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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 1 Le distribuzioni di probabilità continue Giovanni Filatrella (

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Presentazione sul tema: "G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 1 Le distribuzioni di probabilità continue Giovanni Filatrella ("— Transcript della presentazione:

1 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 1 Le distribuzioni di probabilità continue Giovanni Filatrella ( ) Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Facoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio

2 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 2 Distribuzioni continue Supponiamo di far ruotare un ago dando una spinta iniziale tale che farà molti giri prima che lattrito lo fermerà. Qual è la probabilità che si fermi ad un angolo x ?

3 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 3 Distribuzioni di probabilità per variabili continue Definiamo una variabile casuale x una variabile che può assumere diversi valori, per semplicità in un intervallo: x: x Min x x Max Ognuno di questi valori con probabilità f(x). Una variabile casuale si dice continua perché i valori che può assumere, cioè le x, non sono numerabili, cioè non si possono mettere in corrispondenza biunivoca con un insieme di indici interi, ma solo con un sottoinsieme dei numeri reali.

4 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 4 Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti: 1.x è il simbolo che denota la variabile casuale 2.x denota anche i valori che la variabile può assumere 3.La f(x) è la densità di probabilità, non la probabilità. 4.La probabilità che la variabile casuale assuma un valore allinterno di un intervallo è data dalla densità di probabilità tramite la formula:

5 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 5 Variabili continue: limite del caso discreto Supponendo di misurare una variabile continua per passi discreti, si può solo definire lappartenenza di un individuo ad una classe. La distribuzione è approssimata con un istogramma. Lampiezza delle classi è x La probabilità corrispondente ai valori discreti x i è larea del rettangolo f(x) x. x f(x) xixi x

6 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 6 Richiamo del significato di integrale Lintegrale è larea sottesa dalla funzione f(x) x x MIN x MAX

7 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 7 Uso dellintegrale nelle distribuzioni continue Lintegrale è la probabilità che la variabile casuale assuma un valore in un intervallo e dipende dalla densità di probabilità f(x) x f(x) x1x1 x2x2

8 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 8 Domande D1: Quanto vale larea in giallo sotto la curva nella figura precedente? D2: Se si chiedesse la probabilità che una variabile continua assuma un valore specifico quanto vale? D3: Qual è il legame con gli istogrammi D4: Per la variabile casuale della roulette (la trasparenza 2) comè fatto il grafico della densità di probabilità?

9 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 9 Esercizio Come si interpreta il picco nella figura precedente?

10 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 10 La distribuzione uniforme nel caso continuo La densità di probabilità è identica per tutto lintervallo Laltezza si trova dalla condizione che la probabilità totale sia 1 x 1/(2 ) 0 2

11 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 11 Valore aspettato per variabili continue Variabili continue Variabili discrete prob di avere x Somma

12 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 12 Varianza per variabili continue Variabili continue Variabili discrete probabili tà di x Somma Scarto quadratico

13 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 13 Confronto del caso continuo e discreto 1.Lintegrale è approssimato con un istogramma. 2.Lampiezza delle classi è x (p er x 0 si ottiene proprio lintegrale). 3.La probabilità corrispondente ai valori discreti x i è larea del rettangolo f(x)dx. x f(x) xixi x

14 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 14 Esercizi *In base a questa corrispondenza trovare le formule per il valore aspettato e la varianza nel caso discreto a partire da quelle del caso continuo. **Trovare il valore aspettato della variabile casuale con distribuzione uniforme.

15 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 15 Carl Friedrick Gauss ( ) Gentile concessione della Deutsche Bundesbank

16 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 16 Distribuzione di Gauss-Laplace o Normale La distribuzione di Gauss ha due parametri, e, che la descrivono completamente: Caso =0

17 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 17 Altri casi di gaussiane con diversi valori aspettati Caso =1 Caso =4

18 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 18 Distribuzione normale: interpretazione grafica dei parametri è il valore in corrispondenza del massimo è un flesso - è un flesso Larea fra e è

19 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 19 Distribuzione normale: significato dei parametri I parametri che appaiono nella formula della distribuzione gaussiana non a caso coincidono con i simboli di valore aspettato e varianza:

20 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 20 Quadro riassuntivo delle proprietà della gaussiana f(x) : 1.Normalizzazione: f(x) dx = 1 2.Simmetria attorno al valore aspettato: f(x- )=f( -x) 3.Ha un massimo per x= 4.Ha un flesso per x e x 5.Il valore aspettato è: E[x]= 6.La varianza è: Var[x]=

21 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 21 Calcolo delle probabilità distribuite gaussianamente Se una variabile ha distribuzione gaussiana è completamente individuata dai parametri e. Supponiamo di avere e, e che ci si chieda la probabilità che x. Come si può procedere?

