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CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Una retta si dice tangente ad una circonferenza se tocca la circonferenza in uno e in un solo punto.

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Presentazione sul tema: "CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Una retta si dice tangente ad una circonferenza se tocca la circonferenza in uno e in un solo punto."— Transcript della presentazione:

1 CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Una retta si dice tangente ad una circonferenza se tocca la circonferenza in uno e in un solo punto

2 CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Questa definizione però non va bene per una parabola; infatti le due rette in figura toccano la parabola in uno e in un solo punto, ma solo una di esse è una tangente in senso proprio

3 CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Daltra parte la retta in figura è una vera e propria tangente alla curva data in P, anche se tocca la curva in un altro punto Q P Q

4 CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Una retta secante in due punti molto vicini tra di loro si avvicina molto alla nostra idea di tangente P Q

5 CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Potremmo definire la tangente come una secante in due punti coincidenti P=Q

6 CONCETTO DI DERIVATA COSE UNA TANGENTE? Ancor meglio, possiamo definire la tangente in P, t, come il caso limite della secante PQ quando laltro punto di incontro, Q, Q, Q tende a P P Q Q Q

7 CONCETTO DI DERIVATA Xo f(Xo) Y=f(X) t PROBLEMA: Data la curva di equazione y=f(x) ed un suo punto P(Xo,f(Xo)) trovare lequazione della retta t tangente alla curva nel punto dato P

8 CONCETTO DI DERIVATA Xo Yo Y=f(X) t Equazione del fascio di rette passanti per un punto dato: Il problema si riduce a trovare il valore di m P

9 CONCETTO DI DERIVATA Xo f(Xo) s Sia Q un punto vicino a P di ascissa Xo+h e di ordinata f(Xo+h), dove h è un numero che rappresenta la distanza tra le ascisse dei due punti P Q f(Xo+h) Xo+h h

10 CONCETTO DI DERIVATA Il coefficiente angolare della secante può essere calcolato facilmente con la nota formula di geometria analitica:

11 CONCETTO DI DERIVATA Xo f(Xo) s Ovvero, nel nostro caso: P Q f(Xo+h) Xo+h h

12 CONCETTO DI DERIVATA Xo f(Xo) s Adesso per ottenere la tangente basta far coincidere Q con P, il che si può ottenere facendo tendere h a zero P Q f(Xo+h) Xo+h h

13 CONCETTO DI DERIVATA Il coefficiente angolare della secante diventa, al tendere a zero di h, il coefficiente angolare della tangente, e il problema è risolto.

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15 CONCETTO DI DERIVATA Sia f:D R una funzione reale di variabile reale e sia Xo un punto interno di D: Se: esiste ed è finito, allora la funzione f si dice DERIVABILE IN Xo, e il valore del limite si dice DERIVATA DELLA FUNZIONE f IN Xo

16 CONCETTO DI DERIVATA Il rapporto: si dice RAPPORTO INCREMENTALE della funzione f nel punto Xo con incremento h. Possiamo anche dire che la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale quando lincremento tende a zero.

17 CONCETTO DI DERIVATA Se il limite: non esite oppure non è finito La funzione si dice NON DERIVABILE in Xo

18 CONCETTO DI DERIVATA Simboli che rappresentano la derivata:


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