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Appunti di analisi matematica: Integrale Definito Il concetto dintegrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Integrale Indefinito.

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Presentazione sul tema: "Appunti di analisi matematica: Integrale Definito Il concetto dintegrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Integrale Indefinito."— Transcript della presentazione:

1 Appunti di analisi matematica: Integrale Definito Il concetto dintegrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Integrale Indefinito Calcolo delle aree di fig. delimitate da curve Calcolo di volumi Calcolo del lavoro di una forza Calcolo dello spazio percorso ….. Problema inverso del calcolo della derivata: nota la derivata di una funzione calcolare la funzione stessa. Applicato ad esempio alle equazioni differenziali

2 2 Integrale Definito - Calcolo delle Aree n Area del Trapezoide Vogliamo calcolare larea della figura mistilinea determinata dal diagramma di una funzione y = f(x) definita e continua nellintervallo [a, b] b x y C BA a D

3 Possiamo determinare larea approssimandola con dei rettangoli inscritti Dividendo in n parti lintervallo [a, b], avremo n rettangoli di base: x y C BA ba D Quindi: s = (m i × h) È larea del plurirettangolo inscritto m i × h è larea dello i-esimo rettangolo inscritto h mimi h = (b – a)/n m i = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli e altezza

4 Per determinare larea S del plurirettangolo circoscritto: x y C BA ba D Quindi S = (M i × h) È larea del plurirettangolo circoscritto Analogamente possiamo determinare larea approssimandola con dei rettangoli circoscritti Dividendo in n parti lintervallo [a, b], avremo n rettangoli di base h = (b – a)/n e altezza M i = al massimo della funzione in ognuno degli intervalli M i × h è larea dello i-esimo rettangolo circoscritto

5 5 Larea A del trapezoide sarà sempre compresa tra s e S A s = areaRett.inscritti S = areaRett.circoscritti x y C BA ba D

6 Aumentando il numero dei rettangoli lapprossimazione di S sarà sempre più precisa. Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due successioni di aree: plurirettangoli inscritti s 1, s 2, … s n, … plurirettangoli circoscritti S 1, S 2, …S n,… che convergono allarea del trapezoide ABCD Teorema. Se y = f(x) è continua e positiva in [a, b], allora le successioni delle aree s 1, s 2, … s n … e S 1, S 2, …S n,… convergono allo stesso limite S uguale allarea del trapezoide ABCD

7 n Integrale Definito 1. Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], 2. Dividiamo lintervallo [a, b] in n parti 3. Indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x) nellintervallino i-esimo di ampiezza h (*) B x y C A ba D mimi MiMi i Possiamo quindi giungere al concetto dintegrale definito h s n = AreaPluriRett inscr. = m i h S n = AreaPluriRett circo. = M i h ARett circo. = M i h ARett inscr. = m i h (*) m i ed M i esistono sicuramente per il teorema di Weierstrass

8 Allora, indicando con f(x i ) il valore della funzione in un punto qualsiasi x i dellintervallo i-esimo: B x y C A ba D mimi MiMi xixi f(x i ) Si ha:

9 9 B x y C A ba D mimi MiMi xi f(x i ) Per il teorema del confronto avremo che anche : Moltiplicando per h avremo che: Poiché per quanto visto

10 Data la funzione y=f(x) continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo allintervallo [a, b] il limite e si indica con Allora, possiamo dare la seguente definizione:

11 Proprietà dellintegrale Lintegrale è un operatore lineare:

12 Integrale Definito - Proprietà n Teorema della Media Se y = f(x) è una funzione continua nellintervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto c (a, b) tale che: Cioè esiste sempre un rettangolo di base AB e altezza uguale a f(c) avente la stessa area del rettangoloide. x y C BA ba D f(c) c

13 13 n Funzione Primitiva Il calcolo dellintegrale come limite delle somme indicate, ancorchè possibile può essere (e nella maggior parte dei casi lo è) estremamente complesso e per nulla conveniente, occorre allora trovare un altro sistema per calcolarlo.

14 Per calcolare questarea ci serviamo di una particolare funzione detta funzione Integrale: Sia y = f(x) funzione continua nellintervallo [a, b], consideriamo un punto x variabile (a, b) Al variare di x lintegrale è unarea compresa tra a e x e quindi variabile al variare di x, cioè è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo funzione integrale b x y C BA a D f(x) x

15 Teorema di Torricelli- Barrow Se y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione integrale è derivabile e risulta: F(x) = f(x); cioè F(x) è una primitiva di f(x), cioè della funzione integrale calcolata nellestremo superiore. In particolare Se x = a se x = b La funzione integrale è caratterizzata dal seguente teorema fondamentale che ci fornirà il metodo per il calcolo dellarea:

16 n Dim Lincremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è: b x y C BA a D x + h x Consideriamo lintervallino [ x, x+h]: avremo

17 semplificando Per il teorema della media esiste c nellintervallo [x, x+h] tale che: Dividendo i termini per h: e, passando al limite per h 0,

18 18 Cioè la derivata di F(x) = f(x) Non dimentichiamo che x < c < x+h per cui se h 0 c x Perché è proprio ?

19 19 Se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche G(x) = F(x) + c c R è una primitiva di f(x) e quindi se F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora G(x) - F(x) = c Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo lasse y.

20 20 Integrale Definito - Proprietà n Calcolo dellIntegrale Definito Formula di Newton-Leibniz Finalmente possiamo calcolare lintegrale definito Considerando la funzione integrale avremo: e per x = a Da cui c = G(a) e per x = b

21 21 Integrale Definito - Proprietà n Teorema fondamentale del calcolo integrale Lintegrale definito di una funzione continua y=f(x), calcolato nellintervallo [a, b], è uguale alla differenza tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore dellintervallo dintegrazione.


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