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MASSIMI E MINIMI Una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso lalto.

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Presentazione sul tema: "MASSIMI E MINIMI Una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso lalto."— Transcript della presentazione:

1 MASSIMI E MINIMI Una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso lalto

2 MASSIMI E MINIMI Definizione rigorosa: data la funzione f:D R e dato un intervallo I la f si dice CRESCENTE in I se… I

3 MASSIMI E MINIMI …per ogni coppia di punti x 1 e x 2 appartenenti a I e tali che: Risulta: I X1X1 X2X2 F(X 1 ) F(X 2 )

4 MASSIMI E MINIMI Una funzione è decrescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso il basso

5 MASSIMI E MINIMI Definizione rigorosa: data la funzione f:D R e dato un intervallo I la f si dice DECRESCENTE in I se… I

6 MASSIMI E MINIMI …per ogni coppia di punti x 1 e x 2 appartenenti a I e tali che: Risulta: I X1X1 X2X2 F(X 1 ) F(X 2 )

7 MASSIMI E MINIMI Un punto Xo si dice punto di massimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il massimo valore assunto dalla funzione I XoXo F(X o )

8 MASSIMI E MINIMI Nellesempio, sullintervallo I la funzione assume il suo massimo valore in Xo. I XoXo F(X o )

9 MASSIMI E MINIMI Ma se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche maggiori, ad esempio in X1 I XoXo F(X o ) X1X1 F(X 1 )

10 MASSIMI E MINIMI Un punto Xo si dice punto di minimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il minimo valore assunto dalla funzione I XoXo F(X o )

11 MASSIMI E MINIMI Nellesempio, sullintervallo I la funzione assume il suo minimo valore in Xo. IXoXo F(X o )

12 MASSIMI E MINIMI Ma se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche minori, ad esempio in X1 XoXo F(X o ) X1X1 F(X 1 )

13 MASSIMI E MINIMI Un punto Xo si dice punto di flesso di un funzione f se la curva attraversa la tangente in quel punto XoXo F(X o )

14 MASSIMI E MINIMI La determinazione dei massimi e dei minimi relativi e degli intervalli in cui una funzione cresce o decresce è molto semplice per funzioni derivabili; infatti tutto ciò è determinato dal segno della derivata.

15 MASSIMI E MINIMI Sia f derivabile in un dato intervallo I, allora: se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo

16 MASSIMI E MINIMI Viceversa: se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente I se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I

17 MASSIMI E MINIMI Per trovare i massimi e i minimi relativi di una funzione derivabile è quindi necessario studiare il segno della derivata prima

18 MASSIMI E MINIMI f(x)>0 => funzione crescente f(x) funzione decrescente

19 MASSIMI E MINIMI Resta da determinare il caso in cui la derivata è uguale a zero

20 MASSIMI E MINIMI Sia f(Xo) = 0; se f è crescente a sinistra di Xo e decrescente a destra Xo è MASSIMO RELATIVO se f è decrescente a sinistra di Xo e crescente a destra Xo è MINIMO RELATIVO

21 MASSIMI E MINIMI MASSIMO MINIMO Xo

22 MASSIMI E MINIMI Sia f(Xo) = 0; se la funzione è crescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale ascendente se la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale discendente

23 MASSIMI E MINIMI Flesso ascendente discendente Xo


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