Esempio 4. SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI


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