22 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 22 Soluzione Risolvendo lintegrale: Che equivale a trovare larea:

23 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 23 Calcolo della soluzione Purtroppo lintegrale non è calcolabile esplicitamente, cioè non esiste una funzione semplice che permetta di valutarlo. Esistono delle tavole che riportano alcuni valori di questintegrale per e Da questi valori si possono i corrispondenti valori per e arbitrari.

24 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 24 Tavola dellintegrale gaussiano C. Cametti, A. Di Biasio: Introduzione allelaborazione dei dati sperimentali, Tabella I, p. 327

25 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 25 Nomenclatura La z si chiama variabile standardizzata. Essa rappresenta il caso particolare di variabile gaussiana di media nulla e deviazione standard unitaria. Per trasformare una qualsiasi variabile gaussiana in quella standardizzata occorre dunque cambiare la variabile in modo che diventi a) a valore aspettato nullo b) a varianza unitaria.

26 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 26 Il cambiamento di variabile: 1) spostare il valore medio Per trovare questo cambiamento dobbiamo dunque avere: x

27 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 27 Il cambiamento di variabile: 2) cambiare la larghezza Per trovare questo cambiamento dobbiamo dunque avere: x

28 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 28 Sommario della procedura: 1.Conoscere valore aspettato e deviazione standard della variabile originaria x 2.Conoscere i limiti x 1 e x 2 entro i quali si vuole trovare la probabilità che la variabile casuale sia compresa. 3.Trasformare questi limiti nei limiti z 1 e z 2 della variabile standardizzata ( z ): 4.Trovare la probabilità che la variabile standardizzata sia compresa fra questi limiti.

29 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 29 Esempio di calcolo di probabilità con una variabile gaussiana Supponiamo di avere e, e che ci si chieda la probabilità che x. In formule:

30 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 30 1.Valore aspettato e deviazione standard della variabile originaria x: E[x]=2 Var[x]=2.5 2.I limiti x 1 e x 2 entro i quali si vuole trovare la probabilità che la variabile casuale sia compresa: x 1 =1 e x 2 =5 3.I limiti z 1 e z 2 della variabile standardizzata ( z ): 4.La probabilità che la variabile standardizzata sia compresa fra questi limiti: =0.729 Applicazione del calcolo ad un caso specifico:

31 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 31 Tavole come quella allegata non sono tavole per integrali con intervalli arbitrari. In particolare nella tabella si è riportata : che è la probabilità da - a z (distribuzione cumulativa di probabilità). Come è stata calcolata la probabilità per un intervallo arbitrario? Tavole della gaussiana standardizzata

32 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 32 La probabilità che z sia compreso fra z 1 e z 2 si può trovare dalla probabilità che sia minore di z 1 e minore di z 2 : Costruzione per ottenere larea per differenza z 1 z 2 x

33 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 33 Unestensione delle tavola Come si trovano le probabilità corrispondenti a valori negativi della variabile?

34 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 34 Un caso particolarmente importante Supponiamo di chiederci quale sia la probabilità che la variabile standardizzata sia compresa fra –1 e +1. Consultando la tavola si trova:

35 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 35 Proprietà delle gaussiane Si può tradurre il risultato precedente in un fatto generale: per qualsiasi distribuzione gaussiana la probabilità di trovare un valore della variabile fra ed è il 68% Osservazioni: 1)Questa proprietà è tipica solo delle gaussiane, non di altre distribuzioni; 2)E un metodo per trovare dal grafico.

36 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 36 Applicazione di questa proprietà Il risultato precedente si può rappresentare matematicamente come: ed analogamente si può dimostrare che:

37 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 37 Esempio per e

38 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 38 Domande Qual è la probabilità di trovare la variabile casuale fra ed per una distribuzione uniforme? Da un grafico di una gaussiana di cui non si conosce la deviazione standard, come la si potrebbe determinare?


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