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CONTINUITA CONTINUA DISCONTINUA Una funzione continua e una funzione il cui grafico non presenta interruzioni.

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Presentazione sul tema: "CONTINUITA CONTINUA DISCONTINUA Una funzione continua e una funzione il cui grafico non presenta interruzioni."— Transcript della presentazione:

1 CONTINUITA CONTINUA DISCONTINUA Una funzione continua e una funzione il cui grafico non presenta interruzioni

2 CONTINUITA CONTINUA Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione Xo Yo=f(Xo) P

3 CONTINUITA DISCONTINUA Questa è discontinua: se facciamo il limite sinistro e destro per x tendente a Xo questi danno due valori diversi, Yo e un altro, H. Il grafico compie un salto pari a Yo-H Xo Yo H

4 CONTINUITA Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite per x tendente ad Xo di f(x): ESISTE E FINITO E UGUALE A f(Xo) Ovvero, in formule:

5 CONTINUITA Una funzione continua in tutti i punti di un certo intervallo si dice CONTINUA SU QUELLINTERVALLO

6 CONTINUITA Se una di queste clausole non è verificata allora la funzione si dice discontinua in Xo.

7 CONTINUITA I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie

8 CONTINUITA Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a Xo: ESISTONO SONO FINITI SONO DIVERSI TRA LORO Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE

9 CONTINUITA La funzione y=INT(x) offre un esempio di tale discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità di prima specie 1 2 3

10 CONTINUITA Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di f(x) per x tendente a Xo: NON ESISTE… …OPPURE NON E FINITO Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA SPECIE

11 CONTINUITA La funzione y=ln(x) offre un esempio di tale discontinuità nellorigine

12 CONTINUITA Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma è diverso della valore della funzione (oppure la funzione non esiste in Xo) Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE, o ELIMINABILE

13 CONTINUITA La discontinuità si dice eliminabile perché basta alterare leggermente la definizione della funzione ponendo: Per rendere la funzione continua

14 CONTINUITA Un esempio è la funzione: Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x tendente a 0 è, come è noto, 1. Basta quindi porre: f(0)=1 E la funzione risulta continua anche in 0.

15 CONTINUITA Dove si trovano i punti di discontinuità di una funzione? Nei punti esclusi dal dominio (che siano però punti di accumulazione del dominio) Nei punti in cui largomento di un valore assoluto cambia segno in altri casi particolari

16 CONTINUITA TEOREMA DI WEIERSTRASS Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluti su quellintervallo

17 CONTINUITA Una curva senza salti, definita su un intervallo, di fatto può essere racchiusa in un rettangolo, la cui altezza avrà per estremi il massimo e il minimo della funzione MINIMO MASSIMO

18 CONTINUITA TEOREMA DI DARBOUX Una funzione continua su un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo

19 CONTINUITA TEOREMA DI DARBOUX Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è continua sullintervallo [a,b] e se il numero k è compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo, allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale che: f(c)=k

20 CONTINUITA Graficamente è abbastanza evidente che, se una curva è continua, al valore k compreso tra min e max deve corrispondere un valore c tra a e b MINIMO MASSIMO ab k c

21 CONTINUITA TEOREMA DEGLI ZERI Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora esiste almeno un punto dellintervallo in cui la funzione si annulla

22 CONTINUITA TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione) Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora lequazione: f(x)=0 Ammette almeno una soluzione in tale intervallo

23 CONTINUITA E una conseguenza del teorema di Darboux; infatti se la funzione cambia segno sicuramente il massimo sarà un numero positivo e il minimo un numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso tra un numero positivo e uno negativo, allora la funzione deve per forza assumere il valore 0.


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